《管理运筹学》第二版课后习题参考答案.docx
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《管理运筹学》第二版课后习题参考答案
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？
线性规划的三要素是什么？
答：
线性规划（LinearProgramming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：
决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？
答：
（1）唯一最优解：
只有一个最优点；
（2）多重最优解：
无穷多个最优解；
（3）无界解：
可行域无界，目标值无限增大；
（4）没有可行解：
线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？
松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？
答：
线性规划的标准型是：
目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi0，
决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：
可行解：
满足约束条件AXb，X0的解，称为可行解。
基可行解：
满足非负性约束的基解，称为基可行解可行基：
对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：
使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：
最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：
5．用表格单纯形法求解如下线性规划
8x1
3x2
x32
s.t.6x1
x2
x38
x1,x2,x3
0
解：
标准化
maxZ
4x1
x2
2x3
8x1
3x2
x3x4
2
s.t.
6x1
x2
x3x5
8
x1,x2,
x3,x4,x50
列出单纯形表
4
1
2
0
0
b
0
2
[8]
3
1
1
0
2/8
0
8
6
1
1
0
1
8/6
4
1
2
0
0
4
1/4
1
3/8
[1/8]
1/8
0
（1/4）/（1/8）
0
13/2
6
－5/4
1/4
－3/4
1
（13/2）/（1/4）
0
－1/2
3/2
-1/2
0
2
2
8
3
1
1
0
0
6
－2
－2
0
－1
1
－12
－5
0
－2
0
故最优解为X*（0,0,2,0,6）T，即x10,x20,x32，此时最优值为Z（X*）4．
6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中a1,a2,c1,c2,d为何值及变量
属于哪一类型时有：
（1）表中解为唯一最优解；
（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）
下一步迭代将以x1代替基变量x5；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问
题无可行解。
表1—15某极大化问题的单纯形表
0
0
0
b
0
d
4
1
0
0
0
2
－1－5
0
1
0
0
3
－3
0
0
1
0
0
0
解：
（
1）
d0
c10,
c2
0；
（2）
d
0,c1
0,c2
0
（c1,c2中至少有一个为零）
d
3
（3）
c1
0,a2
0,d
4
a
2
（4）
c2
0,a1
0；
（5）x1为人工变量，且c1为包含M的大于零的数，d3；或者x2为人工变量，
4a2
且c2为包含M的大于零的数，a10,d0．
7．用大M法求解如下线性规划。
x1
2x2
x3
18
s.t.2x1
x2
3x3
16
x1
x2
x3
10
x1,x
2,x3
0
解：
加入人工变量，
进行人造基后的数学模型如下
x1
2x2
x3
x4
18
2x1
x2
3x
3x5
16
s.t.1
x1
x2
x3
x6
10
xi
0
（i
1,2,
6）
列出单纯形表
53600－M
b
0
18
1
2
1
1
0
0
18/1
0
16
2
1
[3]
0
1
0
16/3
－M
10
1
1
1
0
0
1
10/1
5+M
3+M
6+M
0
0
0
0
38/3
1/3
5/3
0
1
－1/3
0
38/5
6
16/3
2/3
1/3
1
0
1/3
0
16
－M
14/3
1/3
[2/3]
0
0
－1/3
1
14/2
0
0
0
0
1
－1/2
0
0
1
1/2
－5/2
－
6
3
[1/2]
0
1
0
1/2
－1/2
6
3
7
1/2
1
0
0
－1/2
3/2
14
1/2
0
0
0
－3/2
0
4
0
0
1
1
1
－3
5
6
1
0
2
0
1
－1
3
4
0
1
－1
0
－1
2
0
0
－1
0
－2
－1－M
故最优解为X*（6,4,0,4,0,0）T，即x16,x24,x30，此时最优值为Z（X*）42．8．A，B，C三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II两个电站
提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表1—16所示。
由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少0～30单位，城市B的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位。
试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
表1—16单位电力输电费（单位：
元）
电站
城市
A
B
C
I
15
18
22
II
21
25
16
解：
设xij为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2;j=1,2,3），建立模型如下：
9．某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：
项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。
在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。
问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？
i，设xi（3）表示第三次
解：
设xi
（1）表示第一次投资项目i，设xi
（2）表示第二次投资项目
投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为
10．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、
上漆几道重要工序。
每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具
的利润由表1—17给出。
问工厂应如何安排生产，使总利润最大？
表1—17家具生产工艺耗时和利润表
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：
设xi表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,⋯,5），则
3x1
4x2
6x3
2x4
3x5
3600
s.t.4x1
2x1
3x2
5x3
6x4
4x5
3950
3x2
3x3
4x4
3x5
2800
xi
0,i
1,2,
5
通过LINGO软件计算得
：
x10,
x2
38,x3
254,x40,x5642,Z3181
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。
已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
表1—18产品生产工艺消耗系数
甲
乙
丙
设备能力
A（小时）
1
1
1
100
B（小时）
10
4
5
600
C（小时）
2
2
6
300
单位产品利润（元）
10
6
4
1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。
2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？
如产品丙每件的利润增加到
6，求最优生产计划。
（3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
（4）设备A的能力如为100+10q，确定保持原最优基不变的q的变化范围
（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。
解：
（1）设x1,x2,x3分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型
x1x2x3100
10x14x25x3600s.t.
2x12x26x3300x1,x2,x30
标准化得
x1x2x3x4100
10x14x25x3x5600
s.t.1235
2x12x26x3x6300x1,x2,x3,x4,x5,x60
列出单纯形表
10
6
4
0
0
0
b
0
100
1
1
1
1
0
0
100
0
600
[10]
4
5
0
1
0
60
0
300
2
2
6
0
0
1
150
10
6
4
0
0
0
0
40
0
[3/5]
1/2
1
1/10
0
200/3
10
60
1
2/5
1/2
0
1/10
0
150
0
180
0
6/5
5
0
－1/5
1
150
0
2
－1
0
－1
0
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－
－10/3
－2/3
0
8/3
故最优解为x1100/3,x2200/3,x30，又由于x1,x2,x3取整数，故四舍五入可得
最优解为x133,x267,x30,Zmax732．
2）产品丙的利润c3变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
c3－20/3
－10/3
－2/3
0
202要使原最优计划保持不变，只要3c3200，即c3626.67．故当产品丙每
33
件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
如产品丙每件的利润增加到6时，此时6<6.67，故原最优计划不变
3）由最末单纯形表计算出
1/60
1/60，新的最优解为
01
解得4q5，故要保持原最优基不变的q的变化范围为[4,5]．
（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，则线性规划模型变成
x1x2x3100
10x14x25x3600
s.t.2x12x26x3300x310
x1,x2,x3通过LINGO软件计算得到：
x132,x258,x310,Z708．
第2章对偶规划（复习思考题）
1．对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么？
答：
原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。
可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2．什么是资源的影子价格？
它与相应的市场价格有什么区别？
答：
若以产值为目标，则yi是增加单位资源i对产值的贡献，称为资源的影子价格（ShadowPrice）。
即有“影子价格=资源成本+影子利润”。
因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。
可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。
3．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？
答：
（1）最优性定理：
设X,Y分别为原问题和对偶问题的可行解，且CXbTY，则X,Y分别为各自的最优解。
（2）对偶性定理：
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。
（3）互补松弛性：
原问题和对偶问题的松弛变量为XS和YS，它们的可行解X*,Y*为最优解的充分必要条件是Y*XS0,YSX*0．
4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负值。
若YS对应于原问题决策变量x的检验数，则Y对应于原问题松弛变量xS的检验数。
4．已知线性规划问题
8x13x2x32（第一种资源）
s.t.6x1x2x38（第二种资源）
x1,x2,x30
（1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。
（2）求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由2变为4，
最优解是否改变？
（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，
应该如何定价？
解：
（1）标准化，并列出初始单纯形表
4
1
2
0
0
b
0
2
[8]
3
1
1
0
2/8
0
8
6
1
1
0
1
8/6
4
1
2
0
0
4
1/4
1
3/8
[1/8]
1/8
0
2
0
13/2
6
－5/4
1/4
－3/4
1
26
0
－1/2
3/2
-1/2
0
2
2
8
3
1
1
0
0
6
－2
－2
0
－1
1
－12
－5
0
－2
0
由最末单纯性表可知，该问题的最优解为：
X*（0,0,2,0,6）T，即x10,x20,x32，
最优值为Z4．
（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为：
y12,y20,w4．
（3）两种资源的影子价格分别为2、0，表示对产值贡献的大小；第一种资源限量由2变为4，最优解不会改变。
（4）代加工产品丁的价格不低于22034．
5．某厂生产A，B，C，D4种产品，有关资料如表2—6所示。
表2—6
资源消耗
资源
产品
资源供应量
（公斤）
原料成本
（元/公斤）
A
B
C
D
甲
2
3
1
2
800
2.0
乙
5
4
3
4
1200
1.0
丙
3
4
5
3
1000
1.5
单位产品售价（元）
14.5
21
15.5
16.5
（1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计加工成本）。
（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数学模型，资源甲、乙、丙的影子价格是多少？
若工厂可在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料以扩大生产？
（3）原料丙可利用量在多大范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）？
（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划是否需要调整？
解：
（1）设x1,x2,x3,x4分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型
2x1
3x2
x3
2x4
800
5x1
4x2
3x3
4x4
1200
s.t.1
3x1
4x2
5x3
3x4
1000
xi
0,i
1,2,3,4
初始单纯形表
1
5
3
4
0
0
0
b
0
800
2
3
1
2
1
0
0
800/3
0
1200
5
4
3
4
0
1
0
1200/4
0
1000
3
[4]
5
3
0
0
1
1000/4
1
5
3
4
0
0
0
最末单纯形表
1
5
3
4
0
0
0
b
0
100
1/4
0
-13/4
0
1
1/4
-1
4
200
2
0
-2
1
0
1
-1
5
100
-3/4
1
11/4
0
0
-3/4
1
-13/4
0
-11/4
0
0
-1/4
-1
解得最优解为：
X*（0,100,0,200,100）T，最优值Z1300．
（2）原问题的对偶问题的数学模型为
2y1
5y2
3y3
1
3y1
4y2
4y3
5
s.t.y1
3y2
5y3
1
2y1
4y2
3y3
4
y1,y2,y30
解得影子价格分别为2、1.25、2.5。
对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子
价格时购进
（3）原料丙可利用量在[900,1100]范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。
（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划不需要调整。
6．某企业生产甲、乙两种产品，产品生产的工艺路线如图2—1所示，试统计单位
产品的设备工时消耗，填入表2—7。
又已知材料、设备C和设备D等资源的单位成本和拥有量如表2—7所示。
表2—7资源消耗与资源成本表
产品
资源
资源消耗
资源成本
资源拥有量
甲
乙
元/单位资源
材料（公斤）
60
50
200
4200
设备C（小时）
30
40
10
3000
设备D（小时）
60
50
20
4500
据市场分析，甲、乙产品销售价格分别为13700元和11640元，试确定获利最大的产品生产计划。
（1）设产品甲的计划生产量为x1，产品乙的计划生产量为x2，试建立其线性规划的数学模型；若将材料约束加上松弛变量x3，设备C约束加上松弛变量x4，设备D约束加上松弛变量x5，试化成标准型。
（2）利用LINDO软件求得：
最优目标函数值为18400，变量的最优取值分别为
x120,x260,x30,x40,x5300，则产品的最优生产计划方案是什么？
并解释x30,x40,x5300的经济意义。
（3）利用LINDO软件对价值系数进行敏感性分析，结果如下：
ObjCoefficientRanges
Variable
Current
Coef
Allowable
Increase
AllowableDecrease
200
88
20
试问如果生产计划执行过程中，甲产品售价上升到13800元，或者乙产品售价降低60元，所制定的生产计划是否需要进行调整？
（4）利用LINDO软件对资源向量进行敏感性分析，结果如下：
RighthandSideRanges
Resource
CurrentRhs
Allowable
Increase
Allowable
Decrease
材料
4200
300
450
设备C
3000
360
900
设备D
4500
Infinity
300
试问非紧缺资源最多可以减少到多少，而紧缺资源最多可以增加到多少？
解：
（1）建立的线性规划模型为
60x1
50x2
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