曲线与方程的概念教案.docx

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曲线与方程的概念教案

§2.2.1曲线与方程的概念教案

教学重点、难点

教学重点：

“曲线与方程”与“方程与曲线”的概念

教学难点：

对“曲线与方程”与“方程与曲线”定义中两个关系的理解。

教学方法：

讲解与启发式提问相结合的方法授课。

通过提出问题，让学生自己讨论从而去探索发现。

教学流程：

以旧带新，提出课题→运用反例，揭示内涵→讨论归纳，得出定义→集合表述，强化理解→初步运用，反复辨析．

教学过程：

教学环节

以旧带新，提出课题

教学内容

师：

在本节课之前，我们已多次用一个方程F（x，y）=0[或y=f（x）]来表示一条曲线C，这里，先看几个例子．

　　[例1]

（1）画出方程x－y=0表示的曲线；

（2）画出方程

表示的曲线。

学生给出解答如图1．

师：

这节课就是要在此基础上，明确地建立曲线和方程之间的对应关系，也就是要弄清楚：

符合怎样条件的方程才能完整地表示一条曲线，同时这曲线也完整地表示着一个方程．大家知道，平面上建立了直角坐标系之后，就把点和一对有序实数联系起来了，这有序实数就是点的坐标．曲线是由点组成的，二元方程的任一个解恰是一对有序实数，这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础．现在请大家思考一个问题：

　　“方程F（x，y）=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F（x，y）=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F（x，y）=0？

为什么要具备这些条件？

”

　　（将问题重复一遍，使每个学生听清楚．学生思考，讨论，口答．）

设计意图

运用学生熟知的旧知识，既提出了课题，又为形成曲线和方程的概念提供了实际模型．但是如果就此而由教师直接给出结论，那就不仅会失去开发学生思维的机会，影响学生的理解，而且会使教学变得枯燥乏味，抑制学生学习的主动性与积极性．

　　要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向．这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的事实已有初步的认识为前提的，它可以说是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”．在思考题的后面加上了“为什么”的问题，是为了给那些还记着“直线的方程”的定义的学生提供思考余地，增大思考题的跨度．

教学环节

运用反例，揭示内涵

教学内容

师：

刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：

“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提出应具备关系：

“以方程的解为坐标的点都在曲线上”；有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：

上述的两种提法一样吗？

它们反映的是不是同一个事实？

有何区别？

究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整地表述出来？

为了弄清这些问题，我们来研究以下例题．

　　[在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索．]

　　[例2]用下列方程表示如图2所示的直线C，对吗？

为什么？

（1）

（2）

（3）|x|-y=0

学生思考，口答．

师：

方程

（1）、

（2）、（3）都不是表示曲线C的方程．第

（1）题中，曲线C上的点的坐标不全都是方程

的解。

例如点Ａ（－２，－２），Ｂ（-

-

）等。

即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第

（2）题中，尽管“曲线C上的点的坐标都是方程的解”。

但是以方程

的解为坐标的点不全在曲线Ｃ上。

例如点Ｄ（２，－２）Ｅ（-

-

）等。

即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”。

这一结论；第（3）题中，则既有以方程|x|－y=0的解为坐标的点，如G（－3，3）、Ｈ（－

，

）等不在曲线Ｃ上，又有曲线Ｃ上的点，如Ｍ（－３，－３），Ｎ（

，

）等的坐标不是方程｜Ｘ｜－Ｙ＝０的解。

事实上，方程（１）（２）（３）中各方程表示的曲线应该是图3所示的三种情况．

师：

上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对应关系．假如我们把例1中这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了．

设计意图

在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用．反例一般应用在学生对概念有了初步的正面理解之后，这里却用在给出概念的定义之前，那是出于这样的考虑：

（1）相信学生已经有了用方程表示曲线的经验，已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线（当然是简单的例子），哪个方程不能表示哪条曲线，缺少的只是用逻辑形式确切地加以陈述，给概念以定义；

（2）将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾，产生有针对性的思维．为了解决这种矛盾，避免曲线和方程之间关系的不完整性，寻求作出必要的规定，这就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义的过程．

教学环节

讨论归纳，得出定义

教学内容

师：

在下定义时，针对例2

（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及

（2）中“以方程解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？

　　（学生口答．）

　　师：

为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”（板书）；为了防止曲线上缺漏坐标是方程解的点，必须规定“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．”（板书．）

　　这样，我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：

在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

设计意图

在辨析反例之后，有了关于对象所共有的本质属性的正确认识，给对象以明确的定义已是水到渠成了，这里单独列出作为一个教学步骤，是想突出这个中心环节，并有意识地训练学生依据直觉的分散的已知知识给概念下定义的创造能力．

教学环节

集合表述，强化理解

教学内容

师：

大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F．请大家思考：

如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．

　　师：

关系

（1）指点集C是点集F的子集；关系

（2）指点集F是点集C的子集．这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即（板书．）

　　　（１）

　　　　　　　　　　　｝

C=F

　　　（２）

设计意图

这是本节课第二个思维的“热点”，将促使学生对曲线和方程关系的理解得到强化，是认识上的再一次抽象，其结果将使学生对曲线和方程的关系的理解与记忆都趋于简化．　　　

教学环节

初步运用，反复辨析

教学内容

[例3]下列各题中，图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？

如果不对，那是不符合“曲线的方程”定义中的关系

（1），还是关系

（2）？

（1）

曲线C为一折线．

　　方程（x－y＋1）（x＋y－1）＝0．

（2）

曲线C是顶点为原点的二次函数图像．

方程

。

（3）

曲线C是过点（4，1）的反比例函数图像．

方程

。

（4）

曲线C为△ABC的中线AO．

方程x＝0．

（5）

曲线C是以原点为圆心，半径为5的圆．

方程x2＋y2＝25．

[例4]解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？

（1）点

是否在方程为

的圆上？

（2）已知方程为

的圆过点

，求m的值。

（3）在什么情况下，点

在方程为

的曲线上？

（学生练习、口答．）

　　师：

（纠错、小结．）

依据关系

（2），可知点M1在圆上；依据关系

（1），可知点M2不在圆上；

依据关系

（1），求得

依据关系

（1），求得b=7a

[例5]证明以坐标原点为圆心，半径为5的圆的方程为

。

师：

在解答例3（5）时，已经对此结论作出判定，因此只需把判定的过程书面表达出来．

师：

（学生练习过程中，适时插话．）

　　与刚才判定时一样，证明也要紧扣定义分两步进行；关系

（1）、

（2）中，“点”与“解”指的都是有关集合中的全体元素，我们只要用（x0，y0）表示“任意一个”，以此代表“全体”即可，这种方法为数学证明中常用．

设计意图

数学概念是要在运用中得以巩固的，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，通过反复重现，可以不断领悟，加强识记．这里安排的“初步运用”，目的也在于帮助学生正确理解概念，通过解题辨析“两个关系”，实现本节课的教学目标，为此，题目中的“曲线”与“方程”都力求简单．

教学环节

课堂小结

教学内容

师：

本节课我们通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系

（1）、

（2）两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．

　　曲线与方程之间一一对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来．在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题，即“就数论形”，这是解析几何的基本思想和基本方法，我们在阅读、思考、解题时，应更自觉地“由形及数”，“由数及形”，在观念上把曲线和方程统一起来．

设计意图

小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题，因为“充要条件”的知识在本节教材之后，如果过早提出，反而会干扰学生的理解．小结的另一点，意在建立曲线的方程和方程的曲线概念之后，“画龙点睛”，不失时机地“点”一下“解析几何”的基本思想，使之逐渐转变为学生的思想．

教学环节

作业布置

P36——练习B1,2,3

板书设计

§2.2.1曲线与方程的概念

曲线与方程的概念

关系

（一）

关系

（二）

例5

注意：

关系

（一）和

（二）的应用

教学反思

1.讲授新知识应该从温习旧知识开始。

2.应该在课堂教学中特别处理重点难点。

3.教学前应仔细分析教材，将知识梳理清，理解透彻。

4.注意数形结合的数学思想在本节课中的渗透。

5.应把握好课堂进度以及时间上的掌控。