高中数学《交集与并集》教案20 北师大版必修1.docx

高中数学《交集与并集》教案20 北师大版必修1.docx

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高中数学《交集与并集》教案20北师大版必修1

2019-2020年高中数学《交集与并集》教案20北师大版必修1

教学目标：

结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；

教学重点：

交集和并集的概念

教学难点：

交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

课型：

新授课

教学手段：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境

1．复习引入：

（1）说出的意义；

（2）A与中的所有元素共同构成了全集S

A在S中的补集是由给定的两个集合A，S得到的一个新集合。

2．这种由两个给定的集合得到一个新集合的过程，称为集合的运算。

其实，由两个（或几个）给定的集合得到一个新集合的方式还有很多。

二、活动尝试

问题1．已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C=.（答：

C={1，2}）

问题2．一个小水果摊，第一次进货的水果有：

香蕉、草莓、猕猴桃、芒果、苹果．卖完后店主第二次进货的水果有：

猕猴桃、葡萄、水蜜桃、香蕉，也各进十箱．大家想一想：

哪些水果的销路比较好？

结果当然是：

猕猴桃，香蕉．店主一共卖过多少种水果？

（7种）

这两个问题中都涉及到三个集合A、B、C。

由三个集合的元素关系易知，新生的第三个集合是由集合A与集合B的元素所组成的，即集合C的元素是集合A、B的公共元素，或者将两个集合中的元素合并，重复的元素只记一次。

我们就把集合C叫做集合A与B的交集和并集，这种集合间的运算称为交运算和并运算。

这是今天我们要学习的两个重要概念.

三、师生探究

问题3：

请你用Venn图表示上述集合。

如上图，集合A和B的公共部分叫做集合A和集合B的交（图1的阴影部分），集合A和B合并在一起得到的集合叫做集合A和集合B的并（图2的阴影部分）．

四、数学理论

1．交集的定义

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

如：

｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

又如：

Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则AB={c,d,e}．

A∩B是一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足既属于集合A又属于集合B．

2．并集的定义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．

记作：

AB（读作‘A并B’），

即AB={x|xA，或xB}）．

如：

｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．

A∪B也表示一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足的条件是：

属于集合A或者属于集合B．这里的“或”字很重要，一定不可以省略，如果省略了，就成为交集了．

五、巩固运用

1．用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：

（1）A={-1，1，2，3}，B={-2，-1，1}，C={-1，1}

（2）A={为高一

（1）班语文测验优秀者}，B={为高一

（1）班英语测验优秀者}，C={为高一

（1）班语文、英语两门测验优秀者}

你发现了什么结论？

（集合C是集合A与B的交集）

2．设A={}，B={}，求AB，并在数轴上表示运算的过程

解：

AB={}{}={}（数轴略）

3．设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求AB.

解：

AB=｛x|x是等腰三角形｝｛x|x是直角三角形｝

=｛x|x是等腰直角三角形｝．

4．设A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求AB.

解：

AB=｛3,4,5,6,7,8｝．

5．设A=｛x|-1

解：

AB=｛x|-1

说明：

1．求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题

2．区间的概念：

设是两个实数，且

定义

名称

符号

数轴表示

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

半开半闭区间

开区间

半开半闭区间

开区间

6．设A=｛（x,y）|y=-4x+6｝,｛（x,y）|y=5x-3｝,求AB.

解：

AB=｛（x,y）|y=-4x+6｝｛（x,y）|y=5x-3｝

=｛（x,y）|｝=｛（1,2）｝

注：

本题中，（x,y）可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．

六、回顾反思

这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系。

A∩B=｛x|x∈Ａ，且x∈Ｂ｝，是同时属于Ａ，Ｂ的两个集合的所有元素组成的集合．

　　A∪B={x|x∈A或x∈B}，是属于A或者属于B的元素所组成的集合．

七、课后练习

1．设A={0，1，2，4，5，7}，B={1，4，6，8，9}，C={4，7，9}，则（A∩B）（A∩C）=（）

A．{1，4}B．{1，7}C．{4，7}D．{1，4，7}

2．已知集合A={x|-3x+2>0},集合B={x|-5

A．B．C．D．R

3．设方程x2-px-q=0的解集为A，方程x2+qx-p=0的解集为B，若A∩B={1}，则P=，q=

4．如果S={xN|x<6},A={1,2,4},B={2,3,5}，那么=

5．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又AB={9}，求实数m的值.

6．设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又AB={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c的值.

参考答案

1．D

2．A

3．p=1,q=0

4．{0,1,3,4,5}

5．解：

∵AB={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，

∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.

若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与AB={9}矛盾；

若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；

若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足AB={9}.∴m=-3．

6．解：

∵A∩B={3},∴3∈B，∴32+3c+15=0，

∴c=-8.由方程x2-8x+15=0解得x=3或x=5，

∴B={3，5}.由A（AB={3，5}知，

3∈A，5A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）

故必有A={3}，∴方程x2+ax+b=0有两相同的根3，

由韦达定理得3+3=-a，33=b，即a=-6,b=9，c=-8.

交集并集

（二）

教学目标：

进一步理解交集与并集的概念；熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；掌握集合的交、并的性质；掌握有关集合的术语和符号，并会用它们表示一些简单的集合

教学重点：

集合的交、并的性质

教学难点：

集合的交、并的性质

课型：

新授课

教学手段：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境

1．复习引入：

（1）交集的定义　AB=｛x|xA，且xB｝

（2）并集的定义AB={x|xA，或xB}

2．由上节课学习的交集、并集定义，下面几个式子结果应是什么？

A∩A=A∩=A∩B=B∩A

A∪A=A∪=A∪B=B∪A

二、活动尝试

问题1：

给出五个图，集合A、B之间的关系如图所示，请同学们分析AB和AB的结果

（1）若AB,则AB=A，AB=B

（2）若AB则AB=A，AB=A

（3）若A=B,则AA=A，AA=A

（4）若A,B相交，有公共元素，但不包含，则ABA,ABB，ABA,ABB

（5））若A,B无公共元素，则AB=

三、师生探究

问题2：

对于任意的两个集合A、B，AB、AB、A、B之间的关系如何？

问题3：

对于给定集合S、A，A、、S之间的交、并运算结果如何？

将两集合A、B的关系用文氏图分类表示，归纳其公共的结果，并考虑特殊情形

问题4：

如图，在全集S中，你能用集合符号表示四个不同颜色区域代表的集合吗？

问题4可以借助具体的集合案例进行分析，如设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求CuA,CuB,（CuA）（CuB）,（CuA）（CuB）,Cu（AB）,Cu（AB）．

解：

CuA=｛1,2,6,7,8｝CuB=｛1,2,3,5,6｝（CuA）（CuB）=Cu（AB）=｛1,2,6｝

　　（CuA）（CuB）=Cu（AB）=｛1,2,3,5,6,7,8｝

四、数学理论

1．交集的性质

（1）AA=A，A=，AB=BA

（2）ABA,ABB．

2．并集的性质

（1）AA=A

（2）A=A（3）AB=BA（4）ABＡ,ABB

联系交集的性质有结论：

ABAAB．

3．补集的性质

（1）A（CuA）=U,

（2）A（CuA）=．

4．德摩根律：

（CuA）（CuB）=Cu（AB）,

（CuA）（CuB）=Cu（AB）（可以用韦恩图来理解）．

5．容斥原理

一般地把有限集A的元素个数记作card（A）.对于两个有限集A，B，有

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）．

五、巩固运用

1．已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=}求A∩B,A∪B．

解：

A∩B={x|1≤x≤5},A∪B=R．

2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

求，A∩B，，

解：

把全集U和集合A、B在数轴上表示如下：

由图可知

A∩B＝{x|－2

，

点评研究数集间的运算时，常借助数轴将问题形象化，既易于理解，又提高解题速度．

3．设U＝{a，b，c，d，e，f，g，h}，已知：

①

；②；

③，求集合A、B．

解法一：

根据

，由补集定义知：

A∩B＝{d}

即d∈A，d∈B

由②知：

，得，但c，g∈B；由③知：

b，h∈A，

还剩a、e、f三个元素需加以判断

由A∩B＝{d}，得

若a∈A，则必有，即，得与已知③矛盾，因此．

同理．

若a∈B，则必有，即，得与已知②矛盾，因此

同理亦可得：

综上所述A＝{b，d，h}，B＝{c，d，g}．

解法二：

由

，得A∩B＝{d}

∵

∴A＝{b，h，d}

∵

∴B＝{c，g，d}．

4．学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班至少参加其中一项比赛的有多少人？

共有多少名同学没有参加过比赛？

解：

设A＝｛x｜x为参加排球赛的同学｝，集合中元素的个数为12；

B＝｛x｜x为参加田径赛的同学｝，集合中元素的个数为20；

则A∩B＝｛x｜x为两项比赛都参加的同学｝，集合中元素的个数为6；

A∪B＝｛x｜x为至少参加一项比赛的同学｝，集合中元素的个数为12＋20―6＝26．

两次比赛均没有参加的共有45―26＝19人．

答：

这个班共有19位同学两项比赛都没有参加．

点评这就是容斥原理card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）的具体应用．

六、回顾反思

这小节我们继续研究了集合的运算，即集合的交、并及其性质本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，注意符号之间的区别与联系。

七、课后练习

1．已知集合M、P、S，满足M∪P＝M∪S，则（　　）

A．P＝SB．M∩（P∪S）＝M∩（P∩S）

C．M∩P＝M∩SD．（S∪M）∩P＝（P∪M）∩S

2．已知M＝｛x2，2x－1，－x－1｝，N＝｛x2＋1，－3，x＋1｝，且M∩N＝｛0，－3｝，则x的值为（　　）

A．－1B．1C．－2D．2

3．已知集合M＝｛x｜－1≤x＜2｝，N＝｛x｜x—a≤0｝，若M∩N≠，则a的取值范围是（　　）

　　A．（－∞，2）B．（－1，＋∞）C．D．［－1，1］

4．已知集合A＝｛x｜y＝x2－2x－2，x∈R｝，B＝｛y｜y＝x2－2x＋2，x∈R｝，则A∩B＝____．

5．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人?

6．设A=

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

参考答案

1．D

2．A

3．C

4．｛y｜－3≤y≤3｝

5．25人

6．解：

⑴

（1）由，又，故：

①当时，

，解得；

②当时，即时，，解得，

此时，满足；

③当时，

，解得。

综上所述，实数的取值范围是或者。

⑵由，又，故只有，

即

，解得。

注：

①

；

②注意B=，也是的一种情况，不能遗漏，要注意结果的检验。

2019-2020年高中数学《交集与并集》教案21北师大版必修1

一．课题：

交集与并集

（1）

二．教学目标：

1.理解交集与并集的概念.

2.会求两个已知集合交集、并集.

3.认识由具体到抽象的思维过程.

三．教学重、难点：

1．交集与并集概念、数形结合运用；

2．理解交集与并集概念、符号之间区别与联系.

四．教学过程：

（一）复习：

子集、补集

（二）新课讲解：

我们观察下面五个图：

说明：

图1—5

（1）给出了两个集合A、B；

图

（2）阴影部分是A与B公共部分；

图（3）阴影部分是由A、B组成；

图（4）集合A是集合B的真子集；

图（5）集合B是集合A的真子集；

指出：

图

（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.

1.交集

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集.

记作（读作“A交B”），即：

且.

仿此由学生给并集下定义：

2.并集

一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，A与B的并集，A与B的并集，记作（读作“A并B”），即或.

（学生归纳以后教师给予纠正）

由此图（4）说明：

；图（5）说明：

.

3.例题解析：

例1：

设，,求.

分析：

涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案。

解：

在数轴上作出A、B对应部分如图.

例2：

设是等腰三角形，是直角三角形，求.

分析：

此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B.

解：

是等腰三角形是直角三角形是等腰三角形.

例3：

设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.

分析：

运用文恩解答该题.

解：

∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}。

则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}.

例4：

设是锐角三角形，是钝角三角，求.

解：

是锐角三角形是钝角三角形是斜三角形.

例5：

设，,求.

分析：

利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.

解：

.

五．课堂练习：

课本P12，练习1—5.

补充练习：

已知，设

，

，求A∩B，A∪B.

解：

A∩B={（1,1）},A∪B={（1,1），（1,2），（2,1）}.

六．小结：

在求解问题过程中，充分利用数轴、文恩图.

七．课后作业

课本P13，习题1.31—6（书面表达1、3、5）.

一．课题：

交集与并集

（2）

二．教学目标：

1.掌握集合交集及并集有关性质.

2.运用性质解决一些简单问题.

3.掌握集合的有关术语和符号.

4.使学生树立创新意识.

三．教学重、难点：

1．集合的交、并运算；

2．正确地表示一些简单集合.

四．教学过程：

（一）复习：

集合交集、并集概念

（二）新课讲解：

1.有关性质：

由上节课学习的交集、并集定义，下面几个式子结果应是什么？

（投影a）

A∩A=A∩=A∩B=B∩A

A∪A=A∪=A∪B=B∪A

解：

A∩A=AA∩=A∩B=B∩A

A∪A=AA∪=AA∪B=B∪A

2.有关概念

通过预习，偶数集、奇数集定义如何表述？

解：

形如2n（n∈Z）的整数叫做偶数；

形如2n+1（n∈Z）的整数叫做奇数；

全体奇数的集合简称奇数集；

全体偶数的集合简称偶数集.

例：

写出符合|x|≤10的奇数和偶数集合.[主要考查“0”元素的归类]

（三）．例题解析：

例6：

设A={（x，y）|y=-4x+6}，B={（x，y）|y=5x-3}，求A∩B.

分析：

先弄清集合的元素是什么？

或者说式子表示的几何意义是什么？

A∩B的元素就是集合A与集合B所表示方程组成的方程组的解构成，或者看成直线y=-4x+6和直线y=5x-3的交点.

解：

∵解之

∴A∩B={（x，y）|y=-4x+6}∩{（x，y）|y=5x-3}={（1，2）}.

例7：

已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z。

解：

A∩B={奇数}∩{偶数}=ø；A∩Z={奇数}∩{整数}=A；B∩Z={偶数}∩{整数}=B；A∪B={奇数}∪{偶数}=Z；A∪Z={奇数}∪{整数}=Z；B∪Z={偶数}∪{整数}=Z.

例8：

设U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={4，7，8}，求CUA、CUB（CUA）∩（CUB）、（CUA）∪（CUB）.

分析：

利用文恩图，关键是作图。

解：

CUA={1，2，6，7，8}，CUB={1，2，3，5，6}，（CUA）∩（CUB）

={1，2，6}，（CUA）∪（CUB）={1，2，3，5，6，7，8}.

问题及解释：

问题一：

已知A={x|-1

分析：

问题解决主要靠概念的正确运用。

由A∩B=ø及A∪B=R，知全集为R，CRA=B，故B=CRA={x|x≤-1或x≥3}.[也可运用数形结合]

问题二：

已知全集I={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，A={-3，a2，a，a+1}，B={a-3，2a-1，a2+1}，其中a∈R，若A∩B={-3}，求C1（A∪B）.

分析：

问题解决关键在于求A∪B，由a-3-3或2a-1=-3，可求得A={-3，0，1}，B={-4，-3，2}，即A∪B={-4，-3，0，1，2}，C1（A∪B）={-2，-1，3，4}.

五．课堂练习：

课本P13，练习1—4

六．课时小结

1.清楚交集及并集有关性质导出依据.

2.性质利用的同时，考虑集合所表示的含义、或者说元素的几何意义能否找到.

七．课后作业

一、课本P14，习题1.37、8