传递过程课后习题解答.docx

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传递过程课后习题解答

1－1】试说明传递现象所遵循的基本原理和基本研究方法。

答：

传递现象所遵循的基本原理为一个过程传递的通量与描述该过程的强度性质物理量的梯度成正比，传递的方向为该物理量下降的方向。

传递现象的基本研究方法主要有三种，即理论分析方法、实验研究方法和数值计算方法。

【1－2】列表说明分子传递现象的数学模型及其通量表达式。

分子传递现象类型

数学模型

通量表达式

分子动量传递

牛顿粘性定律

dux

xdy

分子热量传递

傅立叶导热定律

dTq

分子质量传递

菲克扩散定律

jADAB

AABdy

1－3】阐述普朗特准数、施米特准数和刘易斯准数的物理意义。

答：

普朗特准数的物理意义为动量传递的难易程度与热量传递的难易程度之比；

施米特准数的物理意义为动量传递的难易程度与质量传递的难易程度之比；刘易斯准数的物理意义为热量传递的难易程度与质量传递的难易程度之比。

【2－1】试写出质量浓度对时间的全导数和随体导数，并由此说明全导数和随体导数的物理意义。

解：

质量浓度的全导数的表达式为：

ddxdydz，式中t表示时间

dttxdtydtzdt

质量浓度的随体导数的表达式为Duxuyuz

Dttxxyyzz

全导数的物理意义为，当时间和空间位置都发生变化时，某个物理量的变化速率。

随体导数的物理意义为，当观测点随着流体一起运动时，某个物理量随时间和观测点位置变化而改变的速率。

【2－2】对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。

⑴在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动；

⑵在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；

⑶在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；

⑷不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；

⑸不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。

解：

⑴对于矩形管道，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为

（ux）

（uy）（uz）

由于流动是稳态的，所以0，对于一维流动，假设只沿x方向进行，则uyuz0

tyz

于是，上述方程可简化为（ux）0

⑵对于平板壁面，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为

（ux）（uy）（uz）

xyz

由于流动是稳态的，所以0，对于不可压缩流体常数，所以上式可简化为

uxuyuz＝0

xyz

由于平板壁面上的流动为二维流动，假设流动在xoy面上进行，即uz0，上式还可

以进一步简化为

＝0

⑶对于平板壁面，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为

由于流动是稳态的，所以0，由于平板壁面上的流动为二维流动，假设流动在xoyt

面上进行，即uz0，则上式可以简化为

（ux）（uy）＝0

xy0

⑷由于流动是在圆管中进行的，故选用柱坐标系比较方便，柱标系下连续性方程的一般形式为

1（rur）1uuz0

trrrz

由于流动是稳态的，所以0，对于不可压缩流体常数，所以上式可简化为

1（rur）1（u）（uz）0

rrrz0

由于仅有轴向流动，所以

uru0,uz0，上式可简化为

uz0

⑸由于流体是做球心对称的流动，故选用球坐标系比较方便，柱球系下连续性方程的

般形式为

2（r2ur）（usin）

tr2rrrsin

由于流动是稳态的，所以0，对于不可压缩流体

12（r2ur）1（usin）

rrrsin

rs1in（u）0

常数，所以上式可简化为

1（u）0

rsin

由于流动是球心对称的，所以

uu0,ur0，上式可简化为

r12r（r2ur）0

整理得：

ur2ur0rr

2－3】加速度向量可表示为

为局部加速度的项，

DDu，试写出直角坐标系中加速度分量的表达式，

何者为对流加速度的项。

并指出何者

解：

直角坐标系下，

速度u有三个分量，ux,uy,uz，

因此加速度也有三个分量，其表达式

Dux

Duy

Duz

分别为

uxuxxux

uxuxy

uzuzx

uzuzy

uxuzuyuzuzuz

xyzxyz

表达式中对时间的偏导数为局部加速度项，即分别为

uyu

uty和utz；对流加速度

uuu项为后面的含速度分量的三项之和，即分别为uxuxuyuxuzuxxyz

。

uxuyuyuyuzuy和uxuzuyuzu

xyzxy

2－4】某一流场的速度向量可以下式表述

u（x,y）5xi4yj

试写出该流场随体加速度向量

Du的表达式。

解：

由速度向量的表达式得：

ux5x,

uy4y,

uz0

uyx0,

uy0

所以

Dux

Duy

Duz

uxu

uyuy

uzy

25xt

uy16y

tuxuxzuyuyzuzuzz0

txyz

【2－5】试参照以应力分量形式表示的x方向的运动方程（2-55a）

DuxXxxyxzx

Dtxyz

的推导过程，导出y方向和z方向的运动方程（2-55b）和（2-55c），即

DuyYxyyyzy

Dtxyz

DuzZxzyzzz

Dtxyz

解：

以y方向上的运动方程为例进行推导，推导过程中采用拉各朗日观点，在流场中选取一长、宽、高分别为dx，dy，dz的流体微元，固定该流体微元的质量，让此流体微元作随波逐流的运动，该流体微元的体积和位置随时间而变，若该流体微元的密度为

则其质量为dmdxdydz，根据牛顿第二定律，该流体微元所受的合外力等于流体微

元的质量与运动加速度之积，即

DudFdmadxdydz

Dt在y方向上流体微元所收到的合外力为

DuydFydmadxdydzyDt

接下来分析一下y方向上微元体的受力情况，微元体上受到的力有体积力和表面力两种，分别用Fb和Fs来表示。

体积力又称质量力，它是在物体内部任意一点都起作用的力，如重力、静电力、电磁力等，其在本质上是一种非接触力。

这里用Y来表示单位质量的流体在y方向上受到的质量力。

因此，流体微元受到的y方向上的质量力为

dFb,yYdxdydz

下面再来看一下微元体受到的表面力。

表面力是流体微元与周围流体或壁面之间产生的相互作用力，本质上是一种接触力。

单位面积上受到的表面力称为表面应力，在y方向上流体微元受到的独立的表面

应力有三个，它们分别为，x,y,y,y和

z,y，其中第一个下标表示与应力作用面相垂直的坐标轴，第二个下标为应力的作用方向。

当两个下标相同时表面应力为压应力，当两个下标不同时表面应力为剪应力。

下面分别对微元体六个面上受到的y方向上的表面力进行分析。

如右图所示，在下表面上微元体受到的表面应力为剪应力x,y，力的作用面积为dydz，方向为y轴的负方向。

因此在下表面上微元体受到的y方向上的

上）xy（xy/x）dx

（后）

左）

右）yy（yy/y）dy

下）

（前）zy（zy/z）dzdz

xdx,y，

表面力为：

x,ydydz；在上表面上微元体受到的表面应力为

其大小与x,y有

关，可由x,y在x＋dx处对x一阶泰勒展开得到，即xdx,yx,yx,ydx，力的作

用面积仍为dydz，方向为y轴的正方向，因此在上表面上微元体受到的y方向上的表

x,y

面力为：

x,yx,ydxdydz。

于是，这两个面上的力使微元体受到的合外力为

x,y

x,ydxdydz。

再来看左右两个表面上流体微元的受力状况。

在左侧表面上流体微元受到的压应

力y,y，力的作用面积为dxdz，方向为y轴的负方向。

因此在左侧表面上微元体受到

的y方向上的表面力为：

y,ydxdz；在右侧表面上微元体受到的表面应力为ydy,y，

其大小与y,y有关，可由y,y在y＋dy处对y一阶泰勒展开得到，即

y,y

ydy,yy,yy,ydy，力的作用面积仍为dxdz，方向为y轴的正方向，因此在右侧y

表面上微元体受到的y方向上的表面力为：

y,yy,ydydxdz。

于是，这两个面

y,yy

上的力使微元体受到的合外力为y,ydxdydz。

最后再来看一下前后两个表面上流体微元的受力状况。

在后表面上流体微元受到

的应力z,y，力的作用面积为dxdy，方向为y轴的负方向。

因此在后表面上微元体受

到的y方向上的表面力为：

z,ydxdy；在前表面上微元体受到的表面应力为zdz,y，

其大小与z,y有关，可由z,y在z＋

dz处对z一阶泰勒展开得到，即

zdz,yz,yz,ydz，力的作用面积仍为z

dxdy，方向为y轴的正方向，因此在右侧

表面上微元体受到的y方向上的表面力为：

z,yz,ydzdxdy。

于

z,yz

是，这两个面上

z,y

的力使微元体受到的合外力为dxdydz。

因此，微元体六个面上的表面力对微元体产生的合外力为

z,y

dFs,yxx,yyy,yz

xyz

y,y

dxdydz

因此流体微元在y方向上受到的合外力为

dFy

Ydxdydzx,yy,yz,yxyz

y,y

dxdydzdxdydzDuy

将牛顿第二定律的表达式代入，并整理得

DuyYxyyyzy

Dtxyz

上式即为所求证的y方向上的运动方程。

z方向上的运动方程同学们可以参照上面的过程自行证之。

【3－1】温度为20℃的甘油以10kg/s的质量流率流过宽度为1m、高度为0.1m的矩形截面管道，流动已充分发展，试求

⑴甘油在流道中心处的流速与离中心25mm处的流速；

⑵通过单位管长的压降；

⑶管壁面处的剪应力。

解：

已知质量流率w=10kg/s；查表得甘油密度ρ＝1261kg/m3；甘油粘度μ＝1.5Pa·s；流道宽度B=1m；流道高度h=0.1m；所以，b=h/2=0.05m；y=0.025m；

w10

um0.0793m/s

mA126110.1

首先判断一下流动类型当量直径4（10.1）

当量直径de0.182m

e2（10.1）

1.5

Redeum0.1820.0793121621.13200所0以流动为层流

在流道中心出的流速：

uumaxum0.07930.119m/s

在离流道中心25mm处的流速：

uxumax

1by0.11910.025

0.050.0892m/s

单位管长的压降：

p3um31.50.0793

0.052

142.7Pa/m

Lb2管壁面处的剪应力：

p142.7

wde0.1824L4【3－2】流体在两块无限大平板间作一维稳态层流。

试求截面上等于主体速度面的距离。

又如流体在圆管内作一维稳态层流时，该点与壁面的距离为若干？

解：

当流体在平板壁面间流动时，速度分布方程为

6.P4a93

u0的点距壁

1y23u01by2

当截面某处的流速等于主体流速时，有

uxu023u01

由此解得：

y0.57b7，此处距壁面的距离为

（10.57b7）0.b423B0（.B2为

1ri2

流道宽度）当流体在圆管中流动时，速度分布方程为ri2uxumax1i2u01

当截面某处的流速等于主体流速时，有

uxu0

2u01r

由此解得：

r0.70ri7，此处距壁面的距离为（10.70ri7）0.ri293D0（.D1为

管径）

【3－3】某流体以0.15kg/s的质量流率沿宽为1m的垂直平壁呈膜状下降，已知流体的运动粘度为1×10-4m2/s，密度为1000kg/m3。

试求流动稳定后形成的液膜厚度。

解：

已知质量流率w=0.15kg/s；密度ρ＝1000kg/m3；运动粘度ν＝1×10-4m2/s；板宽B=1m；倾角β=90°

先假设该降膜流动为层流，设液膜的厚度为δ，则

又因为，

（1）

0.15

1000

1.5104/

3umgsin

311041.5104/

9.81sin900

从而解得1.66103m

um1.5104/1.661030.0903m/s

然后验算一下雷诺数：

Re4um630，所以流动为层流，假设正确。

【3－4】试推导不可压缩流体在圆管中作一维稳态层流时，管壁面剪应力w与主体速度u0的

关系。

解：

因为，

rri

4u0

而流体在圆管中流动时，速度分布方程为

将其代入上式得：

3－5】已知某不可压缩流体作平面流动时的速度分量ux3x，uy3y，试求出此情况

下的流函数。

解：

首先判断一下该速度分布是否满足连续性方程，以证明流函数的存在性。

由于uxy330，所以满足连续性方程，即流函数是存在的。

根据流函数的定义（x,y）ux，uy（x,y），结合题目给定的已知条件ux3x，

yyx

uy3y可得：

（x,y）y

（x,y）3y

x3y

将上两式分别积分得

（x,y）3xyf（，x）（x,y）3xyf（y）

由于f（x）是一个关于x的函数或常数C，而f（y）是一个关于y的函数或常数C，若上两式相等，只能是f（x）f（y）C，所以此情况下流函数的表达式为

（x,y）3xyC

【4－1】常压下温度为20℃的水，以5m/s的均匀流速流过一光滑平面表面，试求出由层流边界层转变为湍流边界层区域的临界距离xc值的范围。

解：

已知流速u＝5m/s；查表得20℃水的运动粘度ν＝0.100610m/s

xcu

由于Rexcc，所以xcRexc，而临界雷诺数的范围为2105Rexc3106，由

此可求得0.04mxc0.604m

【4－2】流体在圆管中流动时，“流动已经充分发展”的含义是什么？

在什么条件下会发生充分发展的层流，又在什么条件下会发生充分发展的湍流？

答：

流体在圆管中流动时，“流动已经充分发展”的含义是指边界层已经在管中心处汇合，此后管截面上的速度分布不再发生变化。

若在边界层汇合之前，边界层中的流动为层流，则边界层汇合以后的流动就是充分发展的层流；若在边界层汇合之前，边界层中的流动已经发展为湍流，则边界层汇合以后的流动就是充分发展的湍流。

【4－3】常压下，温度为30℃的空气以10m/s的流速流过一光滑平面表面，设临界雷诺数

Rexc3.2105，试判断距离平板前缘0.4m及0.8m两处的边界层是层流边界层还是湍流边

界层？

求出层流边界层相应点处的边界层厚度。

解：

已知流速u＝10m/s；查表得30℃空气的密度ρ＝1.165kg/m3；20℃空气的粘度μ＝1.86×10-5Pa·s；

x1u55

在x10.4m处，Rex112.51053.2105，所以边界层为层流边界层；

5.0xRex1/24103m4mm

x2u55

在x10.8m处，Rex225.01053.2105，所以边界层为湍流边界层。

【4－4】常压下，温度为20℃的空气以6m/s的流速流过平面表面，试计算临界点处的边界层厚度、局部阻力系数以及在该点处通过边界层截面的质量流率。

设Rexc5105。

解：

已知流速u＝6m/s；查表得20℃空气的密度ρ＝1.205kg/m3；20℃空气的粘度μ＝1.81×10-5Pa·s

xcuxc61.2055

因为Rexc5510，从中解得xc1.25m

1.81105c

临界点处的边界层厚度：

精确解：

5.0xRex1/28.8103m8.8mm

近似解：

4.64xRex1/28.2103m8.2mm

局部阻力系数：

精确解：

CDx0.664Rex1/29.39104

近似解：

CDx0.646Rex1/29.13104

质量流率：

wbuxdyub0.037bkg/s

【4－5】常压下，温度为40℃的空气以12m/s的均匀流速流过长度为0.15m、宽度为1m的光滑平面，试求平板上、下两面总共承受的曳力。

解：

已知流速u＝12m/s；查表得40℃空气的密度ρ＝1.128kg/m3；40℃空气的粘度μ＝1.91×10-5Pa·s；L＝0.15m；b＝1m

因为ReLLu0.15121.51281.061052105，所以流动为层流L1.91105

平板上、下两面总共承受的曳力：

2Fd20.646bLu320.64611.911051.1280.151230.0963N

【5－1】湍流与层流有何不同？

湍流的主要特点是什么？

试讨论由层流转变为湍流的过程。

答：

（1）层流与湍流的最大区别在于流动状态不同，流体作层流流动时，流体中的各个质点都只是在主体流动方向上有运动，在其它方向上没有运动，流动是平稳的，流体内部没有漩涡；流体作湍流流动时，流体质点除了在沿主体流动方向上有运动以外，在其它方向上还存在着复杂的高频脉动，脉动速度的大小和方向都是无规律的，因而流动是紊乱的，同时湍流流动的流体内部存在着大量的漩涡。

（2）与层流相比，湍流具有下面的三个特点：

①流体质点在流场的任意空间位置上，流体的流速与压力等物理量均随时间呈高频随机脉动，质点的脉动是湍流最基本的特点；

②由于湍流流体质点之间的相互碰撞，使得湍流的流动阻力要远远大于层流；③由于质点的高频脉动与混合，使得在与流动垂直的方向上，流体的速度分布较层流均匀。

5－2】试证明湍流运动中，脉动量

ux、uy、uz和p的时均量均为零。

证：

根据脉动速度的定义

所以脉动速度的时均值

同理

uxuxux

1t1tuxt0uxdtt0（ux

ux）dtt0

xudtxuxu0

uy1t

1t1

uydt1t0（uyuy）dt1t0uydt

0uydtuyuy0

根据脉动压力的定义

所以脉动压力的时均值

uz1tppp

1t1t1p1t0pdt1t0（p）pdt1t

1t1tuzdt1t0（uzuz）dt1t0u

dt1t0uzdtuzuz0

pdt10dptpp0

5－3】流体在圆管中作湍流流动时，在一定Re范围内，速度分布可用布拉修斯1/7次方

定律表示，即

u/umax

（y/ri）

1/7

试证明截面上主体平均流速u0与管中心流速umax的关系为u00.817umax。

证：

根据平均流速的定义u01udA

0AA

11ri

对于流体在圆管中的流动u0udA20u2rdr

0AAri20

r1/7

流体在圆管中作湍流流动时，速度分布方程为u/umax（y/ir1）/71r将其代入上式

得：

1u0ri2

umax2rdr2u

令x1r，则上面的积分式可变形为ri

u02umax1x（1x7）（7x6）dx14umax0（x7x14）dx0.817umax，由此体平均流速u0与管

中心流速umax的关系得证。

【5－4】在平板壁面上的湍流边界层中，流体的速度分布方程可用布拉修斯1/7次方定律表示

ux/u0（y/）1/7

试证明该式在壁面附近（即y0处）不能成立。

证：

由于该公式中的为湍流边界层的厚度，而在壁面附近（即y0处）边界层的流动为层流，此时已不再适用，因此该公式在壁面附近（即y0处）不能成立。

【5－5】温度为20℃的水，以5m/s的流速流过宽度为1m的平板壁面，试求距平板前缘2m处的边界层厚度及水流过2m距离对平板所施加的总曳力。

解：

已知流速u＝5m/s；查表得20℃水的密度ρ＝998.2kg/m3；20℃水的粘度μ＝1.005×-3

10Pa·s；b＝1m；L＝2m；首先判断一下流型：

ReLLu25998.239.931063106，所以流动为湍流

L1.005103

1/5

0.376xRex1/50.03m

CD0.072Rex1/50.00287

22u2998.252

FdCdbL0.002871271.62N

dd22

并在平板壁面上形成湍流边界层，边界层

1/7次方定律，试利用连续性方程导出y方向上

x方向上的速度分布满足

【5－6】不可压缩流体沿平板壁面作稳态流动，

内为二维流动

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