第12章全等三角形单元专项练习.docx
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第12章全等三角形单元专项练习
第12章全等三角形
、选择题
1.如图，在△ABC中，/ABC=45,AC=8cmF是高AD和BE的交点，贝UBF的长是（）
A.4cmB.6cmC8cmD.9cm
2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为（1,讥），则点
3.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、GK、Q,下列四幅图中的实线分别表示
B.
4.
A.
如图，坐标平面上，△ABWAdef全等，其中AB、C的对应顶点分别为DE、F,且
AB=BC=5若A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，DE两点在y
5.平面上有△ACD与△BCE其中ad与BE相交于P点，如图.若AC=BCAD=BECD=CE
/ACE=55,/BCD=155，则/BPD的度数为（
6.如图,
在^ABC^n^BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BDAB=ED
BC=BE则/ACB等于（
7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=^
DB作EF丄DE并截取EF=DE连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x
AD边上，若AMMB=ANND=12，贝Utan/MCN=（）
10.如图，已知
AB//DEAB=DEAF=CD/CEF=90.
（1）若/ECF=30,CF=8,求CE的长;
（2）求证：
△ABF^ADEC
（3）求证：
四边形BCEF是矩形.
两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接
AEBF
（1）如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数
量关系？
并证明你的结论;
（2）如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关
系？
请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE
（1）求证：
△ABE^DCE
（2）当/AEB=50，求/EBC的度数?
13.如图，在△ABC中，/C=90,AD平分/CAB交CB于点D,过点D作DELAB于点E.
（1）求证：
△ACD^AAED
（2）若/B=30,CD=1求BD的长.
14.如图，点D,E在^ABC的边BC上,AB=ACBD=CE求证：
AD=AE
15.已知：
如图，ADBC相交于点O,OA=ODAB//CD
旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG延
长CF与DG交于点H
17.如图，点B、
F、CE在一条直线上，FB=CEAB//EDAC//FD,求证：
AC=DF
条直线上.求证：
BD=CE
19.如图,
已知点BE、C、F在同一条直线上，BE=CFAB//DE/A=/D.求证：
AB=DE
C重合）或点
将BP绕点B
20.已知△ABC为等腰直角三角形，/ACB=90，点P在BC边上（P不与B、
P在^ABC内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE
顺时针旋转90°，得到线段BD,连接ED交AB于点O.
（1）如图a,当点P在BC边上时，求证：
OA=OB
（2）如图b当点卩在^ABC内部时,
（3）
①OA=OB是否成立？
请说明理由;
22.
（1）如图，AB平分/CADAC=AD求证：
BC=BD
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺
25本，这个班有多少学生?
23.已知：
如图，D是AC上一点，AB=DADE//AB,/B=/DAE求证：
BC=AE
24.【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS、“ASA、“AAS、“SSS）和直角三角形全等的判定方法（即“HL'）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相
等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：
在△ABC和△DEF中，AC=DFBC=EF/B=/E,然后,
对/B进行分类，可分为“/B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
△AB3Rt△DEF
△ABC^ADEF
（4）在^ABC^n^DEFAC=DFBC=EF/B=/E,且/B、/E都是锐角，请你用尺规在图
③中作出^DEE使^DEF和△ABC不全等•（不写作法，保留作图痕迹）
（4）/B还要满足什么条件，就可以使△AB3ADEF?
请直接写出结论：
在△ABC和△DEF
，则△ABC^ADEF
中，AC=DFBC=EF/B=/E,且/B、/E都是锐角，若
25.问题背景:
如图1在四边形ABCD中，AB=AD/BAD=120,/B=/ADC=90.E,F分别是BC,CD
上的点•且/EAF=60•探究图中线段BEEF，FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是，延长
FD到点G使DG=BE连结AG先证明△ABE^AADG
再证明△AEF^AAGF可得出结论，他的结论应是
/'-D
CR乎C
图1
探索延伸:
如图2,若在四边形
ABCD中,AB=AD/B+/D=180.E,F分别是BCCD上的点，且/EAF土
/BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由;
实际应用:
如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥
中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向
正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度
前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
26.如图，在四边形ABCD中，AB=ADCB=CDAC与BD相交于O点，OC=OA若E是CD上
任意一点，连接BE交AC于点F,连接DF.
若AC=^，BD=2求四边形ABCD的周长;
请你添加一个条件，使得/EFD=/BAD并予以证明.
27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、BDF在同一直线上，且BE=DF求证:
AE=CF
点G使DG=BE连结EF,AG求证：
EF=FG
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，/BAC=90,AB=AC点MN在边BC上,且/MAN=45,
若BM=1CN=3求MN勺长.
证:
（1）
AF=CG
CF=2DE
30.如图，在△ABC^n^ADE中，AB=ACAD=AE/BAC+ZEAD=180,△ABC不动，△ADE
绕点A旋转，连接BECDF为BE的中点，连接AF.
（1）如图①，当/BAE=90时，求证：
CD=2AF
（2）当/BA字90°时，
（1）的结论是否成立？
请结合图②说明理由.
第12章全等三角形
参考答案
一、选择题（共9小题）
1.如图，在△ABC中，/ABC=45,AC=8cmF是高AD和BE的交点，贝UBF的长是（）
A.4cmB.6cmC8cmD.9cm
【解答】解：
•••F是高AD和BE的交点,
•/ADC=/ADB玄AEF=90,
•/CAD+ZAFE=90,/DBF+^BFD=90,
-/AFE=/BFD
./CADZFBD
-/ADB=90,/ABC=45,
•/BAD=45=/ABD
•AD=BD
在^DBF和^DAC中
^Zfbd=Zcad
，DB=AD
ZFDB=ZCDA
•••△DBF^ADAC（ASA,/•BF=AC=8cm
故选C.
2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为（1,ME），则点
C的坐标为（
A.（-1）B.（-1，V^）C•（屁1）D.（-后-1）
【解答】解：
如图，过点A作ADXx轴于D,过点C作CEIx轴于E,
•••四边形OABC是正方形，
•••OA=OC/AOC=90,
•••/COEyAOD=90,
又•••/OAD-yAOD=90,•••/OADyCOE
在^AODmOCE中,^Z0AD=ZC0E
■ZADO=ZOEC=90",OA二OC
•••△AOD^AOCE（AAS,•••OE=AD航，CE=OD=1
•••点C在第二象限,
•••点C的坐标为
Vs,1）•
3.（2014?
湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点DGK、Q下列四幅图中
的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的
行进路线图是（
•//CAB玄EDB=45,
•••AS//ED,贝USC//DE
同理SE//CD
•••四边形SCDE是平行四边形,
•••SE=CDDE=CS
即走的路线长是：
AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS
•••△SAB^AS1AB
--AS=AS,BS=BS,
•••FG//KH•/FK//GH
•••四边形FGHK是平行四边形,
•••AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB•/FSi+SiK>FK,•••AS+BS>AF+FK+KH+HB
即AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB
CD、同理可证得AI+IK+KM+MBCAS+B^VAN+NQ+QP+PB
综上所述，D选项的所走的线路最长.
故选：
D.
4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中AB、C的对应顶点分别为DE、F,且
AB=BC=5若A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，DE两点在y
轴上，则F点到y轴的距离为何？
（
•••/DPF=ZAKC玄CHA=90.
•/AB=BC
在^AKC和△CHA中
^Zakc=Zcha
AC=CA
Zbac=Zbc;a
•••△AKC^ACHA（ASA,•••KC=HA
B、C两点在方程式y=-3的图形上，且A点的坐标为（-3,1）,•••AH=4.
•••KC=4.
•/△ABC^ADEF•••/BAC=/EDEAC=DF
在^AKC和△DPF中,
NaKC二ZDPF■Zbac=Zedk,AC=D?
•••△AKC^ADPF（AAS,•••KC=PF=4
故选：
C.
P
5.平面上有△ACD与△BCE其中ad与BE相交于P点，如图.若AC=BCAD=BECD=CE
/ACE=55,/BCD=155，则/BPD的度数为（
D.155°
AC=BC
CD=CE，
AD二BE
•••△ACD^ABCE（SSS,•••/A=/B,ZBCE2ACD•••/BCA=/ECD
•//ACE=55,/BCD=155,
•••/BCA+ZECD=100,•••/BCA=/ECD=50,
•••/ACD=105
•//BCD=155,
•ZBPD=360-75°-155°=130°,
故选：
C.
6.如图，在△ABC^n^BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BDAB=ED
BC=BE则ZACB等于（
【解答】解：
在△ABC^ADEB中,
AC=BDAB二ED,
BC=BE
•ZACB玄DBE
•••/ACB+ZDBE玄AFB
/ACB丄/AFB,
2
故选：
C.
7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上,BE』
2
DB作EF丄DE并截取EF=DE连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x
c.y=-^pD.y=
I-1X一4
•//DEB+/FEC=90,/DEB+ZBDE=90;
•••/BDEWFEG
在△DBE与△EGF中
'Zb二Nfge
，ZBDE^ZFEG
DE二EF
•••EG=DBFG=BE=x•••EG=DB=2BE=2,--GC=y—3x,•/FG±BC,AB丄BC,•••FG//AB,
CGBC=FGAB,
日nX即匚=,
4y
12k
•-y=.
X-4
故选：
A.
&如图,
在四边形ABCD中，AB=AD=6AB丄BC,AD丄CD,/BAD=60，点MN分别在AB
若amMB=ANND=12，则tan/MCN=（）
AD边上,
A普B.
【解答】解:
连接MN连接AC,
•••AB=AD=6amMB=ANND=1:
2,
•/AB丄BC,AD丄CD/BAD=60
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
AB=AD
AC^AC'
•••Rt△ABC^Rt△ADC（HL）
•••/BACKDAC专/BAD=30,MC=NC
•BCpAC
•••AC^bC+A攻，即（2BC）2=B（C+A^,3bC=aB\
•••BC=^,
在Rt△BMC中,CM讥於+BC珂护.
•/AN=AM/MAN=60,•••△man是等边三角形,
•••MN=AM=AN=2
过M点作MELCN于E,设NE=x贝UCE=^-x,
•••mN-nW=mC—EC,g卩4-x2=（2齿）2-（2齿-x）2,解得：
X巫,
7
•••EC=V7-—=\^,
77
9.如图，点E在正方形ABCD勺对角线AC上，且EC=2AE直角三角形FEG的两直角边EF、
EG分别交BCDC于点M
N.若正方形ABCD勺边长为a，则重叠部分四边形EMCN勺面积为
2_42D.-a
【解答】解:
过E作EPXBC于点P,EQLCD于点Q,
•••/BCD=90,
又•••/EPMMEQN=90,
•••/PEQ=90,
•••/PEM+.MEQ=9°0,
•••三角形FEG是直角三角形,
•••/NEF=/NEQyMEQ=90,
•••/PEM/NEQ
•/AC是/BCD的角平分线，/EPC玄EQC=90,
•EP=EQ四边形PCQE是正方形,
在△£卩^和^EQN中,'ZP伽二ZHEQ
*EP=EQ,
Zepm=Zeqw
•••△EPM^AEQN（ASA
••-$△EQf=S^EPM
•••四边形EMCN勺面积等于正方形PCQE的面积,
•••正方形ABCD勺边长为a,
•-ACR^a,
•/EC=2AE
•••EC^^a,
3
•••EP=PC舟a.
2242
•••正方形PCQE的面积=^ax石a花a,
OL?
y
4?
•••四边形EMCIN勺面积=^a,
3
故选：
D.
二、解答题（共21小题）
10.如图，已知AB//DEAB=DEAF=CD/CEF=90.
（1）若/ECF=30,CF=8,求CE的长;
（2）求证：
△ABF^ADEC
（3）求证：
四边形BCEF是矩形.
【解答】
（1）解：
•••/CEF=90.
•••cos/
•//ECF=30,CF=8.
•••CF=CF?
cos30°=8X逅=^;
（2）证明：
•••AB//DE
•••/A=/D,
•••在△ABF和^DEC中
AB二DE
■Za=Zd
AF=DC
•••△ABF^ADEC（SAS;
（3）证明：
由
（2）可知：
△ABF^ADEC
•••BF=CE/AFB=/DCE
•//AFB+ZBFC=180,/DCE+^ECF=180,
•••/BFC=/ECE
•••BF//EC,
•••四边形BCEF是平行四边形,
•••/CEF=90,•••四边形BCEF是矩形.
11•已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC以DC为边在DC
两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接
AEBF
（1）如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数
量关系？
并证明你的结论;
（2）如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关
系？
请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE
•/△ABC和△DCF是等边三角形,•••CA=CBCD=CF/ACB玄DCF=60.
•••/ACD=/BCE
在^ACD^n^BCF中
CA=CB
ZACD二ZBCF
CD二CF
•••△ACD^ABCF（SAS•••AD=BF
同理：
△CBD^ACAE（SAS•••BD=AE•••AE+BF=BD+AD=AB
（2）BF—AE=AB
如图2,易证△CBF^ACAD^n^CBD^ACAE•••AD=BFBD=AE•••BF—AE=AD-BD=AB
（3）AE-BF=AB
如图3,易证△CBF^ACAD^n^CBD^ACAE
•••AD=BFBD=AE
12.
（2013?
舟山）如图，△ABCM^DCB中,AC与BD交于点E,且/A=/D,AB=DC
当/AEB=50，求/EBC的度数?
【解答】
（1）证明：
•••在△ABE和^DCE中"/D
ZAEB^ZDEC
AB二DC
•••△ABE^ADCE（AAS；
（2）解：
•••△ABE^ADCE•••BE=EC
•//EBC+ZECB玄AEB=50,
13.如图，在△ABC中,/C=90,AD平分/CAB交CB于点D,过点D作DEIAB于点E.
（1）求证：
△ACD^AAED
（2）若/B=30,CD=1求BD的长.
【解答】
（1）证明：
•••AD平分/CABDEIAB,/C=90°,
•••CD=ED/DEA玄C=90,•••在Rt△ACD和Rt△AED中
AD=ADCD二DE
•••Rt△ACdRt△AED（HL）;
（2）解：
•••DC=DE=1DEIAB,
•••/DEB=90,
•••/B=30,•••BD=2DE=2
14.如图，点D,E在^ABC的边BC上，AB=ACBD=CE求证：
AD=AE
【解答】证明：
•••AB=AC
•••/B=/C,
在^ABD与△ACE中,
^AB=AC
「ZB二ZG
BD=EC
•••△ABD^AACE（SAS,•••AD=AE
15.已知：
如图，ADBC相交于点O,OA=ODAB//CD
【解答】证明：
•••AB//CD
•••/B=/C,/A=/D,
•••在△AOBmDOC中,
^ZB=ZC
■Za=Zd,
OA=OD
•••△AOB^ADOC（AAS,•••AB=CD
旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG延
长CF与DG交于点H
求出/FHG的度数.
【解答】
（1）证明：
•••在△CBF和^DBG中,
BC=BD
ZCBF^ZDBG,
BF=BG
•••△CBF^ADBG（SAS,•••CF=DG
（2）解：
•••△CBF^ADBG•••/BCF=/BDG
又•••/CFB=/DFH
又•••△BCF中，/CBF=180-/BCF-/CFB
△DHF中，/DHF=180-/BDG-/DFH
•••/FHG=180-/DHF=180-60°=120°.
17.如图，点B、F、CE在一条直线上，FB=CEAB//ED,AC//FD,求证：
AC=DF
:
.FB+FC=CE+FC
•••BC=EF•/AB//ED,AC//FD,•••/B=/E,/ACB=/DFE
•••在△ABC^n^DEF中,Nb二Ze
BC=E?
ZACB=ZDFE
•••△ABC^ADEF（ASA,•••AC=DF
△ABC和△ADE都是等腰三角形，且/BAC=90,/DAE=90,B,C,D在同一
【解答】证明:
:
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形•••AD=AEAB=AC
又•••/EAC=90+/CAD/DAB=90+/CAD
•••在△ADB^n^AEC中
AB二AC
■Zbad=Zcae
AD=AE
•••△ADB^AAEC（SAS,
•••BD=CE
求证：
AB=DE
19.如图，已知点BE、C、F在同一条直线上，BE=CFAB//DE,/A=/D.
【解答】证明：
•••BE=CF•-BC=EF
•/AB//DE•/B=/DEF
在^ABC与△DEF中,
'厶=厶）
，ZB=ZDEF,
•••△ABC^ADEF（AAS,•••AB=DE
C重合）或点
20.已知△ABC为等腰直角三角形，/ACB=90，点P在BC边上（P不与B、
将BP绕点B
P在^ABC内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE
顺时针旋转90°，得到线段BD,连接ED交AB于点O.
（1）如图a,当点P在BC
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