大一上学期第一学期高数期末考试题 1.docx
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大一上学期第一学期高数期末考试题1
大一上学期（第一学期）高数期末考试题
（1）
大一上学期高数期末考试
一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）
设f（x）,cosx（x，sinx）,则在x,0处有（ ）1..
,,f（0）2,f（0）1,f（0）0,fx（）（A）（B）（C）（D）不可导.
1,x3设,（x）,，,（x）,3,3x，则当x,1时（ ）1，x2..
,（）（）xx与,,（）（）xx与（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小;（B）是等价无穷小;
（）x,（）x,（）x,（）x是比高阶的无穷小;（D）是比高阶的（C）
无穷小.
xFxtxftdt（）（）（）,,2,fx（）（1,1）,03.若，其中在区间上二阶可导且
fx（）0,，则（）.
Fx（）x,0（A）函数必在处取得极大值;
Fx（）x,0（B）函数必在处取得极小值;
Fx（）（0,（0））FyFx,（）x,0（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点;
Fx（）（0,（0））FyFx,（）x,0（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。
1设f（x）是连续函数，且f（x）,x，2f（t）dt,则f（x）,（）,4.022xx，2x,1x，222（A）（B）（C）（D）.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
2
xsinlim（1，3x）,x,5..0
cosxcosx已知是f（x）的一个原函数,则f（x）,dx,,xx6.
.
,,21n,222lim（coscoscos），，，,,n,,7..nnnn
1
22arcsin1xx，dx,,21,x1,8..2
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
xy，,,yyx,（）yx（）y（0）exy，,sin（）19.设函数由方程确定，求以及.
7,1x求dx.,7，x（1x）10.,x,,xe， x0,1,设f（x）, 求f（x）dx（,,32,,,,2xx，0x1,11.
1
fx（）gxfxtdt（）（）,,limA,f（x）x,0xA12.设函数连续，，且，为常数.求0
,gx（）gx（）x,0并讨论在处的连续性.
四、解答题（本大题10分）
（,）01y,y（x）（x,0）13.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点
Mxy（,）xx,y00x0处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成
面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
y,lnxy,lnx14.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成
平面图形D.
（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
（1）求D的面积A;
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
0,1,,f（x）q,[,]0115.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，
q1
fxdxqfxdx（）（）,,,
.00
,
f（x）dx,0f（x）cosxdx,0,,,,0,,f（x）0016.设函数在上连续，且，.
f（,）,f（,）,0.，，0,,,,,1212证明:
在内至少存在两个不同的点，使（提
x
F（x）,f（x）dx,0示:
设）
解答
一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）
1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1cosx,,2 （），c6e322x5..6..7..8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.解:
方程两边求导
xy，,,eyxyxyy
（1）cos（）（）0，，，,xy，eyxy，cos（）,yx（）,,xy，exxy，cos（）
xy,,0,0y（0）1,,，
76uxxdxdu,, 710.解:
1
（1）112,u原式,,,dudu（）,,7
（1）71uuuu，，
1,,，，（ln||2ln|1|）uuc7
1277,,，，ln||ln|1|xxC77101,x2fxdxxedxxxdx（）2,，,,,,,,33011.解:
01,x2,,，,,xdexdx（）1
（1）,,,3000,,xx2，，xeedxcos（1sin）,,, 令,,,，,,,,，，,3,2
3,,,21e4
f（0）0,g（0）0,12.解:
由，知。
x
fudu（）1,,xtu0,,gxfxtdt（）（）,（0）x,x0x
xfxfudu（）（）,,0,gxx（）（0）,,2xx
fudu（）,fx（）A0,,,,g（0）limlim2,,00xxxx22x
xfxfudu（）（）,,AA0,lim（）limgxA,,,,2,gx（）,,00xxx,0x22，在处连续。
四、解答题（本大题10分）
x,yyxy,，2d,013.解:
由已知且，
,,y,2y，yx将此方程关于求导得
2r,,1,r,2.r,r,2,012特征方程:
解出特征根:
x2xy,Ce，Ce12其通解为
21,C,C,12yy（）（）001,,,33代入初始条件，得
21,x2x,，yee33故所求曲线方程为:
五、解答题（本大题10分）
1y,lnx,（x,x）00（x,lnx）x00014.解:
（1）根据题意，先设切点为，切线方程:
1y,xx,e0e由于切线过原点，解出，从而切线方程为:
11yA,（e,ey）dy,e,1,2则平面图形面积0
12Ve,,13
（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V，则1
y,lnx曲线与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1y2V,,（e,e）dy2,0
2V,V,V,（5e,12e，3）126D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
qqq11
,，fxdxqfxdxfxdx（）（（）（））fxdxqfxdx（）（）,,,,,,00q0015.证明:
q1
,,
（1）（）（）qfxdxqfxdx,,0q
,,,,,,[0,][,1]（）（）qqff1212
,,,,qqfqqf
（1）（）
（1）（）0,,12
故有:
q1
fxdxqfxdx（）（）,,,
证毕。
00
16.
x
F（x）,f（t）dt,0,x,,,[0,,]（0,,）0证:
构造辅助函数:
。
其满足在上连续，在
F（x）,f（x）F（0）,F（,）,0上可导。
，且
,,,0,f（x）cosxdx,cosxdF（x）,F（x）cosx，sinx,F（x）dx|,,,0000由题设，有，,
F（x）sinxdx,0,,,（0,,）F（,）sin,,00有，由积分中值定理，存在，使即F（,）,0
F（0）,F（,）,F（,）,0,,,（0,,）[0,,],[,,,]综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在
,,,（0,,）,,（,,,）F（,）,0F（,）,0f（,）,f（,）,0121212和，使及，即.
一.选择题（3分10），
1.点到点的距离（）.，，，，MM,M2,3,1M2,7,41212
A.3B.4C.5D.6
,,,,,,2.向量，则有（）.a,,i，2j，k,b,2i，j
,,,,,,,,,A.?
B.?
C.D.,,ab,ab,bbaa34
122y,2,x,y，3.函数的定义域是（）.22x，y,1
2222,,,,，，A.，，B.x,y1,x，y,2x,y1,x，y,2
2222,,,,C.，，D，，x,y1,x，y,2x,y1,x，y,2
,4.两个向量与垂直的充要条件是（）.ba
,,,,,,,,,,A.B.C.D.a,b,0a，b,0a,b,0a，b,0
335.函数的极小值是（）.z,x，y,3xy
A.2B.,2C.1D.,1
z6.设，则,（）.z,xsiny,,,1,,,,y4,,
22A.B.C.D.,2,222
，二.填空题（4分5）
1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为，，AB，，A0,0,3B2,,1,1______________________.
，三.计算题（5分6）
4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.
四.应用题（10分2），
31.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能m
使用料最省,
2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过，，y,fx
1,,点，求此曲线方程1,,,3,,
试卷3参考答案一.选择题CBCADACCBD
二.填空题
1..2x,y,2z，6,0
三.计算题
1634..R3
四.应用题
31.长、宽、高均为时，用料最省.2m
122.y,x.3
《高数》试卷4（下）一.选择题（3分，10）
1.点，，，，，的距离（）.MM,M4,3,1M7,1,21212
A.B.C.D.121314152.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）.x,2y，2z，1,0,x，y，5,0,,,,A.B.C.D.6432
223.函数的定义域为（）.，，z,arcsinx，y
2222,,,,，，，，x,y0,x，y,1x,y0,x，y,1A.B.,,,,,,2222C.,0,，,D.,0,，,，，，，xyxyxyxy,,,,22,,,,
，，4.点到平面x，2y,2z,5,0的距离为（）.P,1,,2,1
A.3B.4C.5D.6
225.函数的极大值为（）.z,2xy,3x,2y
1A.0B.1C.D.,12二.填空题（4分5），
x,3，t,
1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为，，A2,2,,1y,tll,
z,1,2t,__________________________.
__________.
三.计算题（5分6），
,,,,,,,,1.设，求a,i，2j,k,b,2j，3ka，b.
2222224.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体x，y，z,4ax，y,2axa,0
积.
，四.应用题（10分2）
2.如图，以初速度将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律，，（提示:
vx,xt.0
2dxdx.当时，有，）,,gx,x,vt,0002dtdt
试卷4参考答案
一.选择题CBABACCDBA.二.填空题
x,2y,2z，11.,,.112
三.计算题
,,
1..8i,3j，2k
322,,,34..a,,,323,,
四.应用题
122.x,,gt，vt，x.002
《高数》试卷5（上）
一、填空题（每小题3分,共24分）
11.函数的定义域为________________________.y,29,x
sin4x,,0x,,2.设函数,则当a=_________时,在处连续.fxx,0fx,，，，，x,
ax,0,,
2x,13.函数的无穷型间断点为________________.fx（）,2xx,，32
x,4.设可导,,则fx（）y,____________.yfe,（）
2x，15.lim_________________.,2x,,25xx，,
321xxsin6.=______________.dx,42,1，,xx1
2xd,t7.,_______________________.edt,0dx
二、求下列极限（每小题5分,共15分）
xxx,31,,e,1limlimlim1.，1.;2.;3.2,,x,3x,0x,,x,9sinxx2,,三、求下列导数或微分（每小题5分,共15分）
xcosxye,,1.,求.2.,求.y,y（0）dyx，2
dyxy，3.设,求.xye,dx
四、求下列积分（每小题5分,共15分）
1,,1..2.xxdxln
（1），.，2sinxdx,,,,x,,
12xedx3.,0
xt,,,五、（8分）求曲线在处的切线与法线方程.t,,yt,,1cos2,
2六、（8分）求由曲线直线和所围成的平面图形的面yx,,0,0yx,，1,x,1积,以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.
《高数》试卷5参考答案
xx,efe（）（3,3）,x,2a,4一（1（2.3.4.
12,x2xe5.6.07.2
xlim1,二.1.原式=x,0x
11,lim2.x,3x，36
11,,1x222，,elim[
（1）]3.原式=x,,x2
21,,yy,,,（0）三.1.2
（2）2x，
cosxdyxedx,,sin2.
xy，,,yxyey
（1），,，3.两边对x求写:
xy，eyxyy,,',,,yxy，xexxy,,
ln2cosxxC,，四.1.原式=
22xx12ln
（1）（）ln
（1）[ln
（1）]，,，,，xdxxdx2.原式=,,222
222xxx111ln
（1）ln
（1）
（1），,,，,,，xdxxxdx=,,221221，，xx
22xx1ln
（1）[ln
（1）]，,,，，，xxxC=222
1111xx2212edxee,,,
（2）
（1）3.原式=0,0222
dydy,,,,,,,sin,1.,,1且当时ttxy五.,t,22dxdx2
,yxxy,,,,，,,1,10即切线:
22
,yxxy,,,,，,,,1（）,10即法线:
22
114231Sxdxxx,，,，,
（1）（）.六0,033
222Vxdyydy,,,,,
（1）,,11
1122,,,（）yy,,122
《高等数学》试卷6（下）
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式2-3的值为（d）
45
A、10B、20C、24D、22
2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b的向量积为（c）A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k
3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（c）A、2B、3C、4D、5
2226、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（）（面积A=）,,x，y,R
12222A、RAB、2RAC、3RAD、RA2
二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）
x,1y，31、直线L:
x=y=z与直线L:
___________。
,z的夹角为122,1
x,1y，2z直线L:
____________。
,与平面3x，2y,6z,0之间的夹角为32,12
2.0302、（0.98）的近似值为________,sin10的近似值为___________。
三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
232、求曲线x=t,y=t,z=t在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）
21、求表面积为a而体积最大的长方体体积。
参考答案
一、选择题
1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B
10,A
二、填空题
28arcos,arcsin1、2、0.96，0.173652118
三、计算题
232、解:
因为x=t,y=t,z=t,
2所以x=1,y=2t,z=3t，ttt
所以x|=1,y|=2,z|=3tt=1tt=1tt=1
x,1y,1z,1,,故切线方程为:
123
法平面方程为:
（x-1）+2（y-1）+3（z-1）=0即x+2y+3z=6
四、应用题
1、解:
设长方体的三棱长分别为x，y，z
2则2（xy+yz+zx）=a
构造辅助函数
2F（x,y,z）=xyz+,（2xy，2yz，2zx,a）
求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得:
yz+2（y+z）=0,
xz+2（x+z）=0,
xy+2（x+y）=0,
2与2（xy+yz+zx）-a=0联立，由于x,y,z均不等于零可得x=y=z
6a2代入2（xy+yz+zx）-a=0得x=y=z=6
36a2所以，表面积为a而体积最大的长方体的体积为V,xyz,36
《高数》试卷7（上）一、选择题（每小题3分）
1、函数的定义域是（）.y,ln（1,x），x，2
ABCD，，，，,,,,,2,1,2,1,2,1,2,1
x2、极限的值是（）.lime,,x
，,,,A、B、C、D、不存在0
sin（x1）,lim3、（）.,2x,11x,
11A、1B、C、D、,022
34、曲线在点处的切线方程是（）y,x，x,2（1,0）
A、y,2（x,1）B、y,4（x,1）
C、y,4x,1D、y,3（x,1）
x6、设，则f（x）,（）.f（x）dx,2cos，C,2
xxxxsin,2sinA、B、C、D、,sinsin，C2222
2，lnx7、（）.dx,,x
21122A、B、,，lnx，C（2，lnx），C222x
，x1lnC、D、ln2，lnx，C,，C2x
28、曲线，，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（）.y,0yy,xx,1V,
114A、B、,xdx,ydy,,00
114C、D、,（1,y）dy,（1,x）dx,,00
x1e9、dx（）.,x,01e，
1，2e2，e1，e1，eA、B、C、D、lnlnlnln2232
二、填空题（每小题4分）
x,,1、设函数，则;y,xey,
3sinmx2lim2、如果,则.,m,x,02x3
133、;xcosxdx,,,1
5、函数在区间上的最大值是，最小值,,0,4f（x）,x，2x
是;
三、计算题（每小题5分）
xx11，,1,21、求极限;2、求的导数;y,cotx，lnsinxlimx,0x2
dx4、求不定积分;,1，x，1
edyx,5、求定积分;6、解方程;lnxdx1,2dxy1,xe
四、应用题（每小题10分）
221、求抛物线与所围成的平面图形的面积.y,xy,2,x
232、利用导数作出函数的图象.y,3x,x
参考答案
一、1、C;2、D;3、C;4、B;5、C;6、B;7、B;8、A;9、A;
10、D;
4x,2x二、1、;2、;3、;4、;5、8，0（x，2）ey,（C，Cx）e0129
26x3三、1、1;2、;3、;4、;2x，1,2ln（1，x，1），C,cotxdx32（，1）x
1225、;6、;2（2,）y，21,x,Ce
8四、1、;3
2、图略
《高数》试卷8（上）
一、选择题（每小题3分）
1y,2，x，1、函数的定义域是（）.lg（x，1）
A、B、，，，，，，,2,,1:
0,，,,1,0:
（0,，,）C、D、（,1,0）:
（0,，,）（,1,，,）
2、下列各式中，极限存在的是（）.
xA、B、C、D、limcosxlimarctanxlimsinxlim2x,,x,,,，,x,0x
xxlim（）3、（）.,x,,1x，
12A、B、C、1D、eee4、曲线y,xlnx的平行于直线x,y，1,0的切线方程是（）.A、B、y,（lnx,1）（x,1）y,x
C、y,x,1D、y,,（x，1）
5、已知y,xsin3x，则（）.dy,
A、（,cos3x，3sin3x）dxB、（sin3x，3xcos3x）dx
C、D、（cos3x，sin3x）dx（sin3x，xcos3x）dx6、下列等式成立的是（）.
1xx,,,1A、B、adx,alnx，Cxdx,x，C,,,1，
1tanC、D、cosxdx,sinx，Cxdx,，C,2,1，x
sinx7、计算的结果中正确的是（）.esinxcosxdx,
sinxsinxA、B、e，Cecosx，C
sinxsinxC、D、e（sinx,1），Cesinx，C
28、曲线，，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（）.y,0y,xxx,1V,
114A、B、,xdx,ydy,,00
114C、D、,（1,y）dy,（1,x）dx,,00
a229、设，，则（）.a0a,xdx,,0
112222A、B、C、0D、a,aaa244二、填空题（每小题4分）
x,e，1,x,01、设，则有，;f（x）,limf（x）,limf（x）,,x,0,x,0，ax，b,x,0,
x,,2、设，则;y,xey,
23、函数在区间的最大值是，最小值是;,,f（x）,ln（1，x）,1,2
134、;xcosxdx,,,1
三、计算题（每小题5分）
13,1、求极限;lim（）2x,1x,x，x,12
22、求的导数;y,1,xarccosx
1dx4、求不定积分;,x2，lnx
e5、求定积分;lnxdx1,e
四、应用题（每小题10分）
21、求由曲线和直线所围成的平面图形的面积.x，y,0y,2,x
322、利用导数作出函数的图象.y,x,6x，9x,4
参考答案（B卷）
一、1、B;2、A;3、D;4、C;5、B;6、C;7、D;8、A;9、
D;10、B.
xx2x二、1、，;2、;3、，;4、;5、.2（x，2）eCe，Celn5b0012
1x1三、1、;2、;3、;,arccosx,1dx2223（1,）1,1,xxx
1,212x4、;5、;6、;2（2,）y,e22，lnx，Cex
9四、1、;2、图略2
x,xx,xeee，e,2，lim,lim,200x,x,x1,cosxcos1、求极限。
lnx,22,y,1，lnxyx1，lnx2、,求。
xy,ecosx1、求函数的极值。
2k，,2,42x,k，y,e,,,y,0,f（x）42?
当时，在该处取得极大值，其值为;（6分）
5,2k，,25,42x,k，y,,e,,,y,0,f（x）42当时，在该处取得极小值，其值为。
（8
3sinx25dx,cosx,2cosx，C,cosx52、求不定积分。
。
3，x322,2,sinx（ln，2cosx）dx4,,,1，cos2d,,,3,x,4
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