中考数学二次函数专题复习含答案解析.docx

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中考数学二次函数专题复习含答案解析

2020年中考数学二次函数专题复习

【名师精选全国真题，值得下载练习】

1某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：

如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?

设每件商品降价元．每天的销售额为元．

（I）分析：

根据问题中的数量关系．用含的式子填表：

（Ⅱ）（由以上分析，用含的式子表示，并求出问题的解）

【答案】解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）根据题意，每天的销售额

整理配方，得。

∴当=5时，取得最大值1800。

答：

当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l800元。

【考点】列函数关系式，二次函数的应用。

【分析】（Ⅰ）根据题意，可分析出结果。

（Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：

每天的销售额=每件售价×每天销量

求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式的形式即可求出。

（Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：

每天的销售额=每件售价×每天销量

求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式的形式即可求出。

2.如图，抛物线y=ax2﹣4ax+c（a≠0）经过A（0，﹣1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．

（1）求a，c的值；

（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；

（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？

并写出对应的m取值范围．（不必写过程）

【答案】解：

（1）∵抛物线y＝ax2－4ax＋c过A（0，－1），B（5，0），

∴，解得：

。

（2）∵直线AB经过A（0，－1），B（5，0），∴直线AB的解析式为y＝x－1。

由

（1）知抛物线的解析式为：

y＝x2－x－1。

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴，

∴P（m，m2－m－1），Q（m，m－1）。

∴S＝PQ＝（m－1）－（m2－m－1）。

即S＝－m2＋m（0＜m＜5）。

（3）抛物线的对称轴l为：

x＝2。

以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：

相离、相切、相交三种关系。

相离时：

0＜m＜或＜m＜5；

相切时：

m＝m＝；

相交时：

＜m＜。

3.一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2

万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本

增加0.7倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5倍，则预计今年年销售量将比去年

年销售量增加倍（本题中0＜≤11）．

⑴用含的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件

的出厂价为_________元．

⑵求今年这种玩具的每件利润元与之间的函数关系式．

⑶设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当为何值时，今年的年销售利润最大？

最大年销售

利润是多少万元？

注：

年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．

【答案】解：

⑴10＋7；2＋6。

⑵由⑴，得=（12＋6）－（10＋7）。

即=2－。

∴年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式为=2－。

⑶∵w=2（1＋）（2－）=－22＋2＋4，∴w=－2（－0.5）2＋4.5。

∵－2＜0，0＜≤11，∴w有最大值。

∴当=0.5时，w最大=4.5（万元）。

答：

当为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元。

【考点】二次函数的应用。

【分析】

（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7倍，即为（10＋10•0.7）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5倍，即为（12＋12•0.5）元/件。

（2）今年这种玩具的每件利润等于每件的出厂价减去每件的成本价，即=（12＋6）－（10＋7），然后整理即可。

（3）今年的年销售量为（2＋2）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价-每件玩具的成本）×年销售量，得到w=-2（1＋）（－2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案。

4.我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量（件）是售价（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．

（1）求y与的函数关系式；

（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？

最大利润是多少元？

（利润=售价－成本）

【答案】解：

（1）设与的函数关系式为，

把=22，=780和=25，=750代入，得，

解得，。

∴与的函数关系式为。

（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，

则，

∵，∴当时，w随x的增大而增大。

所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大。

元。

答：

当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元。

【考点】待定系数法求一次函数解式，解二元一次方程组，二次函数性质的应用。

【分析】

（1）用待定系数法将=22，=780和=25，=750代入即可求得与的函数关系式。

（2）先求得每天获得的利润w关于的函数关系式，再利用二次函最大值的性质求出当=30时获得的利润最大。

5.如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于点

A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作OAPQ，

PQ所在直线与轴交于点B．设点P的横坐标为．

（1）点Q落在x轴上时m的值．

（3）若点Q在轴下方，则为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．

【参考公式：

二次函数的顶点坐标为（）】

【答案】解：

（1）令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3。

在=2－2＋3中，令=3可求得点P横坐标m=4。

（2）∵QB=OA-PB=3-PB，∴当PB取最小值时，QB最大。

当=2时，二次函数=2－2＋3有最小值y=1。

∴当m=2时，QB的最大值为2。

【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】

（1）可以令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3时m的值。

（2）根据当PB取最小值时，QB最大，当=2时，二次函数=2－2＋3有最小值即可得出答案。

6.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S（单位：

cm2）随其中一条对角线的长（单位：

cm）的变化而变化．

（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当是多少时，菱形风筝面积S最大?

最大面积是多少?

【答案】解：

（1）。

（2）把化为顶点式：

∵＜0，

∴当时，S有最大值，最大值为450。

∴当为30cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm2。

【考点】二次函数的应用，菱形的性质，二次函数的最值。

【分析】

（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出S与之间的函数关系式。

（2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的最值原理，即可求出。

7.某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经过调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少时，才能使每天所获利润最大？

最大利润是多少？

【答案】解：

设销售单价定为元（），每天所获利润为元，

则

∴将销售定价定为14元时，每天所获利润最大，且最大利润是360元。

【考点】二次函数的应用。

【分析】根据题意列出二次函数，将函数化为顶点式，便可知当=14时，所获得的利润最大。

8.已知：

二次函数，其图象对称轴为直线＝1，且经过点（2，－）．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

注：

二次函数的对称轴是直线＝－．

【答案】解：

（1）由二次函数的图象对称轴为直线＝1，且经过点（2，－）得

，解得，。

∴此二次函数的解析式为。

（2）∵由得1＝－1，2＝3。

∴B（－1，0），C（3，0）。

∴BC=4。

又∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，

∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，－3）。

∴△EBC的最大面积=。

【考点】二次函数综合题，二次函数上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】

（1）利用二次函数上点的坐标与方程的关系将点（2，－））代入二次函数解析式和对称轴为直线＝1，得二元一次方程组，即可求得。

（2）利用二次函数与轴相交即＝0，求出即可，再利用E点在轴下方，且E为顶点坐标时△EBC面积最大，求出即可。

9．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。

例如，对于函数，令=0，可得=1，我们就说1是函数的零点。

己知函数（为常数）。

（1）当=0时，求该函数的零点；

（2）证明：

无论取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式。

【答案】解：

（1）当=0时，该函数为，令=0，可得，

∴当=0时，求该函数的零点为和。

（2）令=0，得△=，

∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。

即无论取何值，该函数总有两个零点。

（3）依题意有，

由得，即，解得。

∴函数的解析式为。

令=0，解得。

∵点A在点B左侧，∴A（），B（4，0）。

作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。

易求得直线与轴、轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。

连结CB’，则∠BCD=45°，∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°。

∴∠BCB’=90°，即B’（）。

设直线AB’的解析式为，则

，解得

∴直线AB’的解析式为，即AM的解析式为。

【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，等量代换，对称的性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法，曲线上的点与方程的关系，解二元一次方程组。

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将=0代入，然后令=0即可解得函数的零点；

（2）令=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可。

（3）根据题中条件求出函数解析式从而求得A、B两点坐标，作点B关于直线的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标，应用待定系数法即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式。

10.如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0，7）两点．

⑴求该抛物线的解析式及对称轴；

⑵当为何值时，？

⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

【答案】解：

（1）把A（－2，－1），B（0，7）两点的坐标代入，

得，解得。

∴该抛物线的解析式为。

又∵，所以对称轴为直线。

（2）当函数值时，的解为。

∴结合图象，容易知道时，。

（3）当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），

则，即。

∵C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴对称，