中考数学证明试题精华 精品.docx

中考数学证明试题精华 精品.docx

《中考数学证明试题精华 精品.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学证明试题精华 精品.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学证明试题精华精品

1、已知：

△ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点．

（1）如图1，当∠ACB=120°时，∠MPN的度数为

（2）如图2，当∠ACB=α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？

给出你的证明．

2、已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=12S△ABC；

（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

3、已知：

在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；

（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明；

（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．

图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；

图2中∠BCD不存在，有BM=DM；

图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．

解法同

（2）．

4、如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围城，篱笆总长33米，求：

鸡场的长和宽各为多少米？

5、如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．

（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；

（2）已知：

MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求

（1）中的点C到胜利街口的距离CM．

6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连接EF．

（1）指出图中所有与△BEM相似的三角形，并加以证明；

（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长．

（1）由已知∠EMF=∠B，利用外角的性质证明∠CMF=∠BEM，由等腰三角形的性质，得∠B=∠C，证明△BME∽△CFM；再利用相似比及∠EMF=∠B，证明△BME∽△MEF；

（2）根据△CMF∽△BEM得BEBM=CMCF，然后代入关于x和y的关系式求出可．

（3）当△BME是以BM为腰的等腰三角形时，①若BE=BM=2，同理CM=CF=2，可知E、F分别是AB、DC的中点，由梯形中位线定理求解，②若BM=ME=2，过M作MH⊥BE于H，过A作AG⊥BC于G，利用相似比求解．

7、如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；

（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？

（1）根据折叠的性质可知：

AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．

在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标．

（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值．

（3）本题要分两种情况进行讨论：

①ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=AE2，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．

②当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标．

8、已知：

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

（1）求证：

BF=AC；

（2）求证：

CE=12BF；

（3）CE与BG的大小关系如何？

试证明你的结论．

9、某单位于“三•八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是邻队与旅行社导游收费标准的一段对话：

邻队：

组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？

导游：

如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．

邻队：

超过25人怎样优惠呢？

导游：

如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．

该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元．

请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？

10、如图，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：

∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：

EF∥DG，∠DGF=90°，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60度．解答下列问题：

（1）旋转：

将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，请你在图中作出旋转后的对应图形△A1B1C，并求出AB1的长度；

（2）翻折：

将△A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状并说明理由；

（3）平移：

将△A2B1C1沿直线l向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为x，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少．

（1）根据旋转的定义得到CB′=CB，在直角三角形ABC中，根据三角函数就可以求出BC的长，即CB′的长，就可以求出AB1的长度；

（2）四边形A2B1DE是平形四边形，可以证明A2B与DE平行且相等．

（3）y等于△ABC面积的一半时有两种情况，一种是当A3B2与DE相交时，即当2≤x＜4时：

根据A3B2∥DE，得到则重合部分的三角形与△A3B2C2相似，且面积的比等于相似比，就可以求出在直线L上重合部分的长度，得到C1C2的长度．从而求出x的值．

另外一种情况是当A3B2与FG相交时，同样，根据三角形相似就可以求出C1C2的长度．从而求出x的值．

解：

（1）在△ABC中由已知得：

BC=2，AC=AB×cos30°=23，

∴AB1=AC+CB1=AC+CB=2+23．

（2）四边形A2B1DE为平行四边形．理由如下：

∵∠EDG=60°，∠A2B1C1=∠A1B1C=∠ABC=60°，

∴A2B1∥DE，

又∵A2B1=A1B1=AB=4，DE=4，

∴A2B1=DE，故结论成立．

（3）由题意可知：

S△ABC=12×2×23=23，①当0≤x＜22或x≥103时，y=0，

此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半．

②当2≤x＜4时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（x-2）cm，

则y=12（x-2）3（x-2）=32（x-2）2，当y=12S△ABC=3时，即32（x-2）2=3

解得x=2-2（舍）或x=2+2．∴当x=2+2时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．

③当4≤x＜8时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即y=23．

④当8≤x＜10时，B2G=B2C2-GC2=2-（x-8）=10-x

则y=12（10-x）•3（10-x）=32（10-x）2，

当y=12S△ABC=3时，即32（10-x）2=3，

解得x=10-2，或x=10+2（舍去）．

∴当x=10+2时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．

由以上讨论知，当x=2+2或x=10+2时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．

11、如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁片备用，当要求截取的矩形两边长的比x：

y=4：

5时，矩形的面积是多少？

12、如下图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；

（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

13、已知：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．

（1）若∠MFC=120°，求证：

AM=2MB；

（2）求证：

∠MPB=90°-12∠FCM．

14、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．

（1）求证：

BE=BF；

（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．

15、已知：

P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．

求证：

AP=EF．

1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：

①AB=CM；②AE⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有

2、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：

①AC=BD，②EF∥BD，③S四边形AECF=AC•EF，④EF=2527，⑤连接F0；则F0∥AB．正确的序号是

3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=6，将腰CD以D为中心顺时针旋转90°至ED，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥AD延长线于N，连接AE、CE，则△AED的面积为

4、如图，正方