全等难题倍长中线法.docx
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全等难题倍长中线法
中考要求
第二讲
全等三角形与
中点问题
板块
考试要求
A级要求
B级要求
C级要求
全等三角形
的性质及判
疋
会识别全等三角形
掌握全等三角形的概念、判定和性质，
会用全等三角形的性质和判定解决简
单问题
会运用全等三角形的性
质和判定解决有关问题
三角形中线的定义：
三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）
三角形中位线定义：
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
中位线判定定理：
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）
见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是
在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.
重、难点
重点：
主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法
版块一倍长中线
【例1】（2002年通化市中考题）在厶ABC中，AB5,AC9，贝UBC边上的中线AD的长的取值范围是什么？
【补充】已知：
ABC中，AM是中线•求证：
AM-（ABAC）.
2
B
MC
【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）已知：
如图，梯形ABCD中，ADIIBC，点E是CD的
中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F.求证：
BCE也FDE.
【例3】（浙江省2008年初中毕业生学业考试（湖州市）数学试卷）如图，在ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的点，CFIIBE.求证：
BDE也CDF.
G
【例4】如图，ABC中，ABvAC,AD是中线.求证：
DAC
【例5】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AFEF,求证：
ACBE.
【例6】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB,ACAC,
C
ADAD，求证ABC也ABC.
E'
【例8】已知AD为ABC的中线，ADB,ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:
BECFEF.
D
【例9】在RtABC中，A90,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？
若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
【例10】（2008年四川省初中数学联赛复赛•初二组）在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边
E
CA、CB上，满足DFE90.若AD3,BE4，则线段DE的长度为.
版块二、中位线的应用
【例12】AD是ABC的中线，
F是AD的中点，BF的延长线交AC于E.求证：
AE-AC.3
AEEB且AEBE.
E
【例16】如图，在五边形ABCDE中，ABCAED90,BACEAD,F为CD的中点.求证：
BFEF•
E
【例17】（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，P是ABC内的一点，
PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL•
【例18】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F,使DEDF.过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、
N.求证：
（1）DEM也FDN;
（2）PAEPBF.
F
AD、EF、BC的延长
【例19】已知，如图四边形ABCD中，AD线分别交于M、N两点.求证：
BC,E、F分别是AB和CD的中点,
AMEBNE.
M
【例20】（2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试）已知：
在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC,连结DC.过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.
图1
B
D
图3
⑴如图1,当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE（不需证明）•
⑵当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？
请分别写出猜想，并任
选一种情况证明.
1
【例21】如图，AE丄AB,BC丄CD，且AE=AB,BC=CD,F为DE的中点，FM丄AC.证明：
FM=—AC
2
【例22】（1991年泉州市初二数学双基赛题）已知：
在厶ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形
ABM，和CAN,P是边BC的中点.求证：
PM=PN
F
F，AF与EF相等吗？
为什么?
【习题3】如右下图，在ABC中，若B2C，ADBC，E为BC边的中点.求证：
AB2DE•
【备选1】如图，已知AB=DC,AD=BC,
求证：
/E=ZF
O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E,F.
【备选2】如图，ABC中，ABAC,BAC90,D是BC中点，EDFD,ED与AB交于E,FD与AC交于F.求证：
BEAF,AECF.
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