高一数学必修2第二章测试题及答案解析同名8164.docx
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高一数学必修2第二章测试题及答案解析同名8164
第二章综合检测题
、选择题
1.若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）
A.相交B.平行C.异面D.平行或异面
2.平行六面体ABCD—AiBiCiDi中，既与AB共面也与CCi共面的棱
的条数为（）
A.3B.4C.5D.6
3.已知平面a和直线I，则a内至少有一条直线与1（）
A.平行B.相交C.垂直D.异面
4.长方体ABCD—AiBiCiDi中，异面直线AB,AiDi所成的角等于（）
A.30°B.45°C.60°D.90°
5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a,使得（）
Aa?
a,b?
aBa?
a,bIIaCaXa,bXaDa?
abXa
6.下面四个命题：
1若直线ab异面bc异面则ac异面；
2若直线ab相交bc相交则ac相交；
3若aIb则ab与c所成的角相等；
4若aXbbXc则aIc.
其中真命题的个数为（）
A.4B.3C.2D.i
7.在正方体ABCD—AiBiCiDi中，E,F分别是线段AiBi,BiCi上的不与端点重合的动点，如果AiE=BiF,有下面四个结论：
1EFXAAi；②EFIIAC;③EF与AC异面；④EFI平面ABCD.其中一定正确的有（）
A.①②B.②③C.②④D.①④
8.设a,b为两条不重合的直线，a,B为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）
A.若a,b与a所成的角相等，则a//b
B.若aIa,bI伏a//B,贝yaIb
C.若a?
a,b?
BaIb,贝UaI[3
D.若aXa,bX3aXB贝UaXb
9.已知平面a丄平面3aQ3=I，点A€a,A?
l,直线ABII,直线ACXI直线mIanI3则下列四种位置关系中不一定成立的是
A.ABImB.ACXmC.ABI3D.ACX3
10已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BBi、CC1的中点,那么直线AE与DiF所成角的余弦值为（）
4333
a.—4B..5C・3D.—3
11.已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=「3,BC=2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（_）
C.0
A.fB.|C.0D.—1
12.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD,FA=AB,则PB与AC所成的角是（）
A.90°B.60
二、填空题
13.
14.正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角G—AB—C的平面角等于
15.设平面a//平面伏A,C€a,B,D€3直线AB与CD交于点
S,且点S位于平面a3之间，AS=8,BS=6,CS=12,则SD=
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C,有如下四个结论：
1AC丄BD;
2厶ACD是等边三角形；
3AB与平面BCD成60°的角；
4AB与CD所成的角是60°
其中正确结论的序号是.
三、解答题
17.如下图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC与厶AiBiCi都为正三
求证：
（1）平面ABiFi//平面CiBF;⑵平面ABiFi丄平面ACGAi.
18如图所示，在四棱锥F-ABCD中，FA丄平面ABCD,AB=4,BCE是CD的中点.
（1）证明：
CD丄平面PAE;
⑵若直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥F-ABCD的体积.
19如图所示，边长为2的等边△FCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2■'，2,M为BC的中点.
（1）证明：
AM丄FM;
⑵求二面角F-AM-D的大小.
20如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCCiBi是菱形，BiC丄AiB.
（1）证明：
平面ABiC丄平面AiBCi；
DCi的值.
⑵设D是AiCi上的点，且AiB//平面BiCD,求AiD
2i如图，△ABC中，AC=BC=^AB,ABED是边长为i的正方形,平面ABED丄底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
（i）求证：
GF//底面ABC;
⑵求证：
AC丄平面EBC;
⑶求几何体ADEBC的体积V.
22女口下图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AAi=4,点D是AB的中点.
（1）求证：
⑵求证：
ACi//平面CDBi；
⑶求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值.
详解答案
1［答案］D
2［答案］C
［解析］AB与CCi为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类：
第一类与AB平行与CCi相交的有：
CD、C1D1
与CCi平行且与AB相交的有：
BBi、AAi,
第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.
3［答案］C
［解析］1°直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，
•••A错；
2°l?
a时，在a内不存在直线与I异面，「・D错；
3°l//a时，在a内不存在直线与I相交.
无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.
4［答案］D
［解析］由于AD//AiDi,贝U/BAD是异面直线AB,AiDi所成的角，很明显ZBAD=90°
5［答案］B
［解析］对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B,若a,b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a?
a,b//a,B正确；对于选项C,a丄a,b丄a,—定有a//b,C错误；对于选项D,a?
a,b±a,—定有a丄b,D错误.
6［答案］D
［解析］异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a//c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误.
7［答案］D
［解析］如图所示.由于AAi丄平面AiBiCiDi,EF?
平面AiBiCiDi,则EF丄AAi，所以①正确；当E,F分别是线段AiBi,BiCi的中点时，EF//AiCi，又AC//AiCi,贝SEF//AC，所以③不正确；当E,F分别不是线段AiBi,BiCi的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面AiBiCiDi//平面ABCD,EF?
平面AiBiCiDi,所以EF//平面ABCD,所以④正确.
5c
8［答案］D
［解析］选项A中，a,b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a,b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，aB还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄aa丄伏则a/B或a?
B,贝卩B内存在直线I//a,又b丄B,则b±l，所以a丄b.
9［答案］C
［解析］如图所示：
AB//I//m;AC丄l,m//l?
AC丄m;AB//I?
AB//B
3
10［答案］3命题意图］本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用.
［解析］首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFDi即为
异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到
'5=DF=DiF,DDi=2,结合余弦定理得到结论.
11［答案］C
［解析］取BC中点E,连AE、DE,可证BC丄AE,BC丄DE,「.zAED为二面角A-BC-D的平面角又AE=ED=2,AD=2,「・zAED=90°故选C.
12［答案］B
［解析］将其还原成正方体ABCD-PQRS,显见PB//SC,mCS为正
13［答案］
14［答案］45°
［解析］如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，由于BC丄AB,BG丄AB,贝卩ZC1BC是二面角C1—AB—C的平面角.又△BCC1是等腰直
角三角形，则/CiBC=45°
TallB,「.AC//BD,
ASCS812
则SB=SD，A6=SD，解得SD=9.
16［答案］①②④
［解析］如图所示，①取BD中点，E连接AE,CE,贝yBD丄AE,BD
丄CE,而AEACE=E,「.BD丄平面AEC,AC?
平面AEC,故AC丄
BD，故①正确.
2设正方形的边长为a,则AE=CE=a.
由①知ZAEC=90是直二面角A—BD—C的平面角，且/AEC=90°.••AC=a,
•••/ACD是等边三角形，故②正确.
3由题意及①知，AE丄平面BCD，故/ABE是AB与平面BCD所成的角，而ZABE=45°所以③不正确.
4分别取BC,AC的中点为M,N,
连接ME,NE,MN.
11
贝卩MN//AB,且MN=2AB=qa,
11
ME//CD，且ME=2CD=2a,
•••zEMN是异面直线AB,CD所成的角.
亠亠x/2
在RtAAEC中，AE=CE=-^a,AC=a,
「•NE=2AC=2a.•△MEN是正三角形，「./EMN=60°故④正确.
17［证明］
（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
TF、F1分别是AC、A1C1的中点，
•••B1F1//BF,AF1//C1F.
又TB1F1QAF1=F1,C〔FnBF=F,
•平面AB1F1//平面GBF.
（2）在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1丄平面A1B1C1,「.B1F1丄AA1.又B1F1丄A1C1,A1C1nAA1=A1,
「•B1F1丄平面ACC1A1，而B1F1?
平面AB1F1,
•平面AB1F1丄平面ACC1A1.
18［解析］
（1）如图所示，连接AC,由AB=4,BC=3,/ABC=90°得AC=5.
又AD=5,E是CD的中点，所以CD丄AE.
••PA丄平面ABCD,CD?
平面ABCD，所以PA丄CD.
而FA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD丄平面PAE.
⑵过点B作BG//CD，分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由
（1）CD丄平面PAE知，BG丄平面PAE.于是ZBPF为直线PB与平面
PAE所成的角，且BG丄AE.
由PA丄平面ABCD知，/PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
AB=4,AG=2,BG丄AF,由题意，知/PBA=ZBPF,
所以PA=BF.
因为sinZPBA=PB,sin/BPF=|B,
由ZDAB=ZABC=90知，AD//BC,又BG//CD，所以四边形BCDG
是平行四边形，故GD=BC=3.于是AG=2.
在Rt^BAG中，AB=4,AG=2,BG丄AF，所以
BG=pB2+AG2=2质,BF=AB|=務=皆.于是PA=BF=皆.
1
又梯形ABCD的面积为S=十（5+3）X4=16,所以四棱锥P-ABCD
的体积为
1ci1_85128‘5
V=^xSxPA=tX16X=.
33515
19［解析］
（1）证明：
如图所示，取CD的中点E,连接PE,EM,EA,
•••△CD为正三角形，
「PE丄CD,PE=PDsinZPDE=2sin60=°3.
••平面PCD丄平面ABCD,
「PE丄平面ABCD,而AM?
平面ABCD,「・PE丄AM.
•四边形ABCD是矩形，
「•/ADE,△ECM,AABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM
=.''3，AM=：
6,AE=3,
•••EM2+AM2=AE2「AM丄EM.
又PEAEM=E,「AM丄平面PEM,「・AM丄PM.
（2）解：
由
（1）可知EM丄AM,PM丄AM,
「•zPME是二面角P-AM—D的平面角.
「•二面角P—AM—D的大小为45:
20［解析］
（1）因为侧面BCCiBi是菱形，所以BiC丄BCi,又已知BiC丄AiB,且AiBABCi=B,
所以BiC丄平面AiBCi，又BiC?
平面ABiC所以平面ABiC丄平面AiBCi.
（2）设BCi交BiC于点E,连接DE，则DE是平面AiBCi与平面BiCD的交线.
因为AiB//平面BiCD,AiB?
平面AiBCi,平面AiBCiA平面BiCD=DE，所以AiB//DE.
又E是BCi的中点，所以D为AiCi的中点.
即AiDDCi=i.
2i［解］（i）证明：
连接AE,如下图所示.
VADEB为正方形，
•••AEABD=F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
•••GF//AC,又AC?
平面ABC,GF?
平面ABC,
•••GF//平面ABC.
（2）证明：
VADEB为正方形，•EB丄AB,
又V平面ABED丄平面ABC，平面ABEDA平面ABC=AB,EB?
平面ABED,
•BE丄平面ABC,「.BE丄AC.
又*/AC=BC="^AB,
•••CA2+CB2=AB2,
•••AC丄BC.
又vBCABE=B,「.AC丄平面BCE.
J2x［2
⑶取AB的中点H，连GH,VBC=AC=pAB=p,
1
•CH丄AB,且CH=㊁，又平面ABED丄平面ABC
111
•GH丄平面ABCD，:
S1X£=.
326
22［解析］
（1）证明：
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面三边长AC
=3,BC=4,AB=5,「・AC丄BC.
又TGC丄AC.「AC丄平面BCC1B1.
••BG?
平面BCGB,「.AC丄BG.
⑵证明：
设CB1与GB的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1为正方形.
VD是AB的中点，E是BC1的中点，二DE//AG.
VDE?
平面CDB1,AG?
平面CDB1,
•••AC//平面CDB1.
（3）解：
TDE//AG,
•zCED为AC1与B1C所成的角.
在△CED中，ED=推1=2，
151厂
CD=2AB=2，CE=2CB1=22,
二异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为牛2
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