概率论与数理统计课程第一章练习题及解答可编辑修改word版.docx

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概率论与数理统计课程第一章练习题及解答可编辑修改word版

概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×”）

1、若P（A）1，则A与任一事件B一定独立。

（√）

2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

（√）

3、样本空间是随机现象的数学模型。

（√）

4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。

（×）

5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。

（×）

6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。

（√）

7、若S为试验E的样本空间，B1,B2,,Bn为E的一组两两互不相容的事件，则称B1,B2,,Bn为样本空间S的一个划分。

（×）

8、若事件A的发生对事件B的发生的概率没有影响，即P（BA）=P（B），称事件

A、B独立。

（√）

9、若事件B1,B2,,Bn（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的。

（√）

10、若事件B1,B2,,Bn（n≥2）相互独立，则将B1,B2,,Bn中任意多个事件换成

它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。

（√）

二、单选题

1．设事件A和B相互独立，则P（AB）=（C）

A、P（A）+P（B）

B、P（A）+P（B）

C、1-P（A）P（B）D、

1-P（A）P（B）

2、设事件A与B相互独立，且0P（A）1,0P（B）1，则正确的是（

A）

A、A与AB一定不独立B、A与AB一定不独立

C、A与BA一定独立D、A与AB一定独立

3、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（B）

A、P（C）P（A）P（B）1

C、P（C）P（AB）

B、P（C）P（A）P（B）1

D、P（C）P（AB）

4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而

T

（1）≤T

（2）≤T（3）≤T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于

（）

A、{T

（1）≥t0}

B、{T

（2）≥t0}

C、{T（3）≥t0}

D、{T（4）≥t0}

分析事件{T（4）≥t0}表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0；事件

{T（3）≥t0}表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，即E={T（3）≥t0}，选

C。

5、对于任意二事件A和B，与AB=B不等价的是（）

A、A⊂B

B、B⊂A

C、AB=

D、AB=

分析AB=B⇔A⊂B⇔B⊂A⇔AB=，而AB=B-A，因A⊂B,

AB=

不一定成立，选D。

6、对于任意二事件A和B，

A、若AB≠，则A，B一定独立B、若AB≠，则A，B有可能独立

C、若AB=，则A，B一定独立D、若AB=，则A，B一定不独立

分析若P（A）,P（B）中至少有一个等于0时，则A不成立；若P（A）,P（B）均大于0时，

则C不成立；若AB≠，但P（A）>0，且P（BA）=P（B）时，则A与B独立，D不

成立，因此应选B。

即当AB≠时，如果P（AB）=P（A）P（B），则A与B独立，否则A与B不独立。

7、对于事件A和B，满足P（BA）=1的充分条件是（）

A、A是必然事件B、P（BA）=0

C、A⊃B

D、A⊂B

分析P（BA）=1的充分条件是P（AB）P（A）=1，即P（AB）=P（A），显然在四个

选项中，当A⊂B时，AB=A，可得P（AB）=P（A），因此A⊂B是P（BA）=1的充分条件。

选D

8、已知0

B）

，则下列选项成立的是

A、P[（A1+A2）B]=P（A1B）+P（A2B）B、P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）

C、

P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）

P（A1+A2）=P（A1B）+P（A2B）D、

分析依题意

P[（A1+A2）B]=P（A1B）+P（A2B），P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）

P（B）

P（B）

P（B）

P（B）

P（B）

因为0

选B

9、设A、B为任意两个事件，且A⊂B,P（B）>0，则下列选项必然成立的是

A、P（A）

B、P（A）≤P（AB）

C、P（A）>P（AB）D、

P（A）≥P（AB）

分析因为A⊂B，故AB=A，又P（B）≤1，于是有

P（A）=P（AB）=P（B）P（AB）≤P（AB），选B

10、设A、B是两个随机事件，且0

必有（）

P（B）>0,

P（BA）=P（BA），则

A、P（AB）=P（AB）B、P（AB）≠P（AB）

C、P（AB）=P（A）P（B）D、P（AB）≠P（A）P（B）

分析应用条件概率定义从P（BA）=P（BA）可得P（AB）=P（AB），

P（A）P（A）

即[1-P（A）]P（AB）=P（A）[P（B）-P（AB）]⇒

P（AB）=P（A）P（B）

，选C

三、填空题

1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），样本空

间S为（

S=⎧i

⎩

i=0,1,2,,100n⎫）

⎭

2、生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间S为（

S={10,11,12,}）

3、对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间S为（

S={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}）

4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间S为（取一直角坐标系，

则样本空间为

S={（x,y）x2+y2<1}；若取极坐标系，则样本空间为

S={（,）<1,0≤<2}。

）

5、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生，（ABC或者A-B-C）

（2）A与B都发生，而C不发生，（ABC或者AB-C）

（3）A，B，C中至少有一个发生，（

（4）A，B，C都发生，（ABC）

（5）A，B，C都不发生，（ABC）

A⋃B⋃C）

（6）

A，B，C中不多于一个发生，（AB⋃BC⋃CA或者AB⋂BC⋂CA或者

ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC）

（7）A，B，C中不多于两个发生，

（8）（D=ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC或者D=A⋃B⋃C=ABC）

（8）A，B，C中至少有两个发生，（

8

D=ABC⋃ABC⋃ABC⋃ABC）。

D8=AB⋃BC⋃CA或者

6、设A，B是任意两个随机事件，则P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}=（0）

分析（A+B）（A+B）=AA+AB+AB+BB=B

（A+B）（A+B）=AA+AB+AB+BB=B

P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}=P（BB）=P（）=0

7、一批产品共有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（）

分析此为一全概率问题，设事件

Bi={第i次抽出次品}，i=1，2，

由题有P（B1）=212，P（B1）=1012，P（B2

B1）=111，P（B2B1）=211，

211021

于是P（B2）=P（B1）P（B2

B1）+P（B1）P（B2

B1）=⨯+⨯=

121112116

8、设A，B两个事件满足P（AB）=P（AB），且P（A）=p，则P（B）=（）

分析P（AB）=P（AB）=1-P（AB）=1-P（A）-P（B）+P（AB）

因为P（AB）=P（AB），故有P（A）+P（B）=1，P（B）=1-P（A）=1-p

9、设两两相互独立的三事件A，B和C，满足条件：

ABC=,

且已知PABC）=916，则P（A）=（）

P（A）=P（B）=P（C），

分析由于A、B、C两两相互独立，且P（A）=P（B）=P（C），

所以，P（AC）=P（A）P（C）=[P（A）]2，

P（BC）=P（B）P（C）=[P（A）]2，

PABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3P（A）-3[P（A）]2

依题意，有题意舍去）

3P（A）-3[P（A）]2=916，解方程，得P（A）=14。

（P（A）=34不合

10、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概

率与B发生A不发生的概率相等，则P（A）=（）

分析依题意，P（AB）=P（AB），故P（AB）+P（AB）=P（AB）+P（AB），

即P（A）=P（B），又因A与B相互独立，故A与B亦相互独立，

P（AB）=P（A）P（B）=[P（A）]2=19⇒

P（A）=13,

P（A）=23。

四、计算题

1、

（1）设A，B，C是三个事件，且（A）=P（B）=P（C）=1/4,P（AB）=P（BC）=0,

P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。

（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，

P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30,求A⋃B，AB，A⋃B⋃C，ABC，ABC，ABC

的概率。

（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（AB），（ii）若P（AB）=1/8，

求P（AB）。

解：

（1）

P（A⋃B⋃C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）=5+P（ABC）

8

由ABC⊂AB，且已知

P（AB）=0，得

0≤P（ABC）≤P（AB）=0，于是

P（ABC）=0

因此P（A⋃B⋃C）=5

8

（2）P（A⋃B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1+1-1

=11；

231015

P（AB）=P（A⋃B）=1-P（A⋃B）=4；

15

P（A⋃B⋃C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

=1+1+1-1-1-1+1=51

2351020153060

P（ABC）=P（A⋃B⋃C）=1-P（A⋃B⋃C）=9

60

因为P（AB）=P（ABS）=P（AB（C⋃C）=P（ABC）+P（ABC）

于是P（ABC）=P（AB）-P（ABC）=4-9=1

（3）（i）

因为所以

（ii）

因为所以

156012

P（AB⋃C）=P（AB）+P（C）-P（ABC）=411=23。

1551260

AB=，P（AB）=0,P（A）=P（AS）=P（A（B⋃B））=P（AB）+P（AB）P（AB）=P（A）-P（AB）=1

2

P（AB）=1,P（A）=P（AS）=P（A（B⋃B））=P（AB）+P（AB）

8

P（AB）=P（A）-P（AB）=1-1=3

288

2、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。

求

（1）最小号码为5的概率；

（2）最大号码为5的概率。

解：

古典概型

（1）设A=“最小号码为5”，则

C21

P（A）=5=；

1012

C1

2

（2）设B=“最大号码为5”，则P（B）=4=。

1020

3、在1500个产品中有400个次品，1100个正品。

从中任取200个。

求

（1）恰有90个次品的概率；

（2）至少有2个次品的概率。

解：

古典概型

设A=“恰有90个次品”；Bi=“恰有i个次品”，i=0,1，C=“至少有2个次品”。

C90C110

（1）设A=“恰有90个次品”，则P（A）=4001100；

1500

（2）设C=“至少有2个次品”，求P（C）

又设Bi=“恰有i个次品”，i=0,1，则C=S-B0⋃B1，于是P（C）=P（S-B0⋃B1）=1-P（B0）-P（B1），

C200C1C199

这里P（B

）=1100，P（B）=4001100，

0200

1500

C200

+C1

1

C199

200

1500

因此P（C）=1-11004001100。

1500

4、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？

解：

古典概型

设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，

则P（A）=1-P（A）=1-NA

=1-10⨯8⨯6⨯4=13。

另解：

古典概型

NS10⨯9⨯8⨯721

设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，Ai=“所取4只鞋子恰能配成i双”，i=1,2，则

NANA

C1（C2-C1）C2

120+1013

P（A）=P（A）+P（A）=1+2=584+5==



12

SS

44

1010

21021

5、张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。

解：

古典概型，设A=“排列结果为ability”，则P（A）=NA=

NS

4=2.4⨯10-6。

11

6、

（1）已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（AB）=0.5。

求条件概率P（BAB）

。

（2）已知P（A）=14，P（AB）=12，P（BA）=13，求P（A⋃B）

解：

（1）

P（BA⋃B）=P（B（A⋃B））=

P（A⋃B）

P（AB）

P（A）+P（B）-P（AB）

由题知,P（A）=1-P（A）=0.7,P（B）=1-P（B）=0.6,；

P（AB）=P（A（S-B）=P（A）-P（AB）=0.2,故

P（BA⋃B）=

（2）

0.2

0.7+0.6-0.5

=0.25

因为P（A⋃B）=P（A）+P（B）-P（AB）

又P（AB）=P（AB）=1，P（BA）=P（AB）=1，P（A）=1

P（B）2P（A）34

所以P（B）=1，P（AB）=1，P（A⋃B）=1

6123

7、

（1）.设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？

（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。

先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

解：

（1）设A=“从甲袋取得红球”，B=“从乙袋取得白球”，则

P（B）=P（SB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（BA）+P（A）P（BA）

=mN+nN+1=n+N（n+m）

n+mN+M+1n+mN+M+1（n+m）（N+M+1）

（2）设Ai=“从第一盒取得的球中有i只红球”，i=0,1,2，

B=“从第二盒取得一白球”，则

P（B）=P（SB）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=P（A0）P（BA0）+P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）

C21

因为P（A）=4=，

C25

P（A）=5=，

02

9

P（A）=1-P（A）-P（A）=10，

2218

10218

所以P（B）=1⨯7

+10⨯6+

5⨯5=53。

611

1811

181199

8、将两编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误作为B的概率是0.02，而B被误作为A的概率是0.01。

信息A与信息B被传出的频繁程度为2:

1.若接收的信息是A，问原发信息的是A的概率是多少?

解：

设D=“将信息A传出去”，R=“接收到信息A”，题目要求P（DR），

由题知P（RD）=0.02，P（RD）=0.01，P（D）

因为P（D）+P（D）=1，所以P（D）=

P（DR）

P（D）=21，

，P（D）=

，因此，

196

P（DR）=

=

P（R）

==

197

9、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4。

问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解：

设Ai=“第i人能译出密码”，i=1,2,3，B=“译出密码”，由题知P（A）=1，P（A）=1，P（A）=1，则

152334

P（B）=P（A1⋃A2⋃A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）

=1+1+1-1⨯1-1⨯1-1⨯1+1⨯1⨯1=3

5345354345345

10、将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是（1－α）/2。

今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1,p2,p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？

（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。

）

解：

设A1=“输入AAAA”，B1=“输入BBBB”，C1=“输入CCCC”，D=

“输入ABCA”，

因为P（A1⋃B1⋃C1）=P（A1）+P（B1）+P（C1）=p1+p2+p3=1，因此

P（A1

D）=P（A1D）=，

P（D）

由于P（DA）=2（1-2，P（DB）=P（DC）=（1-3，

所以P（A

1

D）=

）1

2

2p1。

12）

（3-1）p1

+1-

五、证明题

1、设A，B是两个事件。

（i）已知AB=AB，证明A=B；

（ii）证明事件A与事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）。

证明：

（1）因为AB=A（S-B）=A-AB，AB=（S-A）B=B-AB，

所以有A-AB=B-AB，A=B；

（2）显然，P（AB+AB）=P（AB）+