北师大版九年级数学上册26 应用一元二次方程 同步练习题含答案教师版.docx
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北师大版九年级数学上册26应用一元二次方程同步练习题含答案教师版
北师大版九年级数学上册第二章2.6应用一元二次方程同步练习题
第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
1.如图,在长70m,宽40m的矩形花园中,欲修宽度相等的观赏路(阴影部分),要使观赏路面积占总面积的
,则路宽x(m)应满足的方程是(D)
A.(40-x)(70-x)=800B.(40-2x)(70-3x)=800
C.(40-x)(70-x)=2000D.(40-2x)(70-3x)=2000
2.如图,AB⊥CB,AB=10cm,BC=8cm,一只螳螂从A点出发,以2cm/s的速度向B爬行,与此同时,一只蝉从C点出发,以1cm/s的速度向B爬行,当螳螂和蝉爬行xs后,它们分别到达了点M,N的位置,此时,△MNB的面积恰好为24cm2,根据题意可得方程(D)
A.2x·x=24B.(10-2x)(8-x)=24
C.(10-x)(8-2x)=24D.(10-2x)(8-x)=48
3.如图,把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍,则小圆形场地的半径为(D)
A.5mB.(5+
)mC.(5+3
)mD.(5+5
)m
4.如图,某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃(墙长为12m),围栏总长度为28m,则与墙垂直的边x为10_m.
5.如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的边长为(x2+2x)cm(其中x>0),则这两段铁丝的总长为420_cm.
6.如图,将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分),剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).若长方形纸板边长分别为40cm和30cm,且折成的长方体盒子表面积是950cm2,此时长方体盒子的体积为1_500cm3.
7.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长为24m,宽为12m,在温室内,沿前侧内墙保留2m宽的空地,其他三侧内墙各保留等宽的通道.当通道的宽为多少时,蔬菜种植区域的面积是210m2?
解:
设通道的宽为xm,则蔬菜种植区域为长(24-2-x)m,宽(12-2x)m的矩形,依题意,得
(24-2-x)(12-2x)=210.
整理,得x2-28x+27=0.
解得x1=1,x2=27(不合题意,舍去).
答:
当通道的宽为1m时,蔬菜种植区域的面积是210m2.
8.一个矩形周长为56cm.
(1)当矩形面积为180cm2时,长、宽分别为多少?
(2)能围成面积为200cm2的矩形吗?
请说明理由.
解:
(1)设矩形的长为xcm,则宽为(28-x)cm,依题意,得x(28-x)=180.
解得x1=10,x2=18.
当x=10时,28-x=18>10,不符合题意,舍去;
当x=18时,28-x=10.
答:
长为18cm,宽为10cm.
(2)设矩形的长为xcm,则宽为(28-x)cm,依题意,得
x(28-x)=200.
化简,得x2-28x+200=0.
∴Δ=282-4×200=784-800=-16<0.
∴原方程无实数根.
故不能围成一个面积为200cm2的矩形.
9.如图,某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走,乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走,当乙走到点O以北50m处时,甲恰好到点O处,若两人继续向前行走,求两人相距85m时各自的位置.
解:
设两人继续向前行走xs时相距85m.根据题意,得(50+3x)2+(4x)2=852.
解得x1=9,x2=-21(舍去).
则50+3x=77,4x=36.
答:
两人相距85m时,甲走到点O以东36m处,乙走到点O以北77m处.
10.如图,现有长为100米的围栏,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,BC的长度不大于墙长.
(1)可以围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈吗?
如果能,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
如果不能,请说明理由;
(2)可以围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈吗?
如果能,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
如果不能,请说明理由.
解:
(1)设AB的长度为x米,则BC的长度为(100-4x)米.根据题意,得
(100-4x)x=400,
解得x1=20,x2=5,
则100-4x=20或100-4x=80.
∵80>25,∴x2=5舍去.
∴AB=20,BC=20.
答:
羊圈的边长AB为20米,BC为20米.
(2)不能,理由:
(100-4x)x=640,
整理,得x2-25x+160=0.
Δ=(-25)2-4×1×160=-15<0,
∴该方程无实数根.
∴不能围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为ts.
(1)填空:
BQ=2tcm,PB=(5-t)cm(用含t的代数式表示);
(2)当t为何值时,PQ的长度等于5cm?
(3)是否存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于26cm2?
若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
解:
(2)由题意,得(5-t)2+(2t)2=52,
解得t1=0,t2=2.
∴当t的值为0或2时,PQ的长度等于5cm.
(3)存在t=1s,使得五边形APQCD的面积等于26cm2.理由如下:
∵矩形ABCD的面积为5×6=30(cm2),五边形APQCD的面积为26cm2,
∴△PBQ的面积为30-26=4(cm2).
∴(5-t)×2t×
=4,
解得t1=4(不合题意,舍去),t2=1.
∴当t=1s时,五边形APQCD的面积等于26cm2.
第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
1.某件商品原价为1000元,连续两次都降价x%后该件商品售价为640元,则下面所列方程正确的是(A)
A.1000(1-x%)2=640B.1000(1-x%)2=360
C.1000(1-2x%)=640D.1000(1-2x%)=360
2.(成都模拟)某超市一月份营业额为100万元,一月、二月、三月的营业额共500万元.若平均每月增长率为x,则由题意可列方程(D)
A.100(1+x)2=500B.100+100×2x=500
C.100+100×3x=500D.100[1+(1+x)+(1+x)2]=500
3.(成都武侯区模拟)在2020年元旦期间,某商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,调查发现:
当销售价为2900元时,平均每天能销售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
设每台冰箱定价x元,根据题意,可列方程为(B)
A.(x-2500)(8+4×
)=5000
B.(x-2500)(8+4×
)=5000
C.(2900-x-2500)(8+4×
)=5000
D.(2900-x)(8+4×
)=5000
4.(成都成华区模拟)受非洲猪瘟及供求关系影响,去年猪肉价格经过连续两轮涨价,价格从40元/千克涨到90元/千克.若两轮涨价的百分率相同,则这个百分率是50%.
5.某商品的进价为5元,当售价为x元时,此时能销售该商品(x+5)个,并获利144元,则该商品的售价为13元.
6.(某玩具厂生产一种玩具,按照控制固定成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时售出.据市场调查:
每个玩具按480元销售时,每天可销售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元.若该厂家每天想要获利20000元,则这种玩具的销售单价为460元.6.(沈阳中考)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率;
(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
解:
(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据题意,得
400(1-x)2=361,
解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).
答:
每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1-5%)=342.95(万元).
答:
预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
7.某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼,两次锻炼后数据如表.与第一次锻炼相比,王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(0<x<0.5).
项目
第一次锻炼
第二次锻炼
步数(步)
10000
①10_000(1+3x)
平均步长(米/步)
0.6
②0.6(1-x)
距离(米)
6000
7020
注:
步数×平均步长=距离.
(1)根据题意完成表格填空;
(2)求x的值;
(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步,因此在两次锻炼结束后又走了500米,使得总步数恰好为24000步,求王老师这500米的平均步长.
解:
(2)由题意,得
10000(1+3x)×0.6(1-x)=7020,
整理,得3x2-2x+0.17=0,
解得x1=
>0.5(舍去),x2=0.1.
答:
x的值为0.1.
(3)10000+10000(1+0.1×3)=23000(步),
500÷(24000-23000)=0.5(米).
答:
王老师这500米的平均步长为0.5米.
8.在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克)
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x(元/千克)
…
22.6
24
25.2
26
…
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量;
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元/千克?
解:
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
将(22.6,34.8),(24,32)代入y=kx+b,得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+80.
当x=23.5时,y=-2x+80=33.
答:
当天该水果的销售量为33千克.
(2)根据题意,得(x-20)(-2x+80)=150,
解得x1=35,x2=25.
∵20≤x≤32,∴x=25.
答:
如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元/千克.
9.随着新冠病毒在全世界蔓延,口罩成为紧缺物资,甲、乙两家工厂积极响应政府号召,准备跨界投资生产口罩.根据市场调查,甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩,但由于转型条件不同,其生产的成本不一样,甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元,乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元.
(1)按照计划,甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩,且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的
,求甲工厂最多可生产多少万片口罩?
(2)实际生产时,甲工厂完全按计划执行,但乙工厂的生产情况发生了一些变化.乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩,每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元,最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元,求m的值.
解:
(1)设甲工厂生产x万片口罩,则乙工厂生产(2000-x)万片口罩,由题意,得
0.6x≤0.8(2000-x)×
,
解得x≤1000.
答:
甲工厂最多可生产1000万片口罩.
(2)由题意,得
(6-0.5m)(0.8+0.2m)=6×0.8+1.6,
整理,得m2-8m+16=0.
解得m1=m2=4.
答:
m的值为4.
第3课时 利用一元二次方程解决其他问题
1.两个连续奇数的积为323,求这两个数.若设较小的奇数为x,则根据题意列出的方程正确的是(B)
A.x(x+1)=323B.x(x+2)=323
C.x(x-2)=323D.(2x+1)(2x-1)=323
2.(实外组织教职工篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场),总共安排了15场比赛,则参加比赛的球队应有(C)
A.7队B.5队C.6队D.4队
3.《九章算术》是我国古代数学名著,有题译文如下:
今有门,不知其高宽;有竿,不知其长短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线长恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少?
设门对角线的长为x尺,下列方程符合题意的是(B)
A.(x+2)2+(x-4)2=x2
B.(x-2)2+(x-4)2=x2
C.x2+(x-2)2=(x-4)2
D.(x-2)2+x2=(x+4)2
4.元旦晚会,全班同学互赠贺卡,若每两个同学都相互赠送一张贺卡,小明统计全班共送了1640张贺卡,那么全班有多少人?
设全班有x人,则根据题意可以列出方程x(x-1)=1_640.
5.有5人患了流感,经过两轮传染后共有605人患流感,则第一轮后患流感的人数为55人.
6.如图,A,B,C,D是矩形的四个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点B运动,直到点B为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点D运动,当时间为
_s或
_s时,点P和点Q之间的距离是10cm.
7.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了45份合同,共有多少家公司参加商品交易会?
解:
设共有x家公司参加商品交易会,根据题意,得
x(x-1)=45,
整理,得x2-x-90=0,
解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).
答:
共有10家公司参加商品交易会.
8.一个容器盛满纯酒精20升,第一次倒出纯酒精若干升后,加水注满,第二次倒出相同数量的酒精,这时容器内的纯酒精只是原来的
,问第一次倒出纯酒精多少升?
解:
设第一次倒出纯酒精x升,根据题意,得
20-x-
·x=
×20.
整理,得x2-40x+300=0.
解得x1=30(不合题意,舍去),x2=10.
答:
第一次倒出纯酒精10升.
9.如图,某天晚上8点时,一台风中心位于点O正北方向160km的点A处,台风中心以每小时20
km的速度向东南方向移动,在距台风中心≤120km的范围内将受到台风影响,同时,在点O有一辆汽车以每小时40km的速度向东行驶.
(1)汽车行驶了多少小时后受到台风影响?
(2)汽车受到台风影响的时间有多长?
解:
(1)如图,以O为原点,OA所在直线为y轴,汽车行驶的路线为x轴,建立平面直角坐标系.
设当台风中心在M点,汽车在N点时,汽车开始受到影响,此时运动时间是t小时.过点M分别作MC⊥x轴于点C,MD⊥y轴于点D.
则△ADM是等腰直角三角形,AM=20
t,则AD=DM=
AM=20t.∴点M的坐标为(20t,160-20t),点N的坐标为(40t,0).
汽车开始受到影响,则MN=120km.
∴(40t-20t)2+(160-20t)2=1202,
即t2-8t+14=0,解得t1=4-
,t2=4+
.
答:
汽车行驶了(4-
)小时后受到台风影响.
(2)(4+
)-(4-
)=2
(小时).
答:
汽车受到台风影响的时间有2
小时.