6章全.docx
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6章全
6.1如图6-42所示,建立求最小部分树的0-1整数规划数学模型。
【解】边[i,j]的长度记为cij,设
数学模型为:
6.2如图6-43所示,建立求v1到v6的最短路问题的0-1整数规划数学模型。
【解】弧(i,j)的长度记为cij,设
数学模型为:
6.3如图6-43所示,建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。
【解】设xij为弧(i,j)的流量,数学模型为
6.4求图6-41的最小部分树。
图6-41(a)用破圈法,图6-41(b)用加边法。
图6-44
【解】图6-44(a),该题有4个解,最小树长为22,其中一个解如下图所示。
图6-44(b),最小树长为20。
最小树如下图所示。
6.5某乡政府计划未来3年内,对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。
根据勘测,10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。
乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。
表6-20
两村庄之间修建公路的费用(万元)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12.8
10.5
9.6
8.5
7.7
13.8
12.7
13.1
12.6
11.4
13.9
11.2
8.6
7.5
8.3
14.8
15.7
8.5
9.6
8.9
8.0
13.2
12.4
10.5
9.3
8.8
12.7
14.8
12.7
13.6
15.8
9.8
8.2
11.7
13.6
9.7
8.9
10.5
13.4
14.6
9.1
10.5
12.6
8.9
8.8
【解】属于最小树问题。
用加边法,得到下图所示的方案。
最低总成本74.3万元。
6.6在图6-45中,求A到H、I的最短路及最短路长,并对图(a)和(b)的结果进行比较。
图6-45
【解】图6-45(a):
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22;A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。
对于图6-45(b):
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21;A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20;
结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。
6.7已知某设备可继续使用5年,也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。
已知5年年初购置新设备的价格分别为3.5、3.8、4.0、4.2和4.5万元。
使用时间在1~5年内的维护费用分别为0.4、0.9、1.4、2.3和3万元。
试确定一个设备更新策略,使5年的设备购置和维护总费用最小。
【解】设点vj为第j年年初购置新设备的状态,(i,j)为第i年年初购置新设备使用到第j年年初,弧的权为对应的费用(购置费+维护费),绘制网络图并计算,结果见下图所示。
总费用最小的设备更新方案为:
第一种方案,第1年购置一台设备使用到第5年年末;第二种方案,第1年购置一台设备使用到第2年年末,第3年年初更新后使用到第5年年末。
总费用为11.5万元。
6.8图6-46是世界某6大城市之间的航线,边上的数字为票价(百美元),用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。
【解】教师可利用模板求解:
data\chpt6\ch6.xls
L1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8.8
9
5.6
8
6
v2
8.8
0
10
5
100
4
v3
9
10
0
3
4.8
14
v4
5.6
5
3
0
12
100
v5
8
100
4.8
12
0
9
v6
6
4
14
100
9
0
L2
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
v2
8.8
0
8
5
13
4
v3
8.6
8
0
3
4.8
14
v4
5.6
5
3
0
7.8
9
v5
8
13
4.8
7.8
0
9
v6
6
4
14
9
9
0
L3
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
v2
8.8
0
8
5
13
4
v3
8.6
8
0
3
4.8
12
v4
5.6
5
3
0
7.8
9
v5
8
13
4.8
7.8
0
9
v6
6
4
12
9
9
0
最优票价表:
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
0
3
4.8
12
v4
0
7.8
9
v5
0
9
v6
0
v1、v2、…、v6到各点的最优路线图分别为:
6.9设图6-46是某汽车公司的6个零配件加工厂,边上的数字为两点间的距离(km)。
现要在6个工厂中选一个建装配车间。
(1)应选那个工厂使零配件的运输最方便。
(2)装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是0.5、0.6、0.8、1.3、1.6和1.7吨,运价为2元/吨公里。
应选那个工厂使总运费最小。
【解】
(1)利用习题6.8表L3的结果
v1
v2
v3
v4
v5
v6
Max
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
8.8
v2
8.8
0
8
5
13
4
12.8
v3
8.6
8
0
3
4.8
12
12
v4
5.6
5
3
0
7.8
9
9
v5
8
13
4.8
7.8
0
9
12.8
v6
6
4
12
9
9
0
12
选第1个工厂最好。
(2)计算单件产品的运价,见下表最后一行。
计算单件产品的运费,见下表最后一列。
v1
v2
v3
v4
v5
v6
单件产品运费
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
84.88
v2
8.8
0
8
5
13
4
89.16
v3
8.6
8
0
3
4.8
12
82.16
v4
5.6
5
3
0
7.8
9
71.96
v5
8
13
4.8
7.8
0
9
81.92
v6
6
4
12
9
9
0
82.2
运价
1
1.2
1.6
2.6
3.2
3.4
选第4个工厂最好。
6.10如图6-47,
(1)求v1到v10的最大流及最大流量;
(2)求最小割集和最小割量。
【解】给出初始流如下
第一轮标号:
得到一条增广链,调整量等于5,如下图所示
调整流量。
第二轮标号:
得到一条增广链,调整量等于2,如下图所示
调整流量。
第三轮标号:
得到一条增广链,调整量等于3,如下图所示
调整流量。
第四轮标号:
不存在增广链,最大流量等于45,如下图所示
取
,最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10),最小截量等于45。
6.11将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2,中途有2个加压站B1、B2,天然气管线如图6-48所示。
输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上(cij,dij)。
求
(1)流量为22的最小费用流;
(2)最小费用最大流。
图6-48
【解】虚拟一个发点和一个收点
T6.11-1
得到流量v=22的最小费用流,最小费用为271。
求解过程参看习题部分答案PPT文档。
T6.11-13
最小费用最大流如下图,最大流量等于27,总费用等于351。
6.12如图6-46所示,
(1)求解旅行售货员问题;
(2)求解中国邮路问题。
图6-46
【解】
(1)旅行售货员问题。
距离表C
1
2
3
4
5
6
1
∞
8.8
9
5.6
8
6
2
8.8
∞
10
5
∞
4
3
9
10
∞
3
4.8
14
4
5.6
5
3
∞
12
∞
5
8
∞
4.8
12
∞
9
6
6
4
14
∞
9
∞
在C中行列分别减除对应行列中的最小数,得到距离表C1。
距离表C1
1
2
3
4
5
6
1
∞
3.2
3.4
0
0.6
0.4
2
2.8
∞
6
1
∞
0
3
4
7
∞
0
0
11
4
0.6
2
0
∞
7.2
∞
5
1.2
∞
0
7.2
∞
9
6
0
0
10
∞
3.2
∞
由距离表C1,v1到v4,H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1},C(H1)=5.6+3+4.8+9+4+8.8=35.2
去掉第1行第四列,d41=∞,得到距离表C2。
得到距离表C2
1
2
3
5
6
2
2.8
∞
6
∞
0
3
4
7
∞
0
11
4
∞
2
0
7.2
∞
5
1.2
∞
0
∞
9
6
0
0
10
3.2
∞
距离表C2的每行每列都有零,H2=H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1}就是总距离最小的Hamilton回路,C(H1)=35.2。
(2)中国邮路问题。
虚拟一条边
取回路H1={v1,v3,v4},C(H1)=9+5+3=17,C(v1,v3)=9>C(H1)/2,调整回路。
所有回路满足最短回路的准则,上图是最短的欧拉回路,其中边(v1,v4)和(v4,v3)各重复一次。