1989年数二真题及详解.docx
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1989年数二真题及详解
1989年理工数学二试题
一、填空J1（毎小J13分■■分21分）
（1）limxcot2x=
（3）曲线夕=J；
⑵J:
sinrdf*.
（e-l）（t-2）dt在点（0,0）处的切线方程是
（4）lft/（x）=x（x41）（戈*2）…（工+«）»JMX（0）=
（7）设tany=工+，，那么dy=
⑸设/U）是连续函数，且/U）=x+2£y（r）dt,Jffl/（x）=了*°在鼻=0处连续•那么常数a与6应滴足的关系是
z>0
二、卄1«（毎小■4分分20分）
（1）巴知y=aicsine-'^,求y.
⑵求岛
X・
（3）求lim（2gin"+8»乂）：
・
±-*o
\x二ln（l+r2）
（4）;
-arctan；
（5）f
（2）=寺/⑵=0及］^f（x）dx=1,求J：
/f（2工血.
三■选择0（每题3分•満分18分）
（t）当工>0y=xsin+
（A）有且仅有水平渐近线
（B）有且仅有铅直渐近线
...•.、
••••
（C）既有水平渐近线，也有铅宜渐近线
（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近钱
【〕
（2）假设3疋一5bV0侧方程』+2axy+3&z+4c=0
（A）无实根（B）有唯一实很
（C）有三个不同实很（D）有五个不同实根'
I]
⑶曲线丁二CO8X（-f）与工轴所围成的图形，绕X轴炭转一周所成的
旋转体的体积为
（A）f（B）ft（C〉弓（D）F
•.J【】
（4）设两函数/U〉及g（x）e在工=a处取得极大值，那么函数FQ〉=/（x）g（x）
在x=a处-r
（A）必取极大值（B）必取极小值
（C）不可能取极值（D）是否取极值不能确定
-[J
（5）微分方程/->=^+1的一个特解应具有形式（式中a、b为常数〉
（A）/+b（Byax^+b
（C）+bx（D）a^+bx:
[]
（6）设Az）在工=q的菓个邻域内有定义，那么f&）在z=a处可导的一个充分条
件是
（A）limh[f（a+；）-/（a）]存在
（B）lim存在，''
w,h
（C）lim迤也护2_"存在
kjLh
Ia•••.
（D）lim存农•^
**Qn.;
[]
四、（本題膺分6分）
求微分方程xy+（1x）y=elx（0»
（1）=0的解.
五、（此题満分7分）
ttZ（x）=siriH-「Q-其中f为连续亟数，用欠工）.
Jo
六、（此题満分7分）
证明方程Ini:
=--「71-cos2xcLr在区何（0,+«>）内有且仅有两个不同实根.eJo
七■（本分11分）对函数y二V填写下表.
x
单调被少区间
单诃增加区间
极值点
极值
凹（U）区间
凸（门）区间
拐点
渐近銭
〔1〕应填4
解由于
答案解析
limzcot2xlimcos2x
x-*G
工1
sin2x_2
注释此题主要考左根本极FRlim—=1.
jr-*CJC
⑵应填孟
注释此题主奂考去分部积分法.
（31应填y=2x.
解y——1〕〔jt—2〕*?
'〔0〕=2
那么所求切线方程为，一0=NGr—0〉，即，=2工
注释此题主要考査变上恨积分求导和曲线的切线.
2〕应填小
解17#〔工〕=〔工+1〕〔工+2〕“・〔工+甘}+工〔工+2〕〔工+3卜“〔工+巧
+*"+尤&+1〕〔左+2〕〞・@+耳一1}
:
./〔0〕=/i|
A解2由干f〔r〕是多项式函数，那么f〔0〕应等于其一次项系数，那么/〔0〕-n!
A解3由导数定义f〔Q〕"n/⑴-蚀=lim加+】〕〔计加心+赴〕胡
THEX
注释本MiMi求导的如本运駐解2是求多项式函救导敦时一种常周的方法.
〔5〕应填x
解1令J。
/"〉出=那么=z+2°.将/（x）=x-\-2a代入[/（%=s得
Jo（£+2a）（k=a,即-y+2a=a由此可得
那么
1
a=一迈
/（X）=x—1
解2等式/*&）=x+2^f（t）dt两端从0到1对工积分得f/（x）dr=xdx+2[/*（£）&=£+
由此可得
°/（x）dr=
从而可知
/（X）=x—1
注常柵级#找鵜旳瞬本酗关跟彩廿山〕飒样船只戟蚁⑺
J0
〔6〕应填a=b・
SAf/（0+0）=lim—=i»/（0-0）=lim（a+M）=aJ（0）=仏融/（j）ti=0畝贩"1m
和（0+0）可（OT）吋（0）川灿
〔7〕应填
]
sec2y—1
djr.
解等式两边求微分得sec2ydy~
那么dy=2"7dx
sec^>—1注释此题主昊考查隐函數求导法.
注释此题主要考畫复舍函敦卓导法*
⑵解J^=丿侥出2—在+C
注释此题主要考查凑磁分法.
解2
那么原式=上
（2sinr+cosx）7=[l+（2siru:
+g&z~l?
]：
lim（2sinrd-cosx—1）*丄=2ix
iifi下鬲珂運砒匸F云恥丽莎丽莎而丽菇丽W
可转必咙iH怵）厂枝紐下解2较为才fit濡？
"1/8T也下倩计越lima（x）=QjunS（i）=wrA
linw（工〉•/3（x）=A,JNlimd+aQ）〉"=』〞・此结论在求.I1"型极限时可直接用.
1
d_y$1+产1y1
dr±Zt2t*dz*2t
TT?
注释此题主委考查参數方程求导法*
〔5〕分析械积函数申出现/〔j〕的导数的积分，一般都要用分部积分法.解［云/\2工〕〔1工"工Ifftt〕At
=⑺=g"#⑺©屮〔"dt
—寺「砒G〉一打3卡丰「他治
4Jo44Jo
=—+4-=0
44
注释此题主要考查定积分的变爱代换和分部积分；fe.
又limxsin丄=0那么原曲线有且仅有水平渐近线y=\
i-»oX
注释此题主要考查渐近线的求法.
打应选〔B〕.
«由于#+20+3虹+4E为5抚方粘喊方程至少有-个燃〔奇次方程至少有-咚勳
令他）+2qF+3fcr+4c,f（x）=5?
+6a（+3b
而2（6川-60匸12（3d—5b）C0』Jf（z）^0因此頂方關多-个实札故肋程有唯-魏.
揀柿U姑土禅松朋題点里删斛縊知圳以结海
1）寺灯I舫段分+如严+〞・+3z+a产0（“为林）至少肓-水戻柏
2）黠（讪）內广）⑴刮川方翟他）=0龙（M）样多n俾札
⑶应选（C）.
注释本題主要考查旋转体的体积.
（4）应选（D）.
■
•—b••・
R本酗关键在于由駁可知在尸询某畅内有/（谚仙,g（谚g@）,由雌否得到g（d）・他）勿⑴他）或⑷）他）«刃他），这在-般狀下翳不到此结辎.
假设取/（i）=-（j-a）2,g（x）=-（j-a）!
ifi^fC）和g（x）ix~a0個f（x）g（j）=（i
F缸％址取删值肌A）（C）赫正确諾取他）=l-（j-d,g⑺=1-{lq）强他）和g（加耕娥1,帀他）g（沪［17TT在尸砌敲大祖鳳B）也不琳，从帀只有（D）总
⑸应选⑻.
解『一）=e*+l的待解应为方程y-y=F和『一‘=1的特解之和,而特征方程为
一1=0,解得？
•〒土1因此y-y=^的样解应为y：
=areS
y-y-1的符解应为yl=b
那么原方程持解应具有形式
y=ajreT+Z?
注释此题主要考查线性常系報技齐次抵分方程的待定特解形式.
（6）应选（D）.
«由升卄卿卜（Mlim『计?
-他解購魁他）缸朋右赖鼬磁nt+ft
齟Q嗣輔右30整稠胡为他机獻輙歛』B）（C冲的齢鮎棚辭在個甬
X]im怦边=隔血学Lf⑷
阿n你_h
幟（D）,
杆他hHUtM机D）申竹即样才紳吋（诵札
四、
分析本題所给方程是一个一阶麵柱微分方程.
解原方程改写为标准形式
y+y=丄占*（0xJC
由一阶线性微分方程通解公式得
y=討寸"JC1]=丄[CF+eJfJ
代人初始条件y（l）=0t得c——e
故所求解为士二^
文
注釋此题主要考查一阶如性徹分方程的求解方法*
五、
分析这是一个带变上限积分的积分方程，一般采用原方程两边求导数化为微分方程求解.
解原方程可改写为
/（z）-sinx-x/（r）d/+itf（tr）dt
■j0ua
上式两端对量求导得
/（t）=cost-[f（t）dt—xf（j）+x（/）jc=cosx-f（t）dl（*）
JO
两端再对工求导得/（x）=一Sinx一/（Z）
即f（j:
>+/（jt）=—sinx
这是一个二阶线性非齐次方程■由原方程知/<0）=0,由（鬢）式知f（0）=1.
特征方程为*+l=0,r=±i
齐次通解为y=C]sinj：
+Gcom
设非齐次方程特解为y*=工（处ior+bcgz）,代入
a=0t6=y
fQ）十/（x）=■—sinr得
那么非齐次方程的通解为
y=Cisiaz+C2cosjt+专cosh
由初始条件y（0）=0和（0）=1可知
G=£、G=0
分析朝-个方程甜胰减囱存在性可由连腕撤M定理刊■有且仅有两水不同
实根可由单调性来确定.
程llLT=L-—
eJ0
原方程转化为
令F（x）=—-2V2-Inx
e
那么F（x），令F\x）=0得x—e
ex
当0<工<。
时F（工）<0,F（x）严格单调减少,
孰GC+训F3>£F（QF制綁810此凤）左加（轴沖馆+呵鴨恋纯-
个疏
XF（e）=-272<0*只『）=4一2历+4>。
e■
F（£—农-4<0
由闭瓯上刪赭般点定理可鵜F（】）在（汽e）眦,占内分别至少有-个零点煤上所论方
7T^cos2xdx在（山+oo）内有且仅有两个不同的实根.
注释此题主矣考叠寺程报的问题
七、
令$=0綢i--l\令/=0制I-7
赠函竝（T0）上单眺枫-卩〜和①+呦上单脳准尸7戕小｛I*康冊在
“一t2
（—3,0）和（0,+8〉上是凹的f在（―™t—3）上是凸的，拐点为（一3*—人
又=lim^^=0Jim/XQ=lim^^=8
鼻.8工'上一iX丄亠打J-*®«X
那么该曲线有水平渐近线y=0和垂宜渐近线疋=6
注释此题主*<*导数应用・
八、
解由抛物线y=+氐+芒过原点可知，
由呂=〔心"+屁?
血=号+#=£■得b=—
化二寸:
击+屁〕任=祝〔+〃+乡+討〕
■十却“一说卡叙1一*卜?
!
詳一存+壽
令化5〕=0得心一寻“口寻
所以，当d=-£b=斗d时*体积M最小"
注釋此题是一還煤舍题*主娶考变平面域灼面积'谴转体体积及園数的概值.
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