概率作业B答案最新版本.docx
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概率作业B答案最新版本
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
随机数学
（B）
标准化作业简答
吉林大学公共数学中心
2013.2
第一次作业
一、填空题
1．解：
应填.
分析：
样本空间含基本事件总数，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3）…，（9,10），（10,1）共10个，故所求概率为.
2．应填0.6.
分析:
故
3．应填．
4.应填.
5．应填．
6．应填．
二、选择题
1．（D）．2.（C）．3．（B）．4.（C）．5．（C）．6.（A）.
三、计算题
1．将只球随机地放入个盒子中，设每个盒子都可以容纳只球，求：
（1）每个盒子最多有一只球的概率；
（2）恰有只球放入某一个指定的盒子中的概率；（3）只球全部都放入某一个盒子中的概率．
解：
此题为古典概型，由公式直接计算概率.
（1）.
（2）.
（3）.
2．三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
解：
设表示事件“第个人译出密码”，B表示事件“至少有一人译出密码”.
则.
3．随机地向半圆内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴夹角小于的概率.
解：
此为几何概型问题.
设A表示事件“原点与该点的连线与轴夹角小于”.
则.
4．仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95,当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：
（1）仪器发生故障的概率；
（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.
解:
设A表示事件“仪器出现故障”，
Bi表示事件“有i个元件出现故障”，i=1，2，3.
（1），
，，.
所以.
（2）.
5．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：
（1）抽到2件次品；
（2）至少抽到1件次品．
解：
设表示取到件次品，
（1）
（2）
四、证明题
1．设，证明事件与相互独立．
证明：
由定义证明.
所以事件与相互独立．
2．设事件的概率，证明与任意事件都相互独立．
证明：
设B为任意事件，显然,
从而，即，
满足，
故与任意事件都相互独立．
第二次作业
一、填空题
1．应填.
2.应填
-1
1
3
P
0.4
0.4
0.2
3．应填．
4．应填．
5．应填．
6.应填．
7.应填．
二、选择题
1.（D）.2.（D）.3．（A）．4．（B）．5．（D）．6.（C）.7．（C）．
三、计算题
1．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用表示取到的次品个数，写出的分布律和分布函数．
解：
的分布律为
0
1
2
3
P
的分布函数为
2．设随机变量的概率分布为
-2
-1
0
1
2
3
P
0.10
0.20
0.25
0.20
0.15
0.10
（1）求的概率分布；
（2）求的概率分布．
解：
倒表即可.
-2
-1
0
1
2
3
P
0.10
0.20
0.25
0.20
0.15
0.10
Y
4
2
0
-2
-4
-6
Z
4
1
0
1
4
9
即
Y
-6
-4
-2
0
2
4
P
0.10
0.15
0.20
0.25
0.20
0.10
Z
0
1
4
9
P
0.25
0.40
0.25
0.10
3．设连续型随机变量的概率密度为
求：
（1）的值；
（2）的分布函数．
解：
（1）由，得.
（2）当时，，
当时，
当时，
当时，.
4．设随机变量服从正态分布，求：
，．
解：
5．设连续型随机变量的分布函数为
求：
（1）常数、．
（2）随机变量落在内的概率．（3）的概率密度函数．
解：
（1），得
（2）
（3）的概率密度函数
6．已知随机变量的概率密度为
且求
（1）常数的值；
（2）
解:
（1）由，
再由
解得.
（2）
7．已知随机变量的概率密度为又设求：
（1）Y的分布律；
（2）计算.
解：
（1）
分布律为
-11
（2）.
8．已知随机变量的概率密度为
求：
随机变量的概率密度函数．
解：
设Y的分布函数为.
当时，，
当时，，
因此Y的概率密度函数为
四、证明题
1.设随机变量服从正态分布，证明：
仍然服从正态分布，并指出参数.
解：
教材59页例题.
2.设随机变量服从参数为的指数分布，证明：
服从上的均匀分布．
解：
设的分布函数为取值范围为.
当时，，
当时，，
当时，，
因此Y的概率密度函数为
第三次作业
一、填空题
1．的分布律为
0
1
0.16
0.84
2.，.
3．应填0.
4．应填．
5．应填
6.应填3.
7.应填．
二、选择题
1.（B）.2．（B）．3．（A）.4．（C）．5．（D）．6．（D）.7.（B）.
三、计算题
1．设随机变量在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量在中等可能地取一整数值，求的概率分布，并判断和是否独立．
解：
的概率分布为
Y
X
1
2
3
4
1
0
0
0
2
0
0
3
0
4
可以验证和不相互独立．
2.设随机事件A、B满足令求
（1）的概率分布；
（2）的概率分布.
解：
（1），
，
，
，.
（2）可能取值为0，1，2.
3．已知随机变量和相互独立，且都服从正态分布，求常数，使得概率．
解：
X的概率密度为Y的概率密度为
由于和相互独立，从而联合概率密度为
，
解得.
4．已知二维随机变量的概率密度为
（1）求系数；
（2）条件概率密度；（3）判断和是否相互独立；（4）计算概率；（5）求的密度函数.
解：
（1）由得.
（2）关于X和Y的边缘概率密度分别为
从而X和Y是相互独立的，
（3）相互独立.
（4）.
（5）的分布函数为所以
5.设随机变量在区间上服从均匀分布，令求的联合分布律.
解：
可能取的值为（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1）
，
，
，
.
6．设的概率密度求的概率密度.
解：
设的分布函数为，取值范围，当时，，
当时，，
当时，.
从而的概率密度
第四次作业
一、填空题
1．应填-0.2,2.8，,13.4．
2．应填．
3．应填．
4．应填13.
5．应填．
6．应填．
7．应填，．
二、选择题
1.（C）.2．（D）．3．（B）．4．（B）．5．（A）．6.（C）．7.（C）.
三、计算题
1．设随机变量的概率密度为
已知，求的值．
解：
由以下三个条件
解得.
2．设二维随机变量的概率密度为
求和．
解：
，
，,
，
，
，.
3．设二维离散型随机变量的联合概率分布为
0
1
2
0
0
1
0
0
2
0
（1）写出关于、及的概率分布；
（2）求和的相关系数.
解：
（1）
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
XY
0
1
4
P
（2）,,，，.
4．在数轴上的区间内任意独立地选取两点与，求线段长度的数学期望．
解：
设两点的坐标分别为X，Y，则（X，Y）的联合概率密度为
所求.
5．一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数的数学期望．
解：
引入随机变量，令
从而，又，
所以（次）.
6．假设由自动流水线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润（元）与零件内径的关系为
．
问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大．
解：
令（mm）
即平均内径取10.9mm时，销售一个零件的平均利润最大．
第五次作业
一、填空题
1．应填.
2．应填0.975.
二、选择题
1．（B）．
2．（D）．
三、计算题
1．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%，以表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.
（1）写出的概率分布；
（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．
解：
（1）索赔户为X，则，
（2）由DeMoivre-Laplace极限定理
2.设某种元件使用寿命（单位：
小时）服从参数为的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去.已知每个元件的进价为元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年按照2000个工作小时计算）.
解：
假设一年需要个元件，则预算经费为元.
设每个元件的寿命为则个元件使用寿命为
由题意又
由独立同分布中心极限定理，
故年预算至少应为元.
3．一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量时随机的.假设平均重50千克，标准差为5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每量车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977，（.）
解：
设是装运的第箱的重量，是箱数，且
解得，即最多可以装98箱.
第六次作业
一、填空题
1．应填，，．
2．应填，，2．
3．应填，．
4．应填
5．应填
二、选择题
1．（B）．2．（C）．3．（D）．4.（D）.5．（A）．
三、计算题
1．从正态总体N（20,3）中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．
解：
设样本均值为，则，
2．设是来自正态总体的样本，试求k，使．
解：
因为.
所以，
查表得，即
3．设是取自正态总体的一个样本，样本均值为，样本方差为，
解：
从而
4．设总体的概率密度为
为总体的样本，求样本容量，使．
解：
先求的分布函数，代入有
解得，故取4.
5.已知二维随机变量服从二维正态分布，判断服从的概率分布.
解：
由题意,且相互独立，
从而,
即，
由F分布的定义
第七次作业
一、填空题
1．应填．
2．应填．
3．应填．
4．应填．
5．35．
二、选择题
1．（B）．2．（D）．3．（C）．4．（A）．
三、计算题
1．设总体具有概率分布
1
2
3
P
其中是未知参数，已知来自总体的样本值为1，2，1.求的矩估计值和最大似然估计值．
解：
令，解得的矩估计值为.
似然函数为，
令，
解得的最大
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