所以h>a>c
故选：
A
&已知椭圆二+二=l（Qb>0）的左、右焦点分别为戸，F29过的直线交椭圆C于儿B两点，若crlr
BABF^,且IBF山LABI,LAFd成等差数列，则C的离心率为（
【答案】A
【解析】
【分析】由向量知识得出ZAB耳=90。
，再由等差数列的性质、勾股左理、椭圆的泄义得出a=41c>最后由离心率公式得出答案.
【详解】因为BABF；,所以ZABF2=90°
♦
由丨BFJ,IABI,L4F2I成等差数列，设\BF2\=xy\AB\=x+d]AF^=x+2d
在&△AB耳中，x2+（x+d）2=（x+2〃）2,解得x=3d
即|B耳|=3",IAB1=4J,|A巧|=5d
由椭圆的立义得aABF》的周长为+可+|A可+|4可=加+加=力
即3d+4〃+5d=4a.a=3d
在直角三角形BF'F?
中，\BF2\=a=\BFl\,\F{F^=2ct则a2+a2=（2c）2,故a=>/2c
即e=£=：
ZI
a2
故选：
A
【点睛】关键点睛：
解决本题的关键在于利用勾股左理、等差中项的性质、椭圆的左义得出4C的齐次方程，进而得出离心率.
二、选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若复数&=W—i，贝9（）
A.Izl=2B.Izl=4
C.z的共轨复数z=>/3+/D.才=4-2岳
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确左正确选项.
【详解】依题意忖=齐+H『=2,故a选项正确，B选项错误.
Z=y/3+i，C选项正确.
—2-沂=3-2五+卩=2-2血,D选项错误故选：
AC
10.已知（1-2.V）202I=21^2021
【答案】ABD【解析】
a（>_a】+^2_^2021①
【分析】由二项式系数之和，当x=-\.32021
当X=\,（一1）"“=4）+4+02+03+…+。
2021②，由①+@，①-②；令X=0,则5=1，令A-=^,则
厶
0=兔+今+券+•••+讒,即可得结果.
【详解】A•二项式系数之和为C爲+C爲+…+C；席二2如，故A正确:
B.（1—2牙）m=a（）++勺对+・・•+02021牙"二
:
"lX=—1,3JL1=a。
_q+。
2^2021①
-PiX=1»（—1）"'=+q+①+①。
202】②
铲I_I
①+②，可得当3沖—1=2（6+6+…+吆2。
）=>5+6+…+如20=，故B正确;
铲］I
C・①■②3JLl+1=—2（q+。
3+…+。
2021）亠+°3+•••+^2021=—9故C错误:
2
D.（l-2x）2021=a0+axx+a2x2+•••+r/2021x2021
令x=0>则5=1
令“!
则0=如+今+守+...+羯
今+守+…+羯=1，故D正确
故答案为：
ABD
11・已知函数./U）"■引1U-1>贝I」（）
B.曲线冃匕）在（1,川））处的切线为x轴
D・7U）在左义域内单调
A../U）的极大值为0
C.7U）的最小值为0
【答案】BC
【解析】
【分析】直接对・心）*・31咲1,求出导函数，利用列表法可以验证A.C、D;对于B:
直接求出切线方程进行
验证即可.
【详解】•心）*3^1的泄义域为（0,+s）,r（x）=3x2--=-（x3-l）
XX
令/'（x）=3x2-—=—（x3-1）=0>得兀=],
XXv7
列表得:
X
（0,1）
1
（1,+8）
-
0
+
J（x）
单减
单增
所以/的极小值，也是最小值为戏1）=0,无极大值，在立义域内不单调：
故c正确，A.D错误:
对于B:
由,AD=O及广
（1）=0,所以）=心）在（1,.AD）处的切线方程y—0=0（x—l）,即y=0.故B正确.
故选：
BC
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范用.
12.在梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2CB,将△BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E,
F分别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中（）
A.DC与平而ABD所成角的最大值为7
6
B.F在以E为圆心的一个肚圆上
C.若丄平而ADC,则血=3CH
D.当AD丄平而BDC时，四而体C-ABD的体积取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线而角的知识确左A选项的正确性：
根据圆锥的几何性质判断B选项的正确性；求得
DC=2CH»由此确泄C选项的正确性：
结合锥体体积求法，确定D选项的正确性.
【详解】如图，在梯形ABCD中，因为AB//CD,AB=2AD=2DC=2CB,E是的中点，
所以CD〃BE、CD=BE,所以四边形BCDE是菱形，所以BC=DE,
由于AT>=DE=AE,所以三角形ADE是等边三角形，
所以deJab,故ad丄bd,zbdc=zdbc=?
.
26
在将△BDC沿BD翻折至aBDC'的过程中，ZBDC上DBC的大小保持不变，由线而角的泄义可知，DC与平而血所成角的最大值为故A正确.
6
因为ZDBC大小不变，所以在翻折的过程中，C的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底而圆周上，而EF杲卜ABC的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底而圆周上，但此圆的圆心不是点E，故B不正确.
当BH丄平WiADC时，BH丄因为ZHCB=£,所以DC=BC=2CH，所以DH=3CH»
故c正确.
在翻折的过程中，aBCD的而积不变，所以当AD丄平而BDC'时，四而体C-ABD的体积取得最大值,故D正确.
故选：
ACD
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.—条与直线x-2y+3=O平行且距离大于点的直线方程为
【答案】x—2>，+9=0（答案不唯一）
【解析】
【分析】由平行关系设岀直线方程，再由距离公式求岀b的范I乩进而得岀其方程.
【详解】设该直线方程为x-2y+〃=0
则该直线可为x-2y+9=0
故答案为：
x-2.v+9=0（答案不唯一）
14.
若向^a,b满足a=4,冋=2Q（a+5）a=8,则2上的夹角为，"+厶=
【解析】
【分析】利用向量运算求得cos@/）,由此求得〈打）：
利用\il+b|=』"+切2来求得结果.
【详解】依题意（"+亦（/=8,a+ab=a+a•b-cos^,/?
^=8,
15.若某商品的广告费支出x（单位：
万元）与销售额y（单位：
万元）之间有如下对应数据:
X
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为¥#x+1・5,据此预测，当投人10万元时，销
售额的估计值为万元.
【答案】106.5
【解析】
【分析】先求岀1,亍得到$=10.5,即得解.
-1
【详解】由题得x=—（2+4+5+6+8）=5,
一1/
y=-（20+40+60+70+80）=54,
所以54=5/i+1.5,所以b=10.5，
所以y=10.5.r+1.5,
当x=\0时，y=10.5x10+1.5=106.5•
故答案为：
106.5
【点睛】结论点睛：
回归方程经过样本中心点（£亍），注意灵活运用这个性质解题.
16.已知）三心）的图象关于坐标原点对称，且对任意的x^R,Av+2）=A--r）恒成立，当一1<_¥<0时，.心）=2'，
则7（2021）=•
【答案】--
2
【解析】
【分析】由已知条件推出函数/（x）的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可.
【详解】戸心）的图象关于坐标原点对称，则f（x）=-f（-x）
又/（x+2）=/（-x）,可得f（x+2）=-f（x）=f（x-2）f即/'（x）的周期为4
/（2021）=/（4x505+l）=/（l）=-/（-l）=-l
故答案为：
-才
2
四、解答题：
本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3tt
17.如图，在平而四边形ABCD中，AD丄CD,ZBAD=—.2AB=BD=4・
a
（1）求cosZADB：
（2）若BC=V22,求CD.
【答案】（
1）cosZADB=:
⑵CD=3>/2
4
【解析】
【分析】
（1）△/!
〃£）中，利用正弦左理可得sinZADB,进而得岀答案:
（2）△BCD中，利用余弦泄理可得CD.
cosZADB=2^
务竺害L
化简得（CD-3Q）（CD+Q）=O,解得CD=3近.
18.已知数列仏｝满足绍=3%_仏2,«2-ai=l.
（1）证明:
数列仗心-①｝是等比数列：
（2）若g*,求数列⑺”｝的通项公式.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）«m=2w-*-1.
【解析】
【分析】
（1）利用％2一如=2（a„+l-an）证得结论成立.
（2）利用累加法求得｛©｝的通项公式.
【详解1
（1）依题意2a„=3爲+i-绻+2,所以％2一①+1=2（6+1_a“），
故数列k+1是首项为@—4=1，公比为2的等比数列，所以5+厂％=2”」.
（2）由
（1）得an+i-an=2n-｝f所以an-an_.=2n-2（n>2）,
所以①=（厲一QlJ+（Qi一3l2）+…+（°2一4）+4=2”-2+2”-3+...+2。
+丄
2
匕竺+丄=2亠丄
1-222
19.如I图，平而ABCD丄平面ABE,AD//BC.BC丄AB.AB=BC=2AE=2,F为CE上一点,且BF丄平而ACE.
（1）证明：
AE丄平而BCE；
（2）若平面ABE与平而CDE所成锐二而角为60。
，求AD
【答案】
（1）见解析：
（2）乜
3
【解析】
【分析】
（1）由平而ABCD丄平而ABE证明BC丄面ABE,得至\\BC丄AE,由BF丄平而ACE,得到BF丄AE,从而证明AE丄平而BCE
（2）过A作Aa•垂直AB,以不为x轴正方向，以丽为y轴正方向，以丽为z轴正方向，建立直角坐标系，用向量法计算可得.
【详解】
（1）•••平而ABCD丄平而ABE,AB为平ABCD和平而ABE的交线，BC丄AB,
:
.BC丄而:
.BC丄AE
又BF丄平而ACE,:
.BF丄AE.
又BCC\BF=B,:
.AE丄平而BCE.
如图示，过A作加垂直AB•以不为x轴正方向，以丽为y轴正方向，以祁为z轴正方向，建立空间直
:
.CE=
（Fi3—.
-—,-,2,CD=（0,—2,加一2）
22'7
显然平而ABE的一个法向量ii=BC=（0,0,2）
故初长为乎.
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
（1）第一问一般是几何关系证明，用判泄左理：
（2）第二问是讣算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算.
20.某校针对髙一学生安排社团活动.周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
活动项目
篮球
国画
排球
声乐
书法
要求每位学生选择其中的三项，学生甲决左选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.
（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望.
428
【答案】
（1）—：
（2）分布列见解析，—
1515
【解析】
【分析】
（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排球的槪率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结
果.
（2）求出丙同学选排球的概率，X的可能取值为0,1,2,3,分别求出概率，进而可得结果.
【详解】
（1）设A表示事件“甲同学选排球嘗表示事件“乙同学选排球"
因为事件A,B相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为:
一-234
P（AB）=P（A）P（B）=-x（l--）=-
C23
（2）设C表示事件“丙同学选排球二则P（C）=-i-=-
C55
X的可能取值为0,1,2,3则
2334
p（X=0）=（1-—）x（l--）x（l-_）=—:
35575
2332332334
p（X=1）=—x（l--）x（l--）+（1_一）x—x（1—-）+（1_一）x（1_—）x—=—
35535535515
亠小23“3、“2、332“3、311
p（X=2）=—x-x（l——）+（1——）x—x-+-x（l——）x—=—
35535535525
“c2336
p（X=3）=—x-x-=—
35525
X的分布列为
X
0
1
2
3
p
4
75
4
15
11
25
6
25
数学期望为E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=—
7525252515
2L已知双曲线C：
亠一亠=1（心"））的左、右焦点分别为Fi（-c,0）,F?
（c,0）,其中c0,A/（g3）在
crb-
C上，且C•的离心率为2.
（1）求C的标准方程:
（2）若0为坐标原点，ZF1MF2的角平分线/与曲线D：
二+二=1的交点为p,Q,试判断OP与OQ
是否垂直，并说明理由.
【答案】
（1）x2-^-=\i
（2）OP与00不垂直，答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用点在曲线上和离心率，解岀进而得出双曲线方程：
（2）利用角平分线泄理求岀N点坐标，联立直线MN与曲线D的方程，由根与系数的关系，结合平而向量的数量积得出结论.
【详解】
（1）由题意得＜
£1-1=1
"»,即4-—=1,解得b=*，又c2=a2+b2,可得a=\.c=29故
£=2"
、a
2
双曲线C的标准方程为宀令"
（2）设角平分线与x轴交于点N,根据角平分线性质可得等=罟
nf2mf2
设戶（舛」），0也』2），联立方程＜
y=2x_l
x2y2‘可得19疋-16x-8=0F-—=1
.43
16
8，）*2=（2册一1）（2勺一1）=4西吃一2（加+勺）+1
即OP与0。
不垂直.
【点睛】关键点点睛：
本题考查双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查平而向量的数量积,解决本题的关键点是利用角平分线左理求岀ZFLWF2的角平分线与x轴交点N,利用直线与曲线方程联立写出根与系数的关系，借助于平而向量的数量积得岀结论，考查学生逻借思维能力和计算能力，属于中档
题.
22.已知函数g（x）=2ax+l
（1）若/（x）2（x）恒成立,求d的取值集合;
（2）若Q0,且方程九M（x）=O有两个不同的根M,也，证明：
耳2*
【答案】
（1）-L
（2）见解析
2
【解析】
【分析】
（1）构造函数"（x）=/（x）—g（x）=w'—2or—l,求导，分类讨论得函数最值即可求解：
（2）由
■
eX[=2。
兀+1eX1—£可
题意得]t、_°1・加=一•等价证明（卫_“）「厂令，孚"，构造函数
c—zax,I1xn—"l」
g（/）=0_i_2/R求导证明即可
【详解】
（1）令u（x）=f（x）-g（x）=ex-2ax-l9u\x）=ex-2a当«<0,u（x）>0恒成立，“⑴在R上单调递增，"（0）=0,当x<0u（x）<0不合题意，故舍去
当q>0,"（x）=0则x=ln（2rz）.故当xvln（2d）,u\x）<0,"⑴单调递减：
当x>ln（2d）,
it（x）>0；u（x）单调递增，故"（x）冋=w（ln（2n））=2rz-2671n（2n）-l>0
令/2（^）=x-xln.v-l,.\/7（x）=-lnx=0,x=l,故〃（x）在（0,1）递增，在（1,+x）递减，故/?
（x）
（l）=0,即h（x）=x-x\nx-\<0,即加一2dIn（2d）—1<0,故2a=1即a=*故"的取值集合为
（2）方程心）・g（x）=0有两个不同的根x】，X2
=2axx+1ceX1-eX[
不妨令
:
.2a=
eX1=2ax2+1x2-xx
若证宁即证尸令r=2i^l>0,即证e2r-\>2tert令g（/）=/‘_l_2/”,g（/）=2R（”_/_1）
因为”>f+l，故g（/）>0,故g（f）单调递增,g（r）>g（0）=0得证
【点睛】本题关键是利用
eXl=2ax{+1eh=2ax=+1
天2一X\
•等价证明（e-xJ「厂V
—1,构造函数
证明
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