广东省湛江市届高三一模数学试题含答案解析.docx

1、广东省湛江市届高三一模数学试题含答案解析湛江市2021年普通高考测试(一)数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上 无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知(Qq)r)B=0,则下而选项中一定成立的是()A.AH B = A B. ACB = B C. AoB = B D

2、. AU B = R【答案】B【解析】【分析】通过取特殊集合，依次分析各选项即可.【详解】对于A选项，由= A得AuB ,不妨设A = a|x1,B = a|x0,则(QA)cB = x|OvxS1h0,故不满足，故A选项错误：对于B选项，由= B得BuA,显然(Q4)C|B = 0,满足，故B选项正确：对于C选项，由A5 = B得4uB，由A选项知其不满足，故C选项错误；对于D选项，由AJB = R,不妨设A = x卜1,3 =匕卜0，显然(CrA)cB = x卜 1H0 ,故不满足，故D选项错误 故选：B.2.中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最髙、规模最大.最具影响力的数

3、学竞赛某重 点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示, 则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为()7 12344557【答案】B【解析】【分析】根据成绩出现次数最多的为众数，根据从小到大第七个和第八个数据的平均数为中位数求解即可.【详解】解：由茎叶图知，出现的数据最多的是85,故众数为85；由于数据总数为14个，故中位数为第七个和第八个数据的平均数，即： = 762故选：B.3.已知圆锥的轴截而是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是()A.64兀 B. 48充 C. 32兀 D. 16兀【答案】C【解析】【分析】由题意可得，圆锥的侧面展开

4、图是扇形，半径为母线8,弧长为圆锥底面周长，进而可得结果.【详解】由题意可得，圆锥底而直径为，8半径为4,母线长为8,圆锥的侧而展开图是扇形，半径为母线8,弧长为圆锥底而周长/=2x4 = 8 扇形而积为：S=i.8.8 = 322故选:C4.将函数.A-r)=sin.v的图象上所有点的横坐标变为原来的丄(。0),纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若CO函数g(x)的最小正周期为6兀，则()A. co= B. co=6 C. co= D. 0=33 6【答案】A【解析】【分析】由伸缩变换求岀g(x)的解析式，再由周期公式得出答案.C 1【详解】由题意可知g(x) = siiy 由= 6,解得

5、6? = -CD 3故选:A5.已知等比数列”的前“项和为S”，则“S”+iS”“是单调递增“的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由 S”二 g 0,举反例an= 0和即可得岀结果【详解】S“+|S”=5+】0,例如廿士 0,但是数列”不单调递增，故不充分； 数列%单调递增,例如叫=-帶,但是S”+|0)的焦点为F,点M是C上的一点，M到直线尸2“的距离是M到C的准线距 离的2倍，且丨M/6,则尸()A.4 B.6 C. 8 D. 10【答案】A【解析】【分析】利用已知条件结合抛物线的立义求解即可.2p- =6x2【详解】

6、设M(xo，y()则4 p ，解得P = 4亍6故选：A7.已知 ac B. cba C. bca D. abc【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果.【详解】1=3.2 3.201 3.2 1 Iog2 4 = 2 = Z? 20= log31 log? 2 0 c ac故选：A&已知椭圆二+二=l(Qb0)的左、右焦点分别为戸，F29过的直线交椭圆C于儿B两点，若 cr lrBA BF,且I BF山LABI, LAFd成等差数列，则C的离心率为(【答案】A【解析】【分析】由向量知识得出ZAB耳=90。，再由等差数列的性质、勾股左理、椭圆的泄义得出a = 41c最

7、 后由离心率公式得出答案.【详解】因为BA BF；,所以ZABF2 = 90由丨 BFJ, IABI, L4F2I 成等差数列，设BF2 = xy AB= x+d AF= x+2d在&AB耳中，x2+(x + d)2=(x + 2)2,解得x = 3d即 |B耳 | = 3, I AB 1= 4J, | A巧 | = 5d由椭圆的立义得aABF的周长为+ 可+ |A可+ |4可=加+加=力即 3d + 4 + 5d = 4a. a = 3d在直角三角形BFF?中，BF2=a = BFl, FF = 2ct 则a2 +a2 =(2c)2,故a = /2c即 e = = ：ZIa 2故选：A【点睛

8、】关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股左理、等差中项的性质、椭圆的左义得出4C的齐次方 程，进而得出离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若复数& = Wi，贝9 ()A. Izl=2 B. Izl=4C.z的共轨复数z=/3+/ D.才=4-2岳【答案】AC【解析】【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确左正确选项.【详解】依题意忖= 齐+ H=2,故a选项正确，B选项错误.Z = y/3+i，C选项正确.2-沂=3-2五+卩=2-2血,D选项错误 故选：AC10.已

9、知(1 -2.V)202I=212021【答案】ABD 【解析】a( _ a】+ 2 _ 2021 【分析】由二项式系数之和，当x = -. 32021当 X=, (一1)“ = 4)+4+02+03+。2021 ，由+，-；令 X = 0,则 5 = 1，令 A- = ,则厶0 =兔+今+券+ +讒,即可得结果.【详解】A 二项式系数之和为C爲+C爲+ C；席二2如，故A正确:B.(1 2 牙)m = a()+ + 勺对 + + 02021 牙二:l X = 1 , 3JL1 = a。_q +。2 2021 -Pi X = 1 ( 1) = + q + + 。202】铲I _ I+，可得当3

10、沖1 = 2（6+6+吆2。）=5+6+如20= ，故B正确;铲IC 3JLl +1 = 2(q +。3 + +。2021)亠 + 3 + + 2021 = 9 故 C 错误:2D.(l-2x)2021 = a0 + axx + a2x2 + + r/2021x2021令x = 0 则5=1令“!则0=如+今+守+.+羯今+守+羯=1，故D正确故答案为：ABD11已知函数./U）引1U-1 贝I（）B.曲线冃匕）在（1,川）处的切线为x轴D7U）在左义域内单调A./U）的极大值为0C.7U）的最小值为0【答案】BC【解析】【分析】直接对心）*31咲1,求出导函数，利用列表法可以验证A. C、D

11、;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.【详解】心）*31 的泄义域为（0, + s）, r（x） = 3x2- = -（x3-l）X X令 /（x） = 3x2 - = （x3 -1）=0 得兀=,X Xv 7列表得:X(0,1)1(1,+8)-0+J(x)单减单增所以/的极小值，也是最小值为戏1）=0,无极大值，在立义域内不单调：故c正确，A. D错误:对于B:由,AD=O及广（1） = 0,所以）=心）在（1, .AD）处的切线方程y0 = 0（xl）,即y = 0.故B正确.故选：BC【点睛】导数的应用主要有：（1） 利用导函数几何意义求切线方程；（2） 利用导数研究原函数的单调性，求

12、极值（最值）；（3） 利用导数求参数的取值范用.12.在梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2CB,将BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E,F分别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中（）A.DC与平而ABD所成角的最大值为76B.F在以E为圆心的一个肚圆上C.若丄平而ADC,则血=3C HD.当AD丄平而BDC时，四而体C-ABD的体积取得最大值【答案】ACD【解析】【分析】根据线而角的知识确左A选项的正确性：根据圆锥的几何性质判断B选项的正确性；求得DC = 2CH 由此确泄C选项的正确性：结合锥体体积求法，确定D选项的正确性.【详解】如图，在梯形AB

13、CD中，因为AB/CD, AB = 2AD = 2DC = 2CB, E是的中点，所以CDBE、CD = BE,所以四边形BCDE是菱形，所以BC = DE,由于AT = DE = AE,所以三角形ADE是等边三角形，所以de Jab,故ad丄bd, zbdc = zdbc = ?.2 6在将BDC沿BD翻折至aBDC的过程中，ZBDC上DBC的大小保持不变，由线而角的泄义可知，DC 与平而血所成角的最大值为故A正确.6因为ZDBC大小不变，所以在翻折的过程中，C的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底而圆周上，而EF杲 卜ABC的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底而圆周上，但此圆的圆心不是点E，故

14、B不正确.当BH丄平WiADC时，BH丄因为ZHC B = ,所以DC =BC = 2CH，所以DH = 3C H 故c正确.在翻折的过程中，aBCD的而积不变，所以当AD丄平而BDC时，四而体C -ABD的体积取得最大值, 故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.条与直线x-2y+3=O平行且距离大于点的直线方程为 【答案】x 2，+ 9 = 0 （答案不唯一）【解析】【分析】由平行关系设岀直线方程，再由距离公式求岀b的范I乩 进而得岀其方程.【详解】设该直线方程为x-2y + = 0则该直线可为x-2y + 9 = 0故答案为：x-2.v + 9 = 0

15、 （答案不唯一）14.若向a,b满足a =4,冋= 2Q（a+5）a = 8,则2上的夹角为 ， +厶= 【解析】【分析】利用向量运算求得cos/）,由此求得打）：利用il+b |=+切2 来求得结果.【详解】依题意（+ 亦（/ = 8, a +ab= a + a b -cos,/? = 8 ,15.若某商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据:X24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为#x+15,据此预测，当投人10万元时，销售额的估计值为 万元.【答案】106.5【解析】【分析】先求岀1,亍得到$ = 10.5,

16、即得解.-1【详解】由题得x = （2 + 4 + 5 + 6 + 8） = 5,一 1 /y = -（20 + 40 + 60 + 70 + 80） = 54,所以54=5/i+1.5,所以b = 10.5，所以 y = 10.5.r+1.5,当 x = 0时，y = 10.5x10+1.5 = 106.5故答案为：106.5【点睛】结论点睛：回归方程经过样本中心点(亍)，注意灵活运用这个性质解题.16.已知)三心)的图象关于坐标原点对称，且对任意的xR, Av+2)=A-r)恒成立，当一1_/24【解析】【分析】（1） /!）中，利用正弦左理可得sinZADB,进而得岀答案:（2） BCD

17、中，利用余弦泄理可得CD.cos ZADB = 2务竺害L化简得（CD-3Q）（CD + Q） = O,解得CD = 3近.18.已知数列仏满足绍=3%_仏2, 2-ai=l.（1） 证明:数列仗心-是等比数列：（2） 若g*,求数列”的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2） m=2w-*-1.【解析】【分析】（1）利用2 一如=2（a+l -an）证得结论成立.（2）利用累加法求得的通项公式.【详解1（1）依题意2a = 3爲+i -绻+2,所以2 一+1 = 2（6+1 _a“ ），故数列k+1 是首项为 4 = 1，公比为2的等比数列，所以5+厂 =2”.（2）由（1）得an+i-a

18、n=2n- f 所以an-an_.=2n-2（n2）,所以=（厲 一QlJ + （Qi 一3l2） + + （2 一4） + 4 =2”-2+2”-3+.+2。+丄2匕竺+丄=2亠丄1-2 2 219.如I图，平而 ABCD丄平面 ABE, AD/BC. BC丄AB. AB=BC=2AE=2, F 为 CE 上一点,且 BF丄平而 ACE.（1） 证明：AE丄平而BCE；（2） 若平面ABE与平而CDE所成锐二而角为60。，求AD【答案】（1）见解析：（2）乜3【解析】【分析】（1）由平而ABCD丄平而ABE证明BC丄面ABE,得至 BC丄AE,由BF丄平而ACE,得到BF丄AE, 从而证明A

19、E丄平而BCE（2）过A作Aa垂直AB,以不为x轴正方向，以丽为y轴正方向，以丽为z轴正方向，建立直角坐标 系，用向量法计算可得.【详解】（1）平而ABCD丄平而ABE, AB为平ABCD和平而ABE的交线，BC丄AB,:.BC丄而 :.BC丄AE又BF丄平而ACE, :.BF丄AE.又 BCCBF = B,:.AE丄平而 BCE.如图示，过A作加垂直AB以不为x轴正方向，以丽为y轴正方向，以祁为z轴正方向，建立空间直:.CE =(Fi 3 .- ,-,2 ,CD = (0,2,加一2)2 2 7显然平而ABE的一个法向量ii = BC =（0,0,2）故初长为乎.【点睛】立体几何解答题的基本

20、结构：（1） 第一问一般是几何关系证明，用判泄左理：（2） 第二问是讣算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法 计算.20.某校针对髙一学生安排社团活动.周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项，学生甲决左选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.（1） 求甲选排球且乙未选排球的概率；（2） 用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望.4 28【答案】（1） ：（2）分布列见解析，15 15【解析】【分析】（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排

21、球的槪率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结果.（2）求出丙同学选排球的概率，X的可能取值为0, 1, 2, 3,分别求出概率，进而可得结果.【详解】（1）设A表示事件“甲同学选排球嘗表示事件“乙同学选排球因为事件A, B相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为:一 -2 3 4P(AB) = P(A)P(B)=-x(l-) = -C2 3（2）设C表示事件“丙同学选排球二则P（C） = -i- = -C5 5X的可能取值为0, 1, 2, 3则23 3 4p(X =0) = (1-)x(l-)x(l-_) =:35 5 7523 3 2 3 3 2 334p(X =1) =

22、x(l-)x(l- -)+(1 _ 一)x x (1 -)+(1 _ 一)x (1 _ )x =35 5 3 5 5 3 5 5 15亠小 2 3 “ 3、“ 2、3 3 2 “ 3、3 11p(X = 2) = x-x(l)+(1)x x- + -x(l)x=35 5 3 5 5 3 5 5 25“ c 2 3 3 6p(X =3) = x-x- =3 5 5 25X的分布列为X0123p4754151125625数学期望为 E(X) = 0x + lx + 2x + 3x = 75 25 25 25 152L已知双曲线C： 亠一亠=1（心）的左、右焦点分别为Fi（-c, 0）, F?（c,

23、 0）,其中c0, A/（g 3）在cr b-C上，且C的离心率为2.（1）求C的标准方程:（2）若0为坐标原点，ZF1MF2的角平分线/与曲线D：二+二=1的交点为p, Q,试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.【答案】（1）x2- = i（2） OP与00不垂直，答案见解析.【解析】【分析】（1）利用点在曲线上和离心率，解岀进而得出双曲线方程：（2）利用角平分线泄理求岀N点坐标，联立直线MN与曲线D的方程，由根与系数的关系，结合平而向 量的数量积得出结论.【详解】（1）由题意得1-1 = 1 ,即4-= 1,解得b = *，又c2=a2+b2,可得a = .c = 29 故 = 2 、a2

24、双曲线C的标准方程为宀令（2）设角平分线与x轴交于点N,根据角平分线性质可得等=罟nf2 mf2设戶（舛），0也2），联立方程y = 2x_lx2 y2 可得 19疋-16x-8 = 0 F - = 1.4 3168，）*2=（2册一1）（2勺一1） = 4西吃一2（加+勺）+ 1即OP与0。不垂直.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查平而向量的数量积, 解决本题的关键点是利用角平分线左理求岀ZFLWF2的角平分线与x轴交点N,利用直线与曲线方程联立 写出根与系数的关系，借助于平而向量的数量积得岀结论，考查学生逻借思维能力和计算能力，属于中档题.22.已

25、知函数g(x)=2ax+l(1)若/(x)2(x)恒成立,求d的取值集合;(2)若Q0,且方程九M(x)=O有两个不同的根M,也，证明：耳2ln2“.*【答案】(1) -L(2)见解析2【解析】【分析】(1)构造函数(x) = /(x)g(x) = w 2orl,求导，分类讨论得函数最值即可求解：(2)由eX = 2。兀 +1 eX1 可题意得t、_ 1加= 一 等价证明(卫_“)厂令，孚，构造函数c zax, I 1 x n l g(/) = 0_i_2/R求导证明即可【详解】(1)令u(x) = f(x)-g(x) = ex-2ax-l9 ux) = ex-2a 当 0恒成立，“在R上单调

26、递增，(0) = 0,当x0 u(x)0, (x) = 0 则 x = ln(2rz).故当 xvln(2d), ux)ln(2d),it (x)0； u(x)单调递增，故(x)冋=w(ln(2n) = 2rz-2671n(2n)-l 0令/2() = x-xln.v-l,./7 (x) = -lnx = 0,x = l,故(x)在(0,1)递增，在(1,+x)递减，故 /?(x)/?(l) = 0,即 h(x) = x-xnx-0,即加一2d In (2d) 1 0,即证 e2r - 2ter t 令 g(/) = /_l_2/”,g (/) = 2R (” _/_1)因为”f + l，故g (/)0,故g(f)单调递增,g(r)g(0) = 0得证【点睛】本题关键是利用eXl = 2ax +1 eh = 2ax= +1天2 一 X等价证明（e-xJ厂V1 ,构造函数证明