1989年数二真题及详解.docx

1、1989年数二真题及详解1989年理工数学二试题一、填空J1 (毎小J13分分21分)(1) limxcot2x = (3)曲线夕=J；J :sinrdf * .(e - l)(t - 2)dt在点(0,0)处的切线方程是(4)lft /(x) = x(x 4 1)(戈 * 2)(工 + )JM X(0)=(7)设 tany =工 +，那么 dy = 设/U)是连续函数，且/U) = x + 2y(r)dt,Jffl/(x) = 了*在鼻=0处连续那么常数a与6应滴足的关系是z 0二、卄1(毎小 4分分20分)(1)巴知 y = aicsine-,求 y .求岛X (3)求lim(2gin +

2、 8乂)：-*ox 二 ln(l + r2)(4);- arctan；(5) f(2)=寺/=0及f(x)dx = 1,求J：/f(2工血.三选择0(每题3分満分18分)(t)当工0y = xsin +(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线. .、 (C)既有水平渐近线，也有铅宜渐近线(D)既无水平渐近线，也无铅直渐近钱【(2)假设 3疋 一 5b V 0侧方程+ 2axy + 3&z +4c =0(A)无实根 (B)有唯一实很(C)有三个不同实很 (D)有五个不同实根 I 曲线丁二CO8X( - f )与工轴所围成的图形，绕X轴炭转一周所成的旋转体的体积为(A) f (B)ft (

3、C弓 (D)F .J 【】(4)设两函数/U及g(x)e在工=a处取得极大值，那么函数FQ= /(x)g(x)在x = a处 -r(A)必取极大值 (B)必取极小值(C)不可能取极值 (D)是否取极值不能确定- J(5)微分方程/ - = + 1的一个特解应具有形式(式中a、b为常数(A)/ + b (Byax + b(C) + bx (D)a + bx :(6)设Az)在工=q的菓个邻域内有定义，那么f&)在z = a处可导的一个充分条件是(A) lim hf(a + ； ) - /(a)存在(B)lim 存在 ， w, h(C)lim迤也护2 _ 存在kj LhI a .(D)lim 存农

4、 * *Q n .;四、 (本題膺分6分)求微分方程 xy + (1 x)y = elx (0 x (1) = 0 的解.五、 (此题満分7分)ttZ(x) = siriH-Q - 其中f为连续亟数，用欠工).Jo六、 (此题満分7分)证明方程Ini: = - -71 -cos2xcLr在区何(0, + )内有且仅有两个不同实根. e Jo七(本分11分) 对函数y二V填写下表.x单调被少区间单诃增加区间极值点极值凹(U)区间凸(门)区间拐点渐近銭1应填4解由于答案解析limzcot2x limcos2xx-*G工 1sin2x_ 2注释此题主要考左根本极FRlim= 1.jr-*C JC应填

5、孟注释 此题主奂考去分部积分法.(31 应填 y = 2x.解 y 1 jt2 *?0 = 2那么所求切线方程为 ，一0 = NGr 0，即，=2工注释 此题主要考査变上恨积分求导和曲线的切线.2应填小解1 7 #工=工+1工+2“工+甘+工工+2工+3卜“工+巧+*+尤&+1左+2+耳一 1:./0=/i|A解2由干fr是多项式函数，那么f0应等于其一次项系数，那么/0-n!A解3由导数定义 fQn/-蚀=lim加+】计加心+赴胡T H E X注释本MiMi求导的如本运駐解2是求多项式函救导敦时一种常周的方法.5应填x解 1 令J。/出=那么= z + 2.将 /(x) = x-2a 代入/

6、(% = s 得Jo( + 2a)(k = a,即-y + 2a = a 由此可得那么1a= 一迈/(X)= x 1解2 等式/*&) =x + 2f(t)dt两端从0到1对工积分得 f /(x)dr = xdx + 2 /*()& = +由此可得 /(x)dr = 从而可知/(X)= x1注常 柵级#找鵜旳瞬本酗关跟彩廿山飒样船只戟蚁J06应填a=bS Af/(0+0)= lim=i/(0-0)= lim (a+M)=aJ(0)=仏融 /(j)t i=0 畝贩 1 m和(0+0)可(OT)吋(0)川灿7应填sec2 y 1djr.解 等式两边求微分得sec2ydy那么 dy= 2 7 dxs

7、ec1 注释 此题主昊考查隐函數求导法.注释此题主要考畫复舍函敦卓导法*解J =丿侥出2在+C注释 此题主要考查凑磁分法.解2那么 原式=上(2sinr+cosx)7 =l + (2siru:+g&zl?： lim(2sinrd-cosx1) * 丄=2 i xiifi下鬲珂運砒匸F云恥丽莎丽莎而丽菇丽 W可转必咙iH怵)厂枝紐下解2较为才fit濡？1/8 T也下倩计越lima(x)=QjunS(i)=wrAlinw(工 /3(x) = A, JN limd+aQ) =此结论在求.I1型极限时可直接用.1d_y $ 1 + 产 1 y 1dr Zt 2t * dz* 2tTT?注释此题主委考查

8、参數方程求导法*5分析 械积函数申出现/j的导数的积分，一般都要用分部积分法. 解 云/2工1工工 I f fttAt=g # 屮dt寺砒G一打3 卡丰他治4 Jo 4 4 Jo=+ 4- = 04 4注释 此题主要考查定积分的变爱代换和分部积分；fe.又limxsin丄=0那么原曲线有且仅有水平渐近线y=i-o X注释 此题主要考查渐近线的求法.,打应选B.由于#+20+3虹+4E为5抚方粘喊方程至少有-个燃奇次方程至少有-咚勳令他)+2qF+3fcr+4c,f (x)=5? +6a( +3b而 2(6川-60匸 12(3d5b)C0Jf(z)0 因此頂方關多-个实札故肋程有唯-魏.揀柿U姑

9、土禅松朋題点里删斛縊知圳以结海1)寺灯I舫段分+如严+3z+a产0(“为林)至少肓-水戻柏2)黠(讪)內广)刮川方翟他)=0龙(M)样多n俾札应选(C).注释 本題主要考查旋转体的体积.(4)应选(D).b R本酗关键在于由駁可知在尸询某畅内有/(谚仙,g(谚g),由雌否得到g(d) 他)勿他)或)他)刃他)，这在-般狀下翳不到此结辎.假设取 /(i)=-(j-a)2,g(x)=-(j-a)!ifi fC)和 g(x)i xa 0 個 f(x)g(j)=(iF缸址取删值肌A)(C)赫正确諾取他)=l-(j-d,g=1-lq)强他)和 g(加耕娥1,帀他)g(沪17TT在尸砌敲大祖鳳B)也不琳，

10、从帀只有(D)总应选.解一)=e* + l的待解应为方程y-y = F和一=1的特解之和,而特征方程为,一1 = 0,解得？土 1 因此y-y = 的样解应为y： =areSy-y- 1的符解应为yl = b那么原方程持解应具有形式y = ajreT + Z?注释 此题主要考查线性常系報技齐次抵分方程的待定特解形式.(6)应选(D).由升卄卿卜(M lim计?-他解購魁他)缸朋右赖鼬磁 n t+ ft齟Q嗣輔右30整稠胡为他机獻輙歛B)(C冲的齢鮎棚辭在個甬X im怦边=隔血学Lf阿 n 你 _h幟(D),杆他hHUtM机D)申竹即样才紳吋(诵札四、分析 本題所给方程是一个一阶麵柱微分方程.解

11、原方程改写为标准形式y + y =丄占* (0 x + /( jt) = sinx这是一个二阶线性非齐次方程由原方程知/0) = 0,由(鬢)式知f (0) = 1.特征方程为 * + l = 0,r=i齐次通解为 y = C sinj： + Gcom设非齐次方程特解为 y* =工(处ior + bcgz),代入a = 0t 6= yf Q)十 /(x) = sinr 得那么非齐次方程的通解为y = Ci siaz + C2 cosjt + 专 cosh由初始条件y(0)= 0和(0) = 1可知G = 、G = 0分析朝-个方程甜胰减囱存在性可由连腕撤M定理刊有且仅有两水不同实根可由单调性来

12、确定.程 llLT = L -e J 0原方程转化为令 F(x) = -2V2-Inxe那么 F (x) ，令 Fx) = 0 得 x ee x当0 工 。时F(工)F(QF制綁810此凤)左加(轴沖馆+呵鴨恋纯-个疏X F(e) =-272。 e F(农-40由闭瓯上刪赭般点定理可鵜F(】)在(汽e)眦,占内分别至少有-个零点煤上所论方7T cos2xdx在(山+oo)内有且仅有两个不同的实根.注释 此题主矣考叠寺程报的问题七、令 $=0 綢 i-l令 /=0 制 I- 7赠函竝(T0)上单眺枫-卩和+呦上单脳准尸7戕小I*康冊在“ 一 t 2(3,0)和(0,+8上是凹的f在( t 3)上是凸的，拐点为(一3* 人又 = lim = 0 Jim/XQ = lim=8鼻.8 工 上一iX 丄亠打 J-* X那么该曲线有水平渐近线y=0和垂宜渐近线疋=6注释 此题主*导数应用八、解 由抛物线y = +氐 +芒过原点可知，由呂=心+屁?血=号+ # = 得 b = 化二寸:击+屁任=祝+ +乡+討十却“一说卡叙1 一*卜?!詳一存+壽令化5=0 得心一寻“口寻所以，当d =- b = 斗 d 时*体积M最小注釋 此题是一還煤舍题*主娶考变平面域灼面积谴转体体积及園数的概值.