北师大版九年级数学上册26 应用一元二次方程 同步练习题含答案教师版.docx

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北师大版九年级数学上册26应用一元二次方程同步练习题含答案教师版

北师大版九年级数学上册第二章2.6应用一元二次方程同步练习题

第1课时　利用一元二次方程解决几何问题

1．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的

，则路宽x（m）应满足的方程是（D）

A．（40－x）（70－x）＝800B．（40－2x）（70－3x）＝800

C．（40－x）（70－x）＝2000D．（40－2x）（70－3x）＝2000

2．如图，AB⊥CB，AB＝10cm，BC＝8cm，一只螳螂从A点出发，以2cm/s的速度向B爬行，与此同时，一只蝉从C点出发，以1cm/s的速度向B爬行，当螳螂和蝉爬行xs后，它们分别到达了点M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，根据题意可得方程（D）

A．2x·x＝24B．（10－2x）（8－x）＝24

C．（10－x）（8－2x）＝24D．（10－2x）（8－x）＝48

3．如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（D）

A．5mB．（5＋

）mC．（5＋3

）mD．（5＋5

）m

4．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为10_m．

5．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2＋17）cm，正六边形的边长为（x2＋2x）cm（其中x＞0），则这两段铁丝的总长为420_cm．

6．如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为1_500cm3.

7．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长为24m，宽为12m，在温室内，沿前侧内墙保留2m宽的空地，其他三侧内墙各保留等宽的通道．当通道的宽为多少时，蔬菜种植区域的面积是210m2?

解：

设通道的宽为xm，则蔬菜种植区域为长（24－2－x）m，宽（12－2x）m的矩形，依题意，得

（24－2－x）（12－2x）＝210.

整理，得x2－28x＋27＝0.

解得x1＝1，x2＝27（不合题意，舍去）．

答：

当通道的宽为1m时，蔬菜种植区域的面积是210m2.

8．一个矩形周长为56cm.

（1）当矩形面积为180cm2时，长、宽分别为多少？

（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？

请说明理由．

解：

（1）设矩形的长为xcm，则宽为（28－x）cm，依题意，得x（28－x）＝180.

解得x1＝10，x2＝18.

当x＝10时，28－x＝18>10，不符合题意，舍去；

当x＝18时，28－x＝10.

答：

长为18cm，宽为10cm.

（2）设矩形的长为xcm，则宽为（28－x）cm，依题意，得

x（28－x）＝200.

化简，得x2－28x＋200＝0.

∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0.

∴原方程无实数根．

故不能围成一个面积为200cm2的矩形．

9．如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走，当乙走到点O以北50m处时，甲恰好到点O处，若两人继续向前行走，求两人相距85m时各自的位置．

解：

设两人继续向前行走xs时相距85m．根据题意，得（50＋3x）2＋（4x）2＝852.

解得x1＝9，x2＝－21（舍去）．

则50＋3x＝77，4x＝36.

答：

两人相距85m时，甲走到点O以东36m处，乙走到点O以北77m处．

10．如图，现有长为100米的围栏，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，BC的长度不大于墙长．

（1）可以围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈吗？

如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

如果不能，请说明理由；

（2）可以围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈吗？

如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

如果不能，请说明理由．

解：

（1）设AB的长度为x米，则BC的长度为（100－4x）米．根据题意，得

（100－4x）x＝400，

解得x1＝20，x2＝5，

则100－4x＝20或100－4x＝80.

∵80＞25，∴x2＝5舍去．

∴AB＝20，BC＝20.

答：

羊圈的边长AB为20米，BC为20米．

（2）不能，理由：

（100－4x）x＝640，

整理，得x2－25x＋160＝0.

Δ＝（－25）2－4×1×160＝－15＜0，

∴该方程无实数根．

∴不能围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈．

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为ts.

（1）填空：

BQ＝2tcm，PB＝（5－t）cm（用含t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm?

（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？

若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

解：

（2）由题意，得（5－t）2＋（2t）2＝52，

解得t1＝0，t2＝2.

∴当t的值为0或2时，PQ的长度等于5cm.

（3）存在t＝1s，使得五边形APQCD的面积等于26cm2.理由如下：

∵矩形ABCD的面积为5×6＝30（cm2），五边形APQCD的面积为26cm2，

∴△PBQ的面积为30－26＝4（cm2）．

∴（5－t）×2t×

＝4，

解得t1＝4（不合题意，舍去），t2＝1.

∴当t＝1s时，五边形APQCD的面积等于26cm2.

第2课时　利用一元二次方程解决营销问题

1．某件商品原价为1000元，连续两次都降价x%后该件商品售价为640元，则下面所列方程正确的是（A）

A．1000（1－x%）2＝640B．1000（1－x%）2＝360

C．1000（1－2x%）＝640D．1000（1－2x%）＝360

2．（成都模拟）某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元．若平均每月增长率为x，则由题意可列方程（D）

A．100（1＋x）2＝500B．100＋100×2x＝500

C．100＋100×3x＝500D．100[1＋（1＋x）＋（1＋x）2]＝500

3．（成都武侯区模拟）在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：

当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（B）

A．（x－2500）（8＋4×

）＝5000

B．（x－2500）（8＋4×

）＝5000

C．（2900－x－2500）（8＋4×

）＝5000

D．（2900－x）（8＋4×

）＝5000

4．（成都成华区模拟）受非洲猪瘟及供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克．若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是50%．

5．某商品的进价为5元，当售价为x元时，此时能销售该商品（x＋5）个，并获利144元，则该商品的售价为13元．

6．（某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出．据市场调查：

每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元．若该厂家每天想要获利20000元，则这种玩具的销售单价为460元．6．（沈阳中考）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

解：

（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得

400（1－x）2＝361，

解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．

答：

每个月生产成本的下降率为5%.

（2）361×（1－5%）＝342.95（万元）．

答：

预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

7．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．

项目

第一次锻炼

第二次锻炼

步数（步）

10000

①10_000（1＋3x）

平均步长（米/步）

0.6

②0.6（1－x）

距离（米）

6000

7020

注：

步数×平均步长＝距离．

（1）根据题意完成表格填空；

（2）求x的值；

（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．

解：

（2）由题意，得

10000（1＋3x）×0.6（1－x）＝7020，

整理，得3x2－2x＋0.17＝0，

解得x1＝

＞0.5（舍去），x2＝0.1.

答：

x的值为0.1.

（3）10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000（步），

500÷（24000－23000）＝0.5（米）．

答：

王老师这500米的平均步长为0.5米．

8．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．

销售量y（千克）

…

34.8

32

29.6

28

…

售价x（元/千克）

…

22.6

24

25.2

26

…

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克？

解：

（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，

将（22.6，34.8），（24，32）代入y＝kx＋b，得

解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋80.

当x＝23.5时，y＝－2x＋80＝33.

答：

当天该水果的销售量为33千克．

（2）根据题意，得（x－20）（－2x＋80）＝150，

解得x1＝35，x2＝25.

∵20≤x≤32，∴x＝25.

答：

如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元/千克．

9．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．

（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的

，求甲工厂最多可生产多少万片口罩？

（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．

解：

（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000－x）万片口罩，由题意，得

0．6x≤0.8（2000－x）×

，

解得x≤1000.

答：

甲工厂最多可生产1000万片口罩．

（2）由题意，得

（6－0.5m）（0.8＋0.2m）＝6×0.8＋1.6，

整理，得m2－8m＋16＝0.

解得m1＝m2＝4.

答：

m的值为4.

第3课时　利用一元二次方程解决其他问题

1．两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是（B）

A．x（x＋1）＝323B．x（x＋2）＝323

C．x（x－2）＝323D．（2x＋1）（2x－1）＝323

2．（实外组织教职工篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），总共安排了15场比赛，则参加比赛的球队应有（C）

A．7队B．5队C．6队D．4队

3．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：

今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？

设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（B）

A．（x＋2）2＋（x－4）2＝x2

B．（x－2）2＋（x－4）2＝x2

C．x2＋（x－2）2＝（x－4）2

D．（x－2）2＋x2＝（x＋4）2

4．元旦晚会，全班同学互赠贺卡，若每两个同学都相互赠送一张贺卡，小明统计全班共送了1640张贺卡，那么全班有多少人？

设全班有x人，则根据题意可以列出方程x（x－1）＝1_640．

5．有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为55人．

6．如图，A，B，C，D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为

_s或

_s时，点P和点Q之间的距离是10cm.

7．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？

解：

设共有x家公司参加商品交易会，根据题意，得

x（x－1）＝45，

整理，得x2－x－90＝0，

解得x1＝10，x2＝－9（不合题意，舍去）．

答：

共有10家公司参加商品交易会．

8．一个容器盛满纯酒精20升，第一次倒出纯酒精若干升后，加水注满，第二次倒出相同数量的酒精，这时容器内的纯酒精只是原来的

，问第一次倒出纯酒精多少升？

解：

设第一次倒出纯酒精x升，根据题意，得

20－x－

·x＝

×20.

整理，得x2－40x＋300＝0.

解得x1＝30（不合题意，舍去），x2＝10.

答：

第一次倒出纯酒精10升．

9．如图，某天晚上8点时，一台风中心位于点O正北方向160km的点A处，台风中心以每小时20

km的速度向东南方向移动，在距台风中心≤120km的范围内将受到台风影响，同时，在点O有一辆汽车以每小时40km的速度向东行驶．

（1）汽车行驶了多少小时后受到台风影响？

（2）汽车受到台风影响的时间有多长？

解：

（1）如图，以O为原点，OA所在直线为y轴，汽车行驶的路线为x轴，建立平面直角坐标系．

设当台风中心在M点，汽车在N点时，汽车开始受到影响，此时运动时间是t小时．过点M分别作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D.

则△ADM是等腰直角三角形，AM＝20

t，则AD＝DM＝

AM＝20t.∴点M的坐标为（20t，160－20t），点N的坐标为（40t，0）．

汽车开始受到影响，则MN＝120km.

∴（40t－20t）2＋（160－20t）2＝1202，

即t2－8t＋14＝0，解得t1＝4－

，t2＝4＋

.

答：

汽车行驶了（4－

）小时后受到台风影响．

（2）（4＋

）－（4－

）＝2

（小时）．

答：

汽车受到台风影响的时间有2

小时．