花落谁家高考志愿填报体制的博弈模型清华大学钟笑寒程娜何云帆.docx

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花落谁家高考志愿填报体制的博弈模型清华大学钟笑寒程娜何云帆

花落谁家：

高考志愿填报机制的博弈模型

钟笑寒程娜何云帆*

花落谁家：

高考志愿填报机制的博弈模型

摘要本文分析了高考志愿填报三种不同机制（即考前报、估分报和知分报）下，考生之间策略决策的纳什均衡结果，以此来评估三种制度在人才筛选方面的效率。

我们发现，三种填报机制之间不存在帕累托改进。

但在许多情况下，考前报和估分报可能达成社会有效率，其中又以考前报可能性更大，此外更大范围内的竞争也有利于消除投机激励。

关键的参数包括考生正常发挥的概率和对不同学校评价的差异度。

关键词筛选与信号，博弈论，高考制度

WhereHaveAlltheFlowersGone:

AGame-theoreticModelontheApplicationMechanismsof

CollegeEntranceExamination

XIAOHANZHONG,NACHENG,andYUNFANHE

（NationalCenterforEconomicResearchatTsinghuaUniv.（NCER）,Beijing100084）

AbstractThepaperdiscussesthethreeco-existingapplicationmechanismsofCollegeEntranceExaminationinChina,i.e.Applyingbeforeexam（A1）,afterexamyetbeforescoreannouncement（A2）,andafterannouncement（A3）.Understaticperfectandimperfectgameframeworks,wegivetheNashEquilibriumoutcomesandevaluatethecomparativeefficiencyofthethree.WefindthattheredoesnotexistParetoimprovementamongallthree.Butinmanycases;A1andA2canachievesocialefficiencyespeciallyA1.Morecompetitionsisfavorableforeliminatingarbitrageincentives.Weidentifytwocriticalparameters:

probabilityofexam-failure,andreturn-ratiobetweencollegesforeachexaminee.Thepapershedslightsonscreeningproblemsofsimilarsocialissues.

KeywordsScreeningandsignaling,GameTheory,CollegeEntranceExamination

JELClassificationC720,D820,I280

花落谁家：

高考志愿填报机制的博弈模型

一、问题的提出

经济学家一直对不完全信息和不确定性下的资源配置问题具有浓厚的兴趣。

一个重要的结论是：

新古典模型描述的完全竞争市场机制不能很好的解决这个问题。

如果我们把高等教育看成一个市场，其不完全性的一个重要体现是缺乏一个灵活的信贷市场——市场欠缺（MissingMarket）——这使得那些对接受高等教育具有很高预期未来收益的“穷”学生无法获得最优配置，从而阻碍我们通过价格机制来配置稀缺的教育资源。

替代的方案便是我们现在正在实行的高考制度，其核心机制有二：

一是考生（买方）通过填报志愿来显示自己对不同学校的偏好；二是考生通过考试分数来发出与能力密切相关的信号，供各高校（卖方）在筛选学生——考虑是否向卖方提供产品——时作为唯一标准（只有少量不以分数为唯一标准的例外情况）。

本文将初步考察高考制度作为某种理想化的市场制度（这种市场制度也许永远只是空想）替代品的效率问题，具体的，我们的讨论将集中在高考制度中关于填报志愿的时间（Timing）安排。

当前实施的志愿填报的制度有三种：

考前报志愿、估分报志愿和分数公布后报志愿（以下分别简称考前报（A1）、估分报（A2）和知分报（A3））。

考前报是考生在参加高考以前（因而对考试结果只能有一个预期）填报志愿（按偏好次序可以填报若干个学校），此外，我们还可以认为他对其相关“市场”范围（同校甚至同一地区）竞争对手的成绩也有一个理性预期。

估分报是在考试以后但成绩尚未公布时填报志愿，此时考生对自己的成绩及发挥是否正常会有一个较准确的判断，但由于竞争对手的保密或散布错误信息，对对手的成绩只能和考前报具有同样预期。

而知分报则是在所有学生的成绩公布以后来填报，考生对竞争对手的成绩和各自的排序已完全了解了。

这三种方式在不同地区和不同时间已实践多年，但对其优劣至今未有定论。

关于三种制度的优劣，可以从两个标准来判断：

一，是否存在某两种制度之间的转换使得所有考生的预期收益都能够提高，即存在“帕累托改进”——或者运用博弈论的术语——避免“囚徒困境”，姑且称为“弱效率”标准。

二，能否在偏好序相同（相近），因而存在竞争关系的学生当中，让好学生最终进入（偏好在前的）好学校。

这里，好学生界定为具有内在高能力（或者教育回报的预期值更高）的学生，而不简单的是一次考试分数更高的学生，否则知分报将是最优制度安排。

我们把这一资源配置标准称为“强效率”标准。

注意两种效率是从不同角度来说的，所谓强效率并非弱效率的充分条件。

由于问题的复杂性，作为初步的探讨，本文首先在两人博弈的框架下，考虑有两所学校可供选择（因而策略集被大大精简了），建立三种填报机制（A1－A3）的博弈模型，用两个效率标准对其结果进行评价。

我们将分别对完全填报（此处指允许考生填报两个志愿）和不完全填报（只能填报一个志愿）的不同情形来进行分析，可以看到“配额”是否存在的巨大差别，并为引入多人博弈的简单讨论打下基础。

第三部分将讨论上述模型的一个特殊的对称情形，以得出更为直观和重要的的结论。

第四部分试图将两人博弈框架下的某些结论推广到更为一般的情形。

第五部分是含义，将针对高考志愿填报机制本身提出政策建议，以及将模型引申到其他社会和经济制度的讨论中。

最后是结论。

二、模型

我们假定有两个考生1和2，分别是高能力和低能力的，但是能力差别不大。

具体的说，每个考生参加考试可能有发挥正常和失误两种情况。

在两个考生均发挥正常的情况下，高能力考生一定会取得更高的分数，而当高能力的考生发挥失误而低能力的考生发挥正常时，则低能力考生取得一个更高的分数。

在竞争同一所学校时，显然高分数者将被录取，不被录取者转到下一志愿甚至落榜。

特别的，设两人发挥失误的概率分别为

，

，且概率分布是相对独立的。

有必要对失误概率加以某种限制。

为此，我们做出以下定义。

定义：

某考生相对另外的考生为高能力的，当且仅当其分数高于对手的概率大于1/2。

在模型的假设下，定义所规定的情形仅在高能力考生发挥失误而低能力考生发挥正常时才成立。

因此，这一定义意味着

。

相应的，有两所高校h和l。

假定两个考生对其偏好（评价）是一致的，否则二人不形成竞争关系。

表示为：

（1）

其中，

表示第i个学生对第j个学校的（货币度量的）评价。

直观的，h代表好学校，l代表差学校。

假定每所大学只招收1名学生（同样是出于竞争关系存在的考虑），两个考生都想竞争好的学校h。

（一）情形1：

允许填报两个志愿

学校首先在第一志愿填报自己的考生中择优（高分）录取，如果招收不满学生，则再于第二志愿中择优录取。

显然，考生一定会选择填报两个志愿而非一个志愿，同时也不会使其两个志愿相同。

因此，第i个考生的策略集仍然规定为

，表示其第一志愿填报学校（第二志愿填报相应是另一所学校）。

1、考前报模型

假定每个考生的

和

是共同知识。

考前报模型中两个考生1和2同时行动，选择其策略h或l。

假定考生是风险中性的，其期望收益（评价）构成以下的收益矩阵（表1）：

（在此插入表1）

利用

（1）式，不难看出，

是考生i的优势策略（dominantstrategy）。

于是得

到一个优势策略的纯策略纳什均衡，两个考生都选择第一志愿报考好学校（从而第二志愿填报差学校，称之为“完全正序”的填报），均衡策略下的收益

为：

（2）

容易看出，

。

除非高能力考生能够确定性的发挥正常（

），均衡的所得相对于“强效率”标准要求的结果

而言，高能力考生的期望效用下降了，低能力考生的期望效用上升了。

低能力考生在存在“保底”的第二志愿情况下，其“投机”心理得不到遏制，所以第一志愿填报好学校成为其优势策略。

2、估分报模型

为了突出估分报的特点，我们假定考生在考试后对自己发挥正常与否的估计是完全准确的，但对竞争对手的了解和考前报制度下完全一样（只知道发挥正常与否的概率）。

定义此种情况下的纯策略集合为

，其中

分别表示考生i在已知自己发挥正常和失误情况下的策略（第一志愿填报好学校h还是差学校l）。

这样，每个考生分别有四种纯策略，即：

（h,h）,（h,l）,（l,h）,（l,l）。

容易看出，对于高能力考生，在已知自己发挥正常的情况下，优势的策略是选择好学校。

因此他的优化策略只有两种：

（h,h）,（h,l），也即他只需要考虑在发挥失误情况下的选择。

另外，低能力考生在发挥失误情况下的策略对高能力考生和自己的收益均没有影响。

因为在他发挥失误的情况下，分数肯定低于高能力考生，所以高能力考生无论填报何种（第一）志愿都能被录取，决策结果不依赖于对手的填报情况。

相应的，低能力考生被录取的只能是高能力考生录取后的“剩余”学校（无论第一还是第二志愿），同样也不受自己决策的影响。

因此，低能力考生的策略集也可以只考虑其在发挥正常情况下的策略（h或l）。

这样以来，收益矩阵简化为2×2矩阵（表2）：

（在此插入表2）

考生1的优势策略是（h,h），考生2的优势策略是（h,*），因此存在唯一的优势策略纳什均衡。

此时，两个考生各自的收益和考前报情形下（

（2）式）完全相同！

正如刚才所分析的，只有在高能力考生发挥失误和低能力考生发挥正常时才形成竞争关系，而在这种情况下，由于双方都存在“保底”的（第二）志愿，不存在落榜的危险，所以都会选择“投机”——第一志愿填报好学校。

博弈的结果仍然是偏离“强效率”标准：

高能力学生受损，低能力学生受益。

总的来说，“完全正序”填报方式仍然是最优策略（之一）。

3、知分报模型

由于高能力和低能力考生对自己和对方的考试情况都已经知道，在这种“完全信息”的情况下，不存在博弈的关系，双方根据自己和对方考试发挥情况直接填报自己能上的最好学校。

例如，在高能力考生发挥失误而低能力考生发挥正常的情况下，高能力考生自然选择填报差学校l，而低能力考生填报好学校h。

不过，高能力和低能力的也都可以按第一志愿报好学校，第二志愿报差学校的“完全正序”来行事，结果是相同的。

根据相对独立的概率分布容易算得，双方的期望收益仍然是

（2）式的结果。

总结上述三种情形，对于允许填报两个志愿的“完全偏好显示”的情形，无论是考前报、估分报和知分报的填报机制，所有考生填报志愿的纳什均衡策略（之一）都是“完全正序”，而由此带来期望收益是相同的，也就是说，不同填报机制之间不存在帕累托改进，或者说每种方案都具有相对的“弱效率”。

但是，他们都不满足“强效率”标准，也就是说，没有使高能力考生一定能够上好学校。

一个重要的原因是，由于存在保险的机制（保底的第二志愿），低能力考生可以报好学校而不用支付任何成本（包括对好学生造成的“外部性”）。

可以设想，如果减弱低能力考生填报好学校的激励，也许可以达到或接近“强效率”标准。

而减弱其填报好学校激励的一个办法，是只允许所有考生填报有限（这里是一个）志愿，如果这一志愿未能被录取，则考生落榜（期望收益为零）。

此外，考虑到各高校处理信息的成本，不可能允许学生填报过多的志愿，这样学生的偏好只能是“部分显示”，因而讨论只允许填报一个志愿是具有现实意义。

（二）情形2：

只允许填报一个志愿

1、考前报模型

只允许填报一个志愿意味着，如果考生在这一志愿的竞争中未被录用，则只能落榜，效用为零。

和情形1相比，这时双方在不同策略下的期望收益有所变化，具体的收益矩阵如表3：

（在此插入表3）

和允许填报两个志愿相比，在填报志愿“撞车”（均填报了好学校或者坏学校）的情形下，两个考生的期望收益都有所下降。

这样，给定高（低）能力考生填报好（差）学校的策略，低（高）能力考生填报好（差）学校的激励下降了。

这样似乎更能引导双方选择与自己真实能力相配的学校，趋向“强效率”。

但另一方面，在“撞车”的情形下，由于存在低能力考生“险胜”高能力考生的可能性存在，高能力考生填报好学校风险上升，从而激励下降，考虑到高能力考生的这一顾虑，低能力考生也许可以乘虚而入，填报好学校，使得博弈结果偏离强效率。

这样，在只允许填报一种志愿的情况下，是否能达成“强效率视上述正反效应的相对强弱而定，而这又依赖于两个参数，一是发挥正常与否的概率

，以及二人对好学校和差学校的评价，特别的，取决于两种学校期望收益的比率（简称收益比），定义为：

（3）

显然有

。

不难看出，策略组合（l,l）必定不是纳什均衡。

而其他几种策略组合则都有可能成为纳什均衡，依据参数不同总结如下（注意到根据我们的假设，

）：

（1）

。

由于双方都对差学校评价很低，对于双方来说，报好学校的激励如此之大，超过了落榜的风险损失。

此时唯一的优势策略纳什均衡是双方都报好学校。

在高考制度恢复初期，流行一种说法，叫“千军万马过独木桥”，反映的就是这种如果不参加高考，就只有非常不好的出路的情形，则撞车是在所难免的，我国古代的科举制度也有类似的情形。

解决的办法是增加高校数量，降低学校之间的差距（提升收益比），以减少“撞车”。

此外，当高能力考生减少失误的概率

时，

值范围扩大，而

值范围缩小，表明此时高能力考生更倾向于选择好学校，而低能力考生更倾向于不选择好学校（至少不是优势策略），因此，如果高能力考生能够发出可置信的信号来表明自己正常发挥的概率增大（例如故意放松复习的努力程度），有可能威胁低能力考生放弃报考好学校。

反过来，低能力考生也可以通过显示自己正常发挥的概率增大来威胁高能力考生。

注意到这种情形下双方的期望收益各自为：

（4）

（2）

。

对于高能力考生来说，对两所学校评价仍然相去甚远，所以有足够的激励将报好学校作为优势策略。

而低能力考生则由于对差学校评价相对提高，虽然没有将报考坏学校作为优势策略（这是绝对不可能的，考虑给定高能力学生填报差学校的策略），但在给定高能力学生填报好学校的策略下，选择了填报差学校，因此高能力和低能力考生分别报考好和差学校（策略组合（h,l））成为一个重复剔除劣势策略的纳什均衡。

注意到，这是满足“强效率”标准的“最佳”结果，此时双方各自所得为：

（5）

而这一结果在允许填报两个志愿的完全填报（情形1）下完全不可能出现。

（3）

。

由于对好坏学校的评价相差不大，考生都表现出对激励和风险权衡的“无所谓”态度。

双方没有优势策略，而且存在两个不同的纯策略纳什均衡：

（h,l）和（l,h）。

这种情形最为微妙，双方都可以采取措施使对手让步，但也都能接受对自己稍微不利的结局。

（4）

。

显然，这种情况和

的结果完全相反，低能力学生填报好学校是其优势策略，重复剔除劣势策略的纳什均衡为（l,h）。

这是最偏离“强效率”标准的结果：

。

（6）

将以上结果总结为图1。

图形表示了不同的收益比（r）范围对应的纳什均衡策略组合。

各区域的罗马数字编号对应上述四种情形。

只有在双方对学校的评价差别比较大的II和IV两个区域，才有稳定（唯一）的“非冲突”解，其中区域II（图中阴影）达成了强效率。

如果双方对学校评价差别不大，要么发生冲突（区域I，双方对差学校评价都很低），要么出现不稳定的多重纳什均衡解（区域III，双方对差学校评价都较高）。

（在此插入图1）

注意到区域II的面积一定大于1/4，区域IV的面积一定小于1/4。

其余两个区域的面积可能大于或小于1/4，但都不可能大于区域II的面积。

这也就是说，如果假定参数r1,2在[0,1]之间是服从独立均匀分布的，强效率出现的可能性大于其他情况出现的可能性，特别是大于完全无效率情况出现的可能性。

特别的，当高能力学生发挥趋于正常（δ10），则区域II扩大到r的整个区域。

（h,l）成为唯一的纳什均衡。

（低能力学生的发挥δ2不具有决定性影响，其减少仅会使得区域I变得更为“瘦长”。

）

2、估分报模型

画出收益矩阵如表4。

和完全填报的估分报（情形1

（2））类似，高能力的考生1在发挥正常时仍然是以填报好学校（h）为优势策略。

并且，对低能力的考生2在发挥失误填报何种志愿，考生1是不在乎的。

而考生2则有所不同，他在发挥失误时填报何种志愿至关重要。

因为此时其分数一定低于考生1，又没有保底的“第二”志愿，在对手始终选择好学校时，填报好学校就是“白送死”；但是，当对手在发挥失误时“退缩”而填报了差学校，他就可以“趁虚而入”，填报好学校而获益（可以计算，当

时，这种策略是此时的最优反应）。

（在此插入表4）

根据这样和其他一些关系，我们可以排除许多策略组合作为纳什均衡的可能性，例如策略组合（（h,l）,（l,*））,（（h,h）,（*,h））,甚至（（h,l）,（h,l））（其中*代表任意策略）。

这样可能的（纯策略）纳什均衡只有3个。

根据参数的范围讨论如下：

（1）

。

考生1存在优势策略（h,h），表明当考生1对差学校评价较低时，一贯性地选择好学校就是最优的，有趣的是，他的参照系仅是对手的失误率2，而与自己的失误率无关，对手失误率上升有利于考生1选择好学校。

同样的，考生2的选择也仅与考生1的失误率1相关，当他对差学校的评价足够低到小于这个失误率时，在发挥正常时他也选择好学校。

但正如刚指出的，发挥失误时他只能选择差学校。

此时（重复剔除劣势策略的）纳什均衡策略为（（h,h）,（h,l）），双方收益如收益矩阵所示（表4）。

（2）

。

（重复剔除劣势策略的）纳什均衡为（（h,h）,（l,l））。

当考生2对差学校评价上升后，改变了自己的选择。

（3）

。

虽然高能力的考生对差学校的评价上升，致使（h,h）不再是考生1的优势策略，因为此时如果对手在发挥正常时选择“投机”（填报好学校），则自己可以考虑“退缩”（填报差学校）。

不过，差学生鉴于自己对差学校的评价也较高，甘愿选择了差学校以避免可能的风险，此时的纳什均衡仍然是（（h,h）,（l,l））。

（4）

。

注意到

，和上述情形

不同的是，低能力考生选择“趁虚而入”的激励由于自身对差学校评价较低而增强了，反过来迫使高能力考生退缩，则此时的纳什均衡变为（（h,l）,（h,h））。

以上分析总结如图2。

注意各区域加撇号的罗马数字代表分别对应上述4种参数范围。

考生1在发挥正常时始终报好学校，对于他来说，需要权衡的是发挥失误时的选择，这个选择类似考前报：

如果对手对差学校评价较高（区域II’和III’），对手倾向于在发挥正常时选择差学校，自己则一贯地选择好学校就可以了（区别在于考前报在区域III存在多重纳什均衡，此处则不存在）；如果对手对差学校评价很低，而自己评价较高，可以考虑失误时选择差学校（区域IV’）。

此外，如果高能力考生对差学校评价低时（区域I’和II’），其优势策略是选择（h,h）。

考虑失误率参数i变动的影响。

当δ10时，低能力的考生2无论自己的失误率和发挥如何，会倾向于选择差学校。

反过来，当δ20时，高能力考生选择差学校的倾向有所上升（但只在区域IV’）。

（在此插入图2）

比较考前报（图1）和估分报两种制度之间的纳什均衡变化（在图2中用长短虚线表示图1中的区域划分）。

图中阴影（区域II’和III’）达成了强效率。

注意到估分报消除了多重（纯策略）纳什均衡的情况，代之以对高能力者有利的单一纳什均衡（区域III’）——在双方均对两所学校评价接近时，估分报更有利于得到“强效率”的结果。

区域II’相对区域II缩小了，说明在低能力学生对差学校评价低，估分报增加了低能力学生的“投机”倾向，这样又不利于达成“强效率”标准。

总体上估分报出现强效率的可能性（阴影面积）是否大于考前报是不一定的。

随着1的减小，估分报取得强效率的可能性成比例增大，而且有可能大于考前报。

不过，两种填报制度存在某些相似之处，由于它们都是在对对方考试成绩（信号）不知道的情况下作出选择，高能力考生对低能力考生的“威胁”始终是可置信的。

3、知分报模型

和允许填报两个志愿的情形1完全相同。

知分报实际上消除了填报两个志愿的必要性（前提是所有相关考生彼此完全知道分数和各自的偏好序，而且经过精确计算达成均衡，因此“完美”的知分报体制对信息要求是很高的。

）

（三）小结

我们将只允许填报1个志愿（情形2）下的三种制度：

考前报、估分报和知分报，根据不同的参数范围，将其结果（只列出期望收益而不列出均衡策略）总结如下（注意允许填报2个志愿（情形1）下所有填报机制的均衡结果和只允许填报一个志愿下知分报（情形2（3））的结果是完全相同的）：

第一，对于只允许填报一个志愿的三种制度的均衡结果，几乎不存在帕累托改进的制度安排，也即没有具有“弱效率”的填报机制：

无论在何种参数范围下，从一种填报机制向另一种填报机制转换，高能力考生和低能力考生的收益不可能同时增加。

唯一的例外是当两个人对两所学校的评价都相差很大时，特别是低能力考生填报好学校的激励足够大到超过风险，他们填报志愿发生最为激烈的冲突，使知分报（以及允许填报两个志愿的所有三种制度）成为两人共同的最优选择。

第二，和知分报相比，估分报和考前报的均衡结果都有可能达到“强效率”标准。

这一般发生在考生2对差学校评价较高，因而其“投机”的激励可能小于风险。

第三，当高能力考生的发挥失误率下降时，三种填报机制都趋向于“强效率”标准（无论低能力考生失误率如何）。

不过，估分报制度的“收敛”速度似乎是最快的。

三、对称情形

下面将上述两人博弈的一般情形中的一个特殊情形加以讨论。

这个特殊情形包含两个附加条件。

首先，假定两个人对两所学校的评价是完全相同的，即：

（7）

其次，假定两个人的失误率也是相同的，即：

（8）

特别提到的，这两个假设可以引申到“连续分布”的大量考生的情形。

此时，存在竞争关系的考生能力一般比较接近，所以他们对学校的评价r也比较接近。

此外，因为考生的失误率δ和其“正常”成绩不同，是由考生的“非智力”因素，如性格等决定的。

有理由认为在大量的或相近考生之间不存在系统性的差别。

注意到对于任意的

，

总是成立的，因此我们附加的对失误概率的限制条件在此就是多余的。

重新考虑上述两人模型。

显然，在“完全填报”（可填2个志愿）的情形1下，博弈均衡对参数完全没有敏感性，结果也就没有变化；与此相同的则是“限制填报”（只填1个志愿）下的知分报机制。

而限制填报下的考前报和估分报机制则有所不同。

考前报。

注意到

，或者说

，只有三种情形是可能的：

情形1：

如果

，最优策略组合是（h,h），为“撞车”情形。

情形2：

如果

，最优策略组合是（h,l）或（l,h），为不“撞车”情形，但可能出现无“强效率”结果（考虑混合策略则可能“撞车”）。

情形3：

如果

，最优混合策略是（h,l