飞行管理问题lp.docx

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飞行管理问题lp

飞行管理问题

在约1万米高空的某边长为160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。

当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞,如果会碰撞,则应计算如何调整每架（包括新进入的）飞机飞行的方向角,以避免碰撞。

现假定条件如下:

（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;

（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;

（3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里;

（4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内

飞机的距离应在60公里以上;

（5）最多需考虑6架飞机;

（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

并对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）.

1.问题分析

目的：

不碰撞。

手段：

调整飞行方向角。

要求：

调整的幅度尽量小。

求解思路：

（1）找出不碰撞的条件。

（2）求调整幅度的极小值。

建立优化模型。

题目的条件

（1）飞机在正方形区域内水平飞行。

（2）飞机不碰撞的标准为二者距离大于8公里。

根据

（1）可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）。

根据

（2）可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4公里为半径的圆状物体。

每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定。

这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题。

两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可。

2.模型假设

（1）飞机进入区域边缘时,立即作出计算,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变;

（2）每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;

（3）忽略飞机转向的影响（转弯半径和转弯时间的影响）;

（4）新飞机进入空域时,已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适,不会碰撞;

（5）对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的。

3.模型的建立

（1）圆状模型

由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究。

两圆不相交,则表明不会发生碰撞事故;若两圆相交,则表明会发生碰撞事故。

为了研究两飞机相撞问题,采用相对速度作为研究对象,因为飞机是否相撞的关键是相对速度。

下图给出任意两架飞机间的关系。

图中符号含义如下:

 i,j—第i、第j架飞机的圆心;

aij—第i架飞机与第j架飞机的碰撞角,是两圆的切线交角中指向圆的那个角的一半.;

vij—第i架飞机相对于第j架飞机的相对飞行速度;

lij—第i架飞机与第j架飞机的圆心距;

ij—第i架飞机对于第j架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角。

规定以第i架飞机为原点,i→j连线从i指向j为正方向,逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角;

AB、CD为两圆的公切线,mi//AB,nj//CD

另外再引入记号:

i—第i架飞机的飞行方向与直角坐标xoy中x轴正向的夹角（转角）;

xi—第i架飞机在坐标xoy中的位置矢量;

vi—第i架飞机的飞行速度矢量。

由图得到两飞机不相撞（两圆不相交）的充要条件是|ij|>aij.当|ij|≤aij时,则通过调整两飞机的方向角i与i,使飞机不相撞。

（2）决策目标

题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小,这个尽量小是针对每架飞机而言,同时也要求整体满意程度（即对管理层而言,应使每架飞机的调整都尽量的小）.

构造目标函数时,可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言,其调整量可满意,则由假设（5）对其余飞机调整量均可满意。

即要求每架飞机的调整量都小于某个数故可取目标函数为,求其最小值min

（3）由圆状模型导出的方程

飞行方向角改变量Δi、Δj

相对飞行速度方向角ij的改变量Δij

讨论Δij与Δi、Δj的关系。

对飞行速度矢量vi，由题目条件有，

|vi｜=|vi｜=800=A（km）

飞行方向角为i

用复数表示vi得。

记第i,j两架飞机飞行方向改变前的速度、两架飞机的相对速度分别为：

飞行方向改变后的速度、相对速度分别为：

则相对飞行速度方向角的改变量Δij由

得出。

故

定理对第i,j架飞机,其相对速度方向的改变量Δij等于两飞机飞行方向角改变量的平均值。

则调整方向后两飞机不相撞的充要条件是：

|ij+Δij|>aij.

总结以上结果得如下优化模型

minθ

（1）

s.t.|ij+Δij|>aij.,Δij=（Δi+Δj）

（2）

|Δi|≤θ,i=1…6,（3）

|Δi|≤30°,i=1…6,（4）

0°≤i≤30°（5）

（4）线性规划模型。

将上述优化模型进行化简,可转化为线性规划模型。

|ij+Δij|>aij可化为：

ij+Δij>aij当ij>0

ij+Δij<-aij当ij<0

自变量Δi可正可负，引入新的变量

Δi10,Δi20，使ΔI=Δi1-Δi2

则|Δi|≤θ,|Δi|≤30°可化为：

Δi1-Δi2≤θ

Δi1-Δi2-θ

Δi1-Δi2≤30°

Δi1-Δi2-30°

这样,优化模型

（1）～（5）就转化为如下线性规划模型

minθ（6）

s.t.

Δi1-Δi2+Δj1-Δj2>2aij-2ij当ij>0（7）

Δi1-Δi2+Δj1-Δj2<2ij-2aij当ij<0（8）

Δi1-Δi2≤θi=1…6,（9）

Δi1-Δi2-θi=1…6,（10）

Δi1-Δi2≤30°i=1…6,（11）

Δi1-Δi2-30°i=1…6,（12）

θ30°（13）

Δi10°,Δi20°,θ0°i=1…6,（14）

其中,可由题中已知的参数计算得到

4.模型求解

（1）记录各飞机状态（位置矢量、速度矢量）;

（2）计算任两架飞机间的参数,;

（3）利用计算线性规划的软件求解（6）～（14）。

如Mathematica、Matlab、LINDO

5结果检验

对题目所给实例进行计算得如下调整方案

Δ1=0，Δ2=0，Δ3=1.814732

Δ4=-743155Δ5=0,Δ6=1.814732

各飞行方向角按此方案调整后,系统各架飞机均满足|ij|>aij（即不会相撞）。

其中有些飞机对有|ij|-aij<0.01,（0.01是计算精度）。

如果希望|ij|>aij＋0.01,只须将模型中的ai用ai＋0.01°代替即可。

将调整后各量再代入模型进行计算得minθ=0

即此时无需再调整。

经模拟程序运行可观察动态结果是正确的。

6.模型评价与推广

（1）此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的,同时采用相对速度作为判断标准,即体现了碰撞的本质（相对运动）,又简化了模型的计算。

（2）建模中用了适当的简化,将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题。

既求到合理的解,又提高了运算速度。

这对于解决高速运行的飞机碰撞问题是十分重要的。

此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的。

简化模型中忽略了ij=0（即两架飞机迎面飞行）的情况。

ij=0时,可使用约束条件（7）式或（8）式求出最优解。

比较此两组解可得最优解。

（4）模型中的约束条件数为+4n=n（n+7）/2

（n是飞机数）,n增大时,约束条件数是n的二次函数,计算量增加不大。