微分方程数值解欧拉法.docx
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微分方程数值解欧拉法
1.1、求解初值问题
，已知精确解为
当h=0。
1时，解为：
0
1
1
0
0.1
0。
900000
0.909362
9.3616E-03
0.2
0.819048
0。
835105
1.6057E-02
0.3
0。
753518
0.774155
2。
0637E—02
0。
4
0。
700391
0。
723946
2.3555E—02
0。
5
0.657165
0.682347
2。
5182E-02
0。
6
0.621775
0。
647598
2。
5823E-02
0。
7
0。
592526
0.618249
2。
5723E-02
0。
8
0。
568034
0.593114
2.5080E—02
0。
9
0.547177
0.571230
2.4053E-02
1.0
0。
529051
0。
551819
2.2768E—02
当h=0。
05时，解为：
0
1
1
0
0。
05
0.950000
0。
952418
2.4185E-03
0。
10
0.904878
0.909362
4.4835E—03
0。
15
0。
864158
0。
870391
6.2326E-03
0.20
0.827406
0。
835105
7.6996E—03
0。
25
0.794223
0。
803138
8。
9155E-03
0.30
0.764247
0.774155
9。
9084E-03
0。
35
0.737147
0。
747850
1.0704E-02
0.40
0.712621
0.723946
1.1324E-02
0。
45
0。
690397
0.702188
1。
1791E-02
0。
50
0。
670223
0.682347
1。
2124E-02
0。
55
0。
651876
0。
664213
1.2338E-02
0。
60
0。
635148
0.647598
1.2450E—02
0.65
0.619855
0。
632328
1.2473E-02
0。
70
0。
605829
0。
618249
1.2420E—02
0.75
0.592918
0.605220
1.2302E—02
0.80
0.580985
0.593114
1.2129E-02
0。
85
0。
569909
0.581819
1.1909E-02
0。
90
0.559579
0.571230
1.1651E-02
0。
95
0。
549896
0。
561258
1.1362E-02
1。
00
0.540771
0。
551819
1.1048E-02
h=50时，解为：
0
1
1
0
0.02
0。
980000
0.980395
3.9471E-04
0.04
0。
960792
0.961558
7。
6599E—04
0。
06
0。
942345
0。
943460
1.1148E-03
0.08
0。
924628
0.926070
1。
4422E-03
0。
10
0.907613
0。
909362
1.7491E—03
0.12
0。
891270
0。
893306
2。
0363E—03
0.14
0。
875573
0.877878
2。
3048E-03
0.16
0.860496
0.863051
2.5553E-03
0。
18
0.846013
0.848802
2.7888E-03
0。
20
0.832100
0。
835105
3.0058E—03
0.22
0.818732
0.821940
3.2073E-03
0.24
0.805889
0.809283
3。
3938E—03
0.26
0.793547
0。
797113
3.5662E—03
0.28
0.781685
0.785410
3.7250E-03
0.30
0.770284
0.774155
3。
8709E—03
0。
32
0.759323
0.763328
4。
0045E-03
0.34
0.748784
0。
752911
4。
1264E-03
0。
36
0。
738649
0。
742886
4。
2371E-03
0.38
0.728899
0.733236
4。
3373E—03
0。
40
0.719518
0。
723946
4.4274E—03
0。
42
0。
710490
0.714998
4。
5079E—03
0.44
0.701800
0.706379
4。
5793E—03
0。
46
0。
693431
0。
698073
4。
6421E-03
0.48
0。
685371
0。
690067
4.6967E-03
0。
50
0.677603
0。
682347
4。
7435E-03
0。
52
0.670117
0。
674900
4.7830E—03
0。
54
0.662897
0。
667713
4.8156E-03
0。
56
0。
655933
0。
660775
4.8415E—03
0.58
0.649212
0.654073
4.8613E-03
0。
60
0.642723
0.647598
4.8751E—03
0.62
0.636454
0。
641337
4。
8835E—03
0。
64
0。
630395
0。
635282
4.8866E—03
0。
66
0.624537
0.629422
4。
8848E—03
0。
68
0。
618868
0。
623747
4。
8784E—03
0。
70
0.613381
0。
618249
4.8676E—03
0.72
0。
608066
0。
612918
4.8528E—03
0。
74
0.602914
0。
607748
4。
8341E-03
0.76
0.597917
0.602728
4。
8119E—03
0。
78
0.593067
0。
597853
4。
7863E-03
0。
80
0.588357
0.593114
4。
7577E-03
0.82
0。
583779
0.588505
4。
7261E-03
0。
84
0。
579326
0.584018
4.6918E-03
0。
86
0.574992
0.579647
4.6550E—03
0。
88
0。
570771
0.575387
4.6159E—03
0。
90
0.566656
0.571230
4.5746E-03
0。
92
0.562641
0.567172
4。
5314E-03
0。
94
0。
558721
0.563207
4.4864E-03
0。
96
0。
554890
0。
559330
4。
4397E—03
0。
98
0。
551144
0。
555535
4.3916E—03
1.00
0。
547477
0.551819
4。
3420E—03
有图像看出,当步长越小，计算得到的解越逼近精确解.
1。
2、求解初值问题
，已知精确解为：
，h=0。
1
欧拉法
改进的欧拉法
预报-校正
格式
0
1
1
1
1
0.1
1.00483742
1。
00000000
1.00500000
1.00476190
0.2
1。
01873075
1。
01000000
1。
01925000
1.01859410
0.3
1。
04081822
1.02900000
1。
04183750
1。
04063276
0。
4
1。
07032005
1.05610000
1.07194063
1。
07009631
0。
5
1。
10653066
1。
09049000
1。
10881909
1.10627761
0。
6
1.14881164
1.13144100
1.15180609
1。
14853689
0.7
1。
19658530
1。
17829690
1.20030094
1。
19629528
0。
8
1。
24932896
1。
23046721
1.25376253
1。
24902906
0。
9
1.30656966
1.28742049
1.31170338
1.30626439
1.0
1.36787944
1.34867844
1.37368429
1。
36757254
欧拉法图像：
改进欧拉法图像：
预测-校正法图像：
附录:
源代码
1.1、
clear
clc
X0=0；
X1=1；
n=10;%更改分点数
h=1/n;%步长
y
（1）=1；
x
（1）=X0;
fori=1：
n
x（i+1）=x（i）+h；
y（i+1）=y（i）+h*（x（i）*exp（-x（i））—y（i））；
end
x=vpa（x’，6）
y=vpa（y’,6）
X=（X0:
0。
001：
X1）;n=1/0.001；
for（i=1：
n+1）
Y（i）=0.5＊（X（i）^2+2）*exp（-X（i））;
end
plot（x，y,'*’）
holdon
plot（X，Y）
X=X0：
h:
X1；
Y=0。
5。
*（X。
^2+2）.＊exp（—X）；
Y=vpa（Y'，6）
yy=abs（y—Y）
1.2、
欧拉法:
clear
clc
X0=0；
X1=1；
n=10；
h=1/n；
y
（1）=1;
x
（1）=X0;
X=X0：
h:
X1；
Y=X+exp（-X）；
Y=vpa（Y',9）；％精确解
XX=X0:
0.0001：
X1；
YY=XX+exp（—XX）；
fori=1:
n
x（i+1）=x（i）+h；
y（i+1）=y（i）+h*（-y（i）+x（i）+1）;
end
y=vpa（y',9）
plot（x，y，’*'）
holdon
plot（XX,YY）
改进的欧拉法：
clear
clc
X0=0；
X1=1;
n=10;
h=1/n；
y
（1）=1；
x
（1）=X0;
X=X0：
h:
X1；
Y=X+exp（-X）；
Y=vpa（Y’，9）;％精确解
XX=X0:
0.0001：
X1;
YY=XX+exp（—XX）;
fori=1：
n
x（i+1）=x（i）+h;
y（i+1）=y（i）+h＊（-y（i）+x（i）+1）；
end
fori=1：
n
y（i+1）=y（i）+0.5＊h*（（—y（i）+x（i）+1）+（-y（i+1）+x（i+1）+1））;
end
y=vpa（y',9）
plot（x，y，’＊'）
holdon
plot（XX，YY）
预报-校正格式：
clear
clc
X0=0；
X1=1；
n=10；
h=1/n;
y
（1）=1；
x
（1）=X0;
X=X0：
h：
X1;
Y=X+exp（-X）;
Y=vpa（Y’,9）；％精确解
XX=X0:
0。
0001：
X1；
YY=XX+exp（-XX）；
fori=1：
n
x（i+1）=x（i）+h；
y（i+1）=y（i）+h＊（—y（i）+x（i）+1）;
end
fori=1：
n
forcount=1：
10％预报—校正格式，迭代十次
y（i+1）=y（i）+0.5*h＊（（-y（i）+x（i）+1）+（—y（i+1）+x（i+1）+1））;
end
end
y=vpa（y’,9）
plot（x，y，'*’）
holdon
plot（XX,YY）
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