高中数学知识点椭圆的方程.docx

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高中数学知识点椭圆的方程

高中数学知识点：

椭圆的方程

　　一、教学内容：

椭圆的方程

高考要求：

理解椭圆的标准方程和几何性质.

重点：

椭圆的方程与几何性质.

难点：

椭圆的方程与几何性质.

二、知识点：

1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

定义第一定义：

平面内与两个定点　）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义：

平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.（0

标

准

方

程焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形焦点在x轴上

焦点在y轴上

性质焦点在x轴上

范围：

对称性：

　轴、　轴、原点.

顶点：

　，　.

离心率：

e

概念：

椭圆焦距与长轴长之比

定义式：

范围：

2、椭圆中a，b，c，e的关系是：

（1）定义：

r1+r2=2a

（2）余弦定理：

　+　-2r1r2cos（3）面积：

　=　r1r2sin　?

2c|y0|（其中P（　）

三、基础训练：

1、椭圆　的标准方程为

，焦点坐标是　，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆　的值是__3或5__;

3、两个焦点的坐标分别为　___;

4、已知椭圆　上一点P到椭圆一个焦点　的距离是7，则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，　，则椭圆的离心率为6、方程　=10，化简的结果是　;

满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为

8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系　顶点　，顶点　在椭圆　上，则10、已知点F是椭圆　的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P（x，y）（x0）是椭圆上的一个动点，则　的最大值是8.

【典型例题】

例1、

（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.

（2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.

解：

设方程为　.

所求方程为（3）已知三点P，（5，2），F1（-6，0），F2（6，0）.设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为　，求以　为焦点且过点　的椭圆方程.

解：

（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为　所以所求椭圆的标准方程为（4）求经过点M（，1）的椭圆的标准方程.

解：

设方程为

例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）　为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且　、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.

解：

建立如图所示直角坐标系，使点A、B、　在　轴上，

则　=|OA|-|O　|=|　A|=6371+439=6810

解得　=7782.5，　=972.5

卫星运行的轨道方程为

例3、已知定圆

分析：

由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值　根据图形，用数学符号表示此结论：

上式可以变形为　，又因为　，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆

解：

知圆可化为：

圆心Q（3，0），

设动圆圆心为　，则　为半径　又圆M和圆Q内切，所以　，

即　，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以　，故动圆圆心M的轨迹方程是：

例4、已知椭圆的焦点是　|和|

（1）求椭圆的方程;

（2）若点P在第三象限，且　=120，求　.

选题意图：

综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.

解：

（1）由题设|　|=2|　|=4

（2）设　，则　=60-

由正弦定理得：

由等比定理得：

说明：

曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答

例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向　轴作垂线段PP?

@，求线段PP?

@的中点M的轨迹（若M分PP?

@之比为　，求点M的轨迹）

解：

（1）当M是线段PP?

@的中点时，设动点　，则　的坐标为

因为点　在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有所以点

（2）当M分PP?

@之比为　时，设动点　，则　的坐标为

因为点　在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有　，

例6、设向量　=（1，0），　=（x+m）　+y　=（x-m）　+y　|+|（I）求动点P（x，y）的轨迹方程;

（II）已知点A（-1，0），设直线y=　（x-2）与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得　?

若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

解：

（I）∵　=（1，0），　=（0，1），|　=6

上式即为点P（x，y）到点（-m，0）与到点（m，0）距离之和为6.记F1（-m，0），F2（m，0）（0

|PF1|+|PF2|=6|F1F2|

又∵x0，P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.

∵2a=6，a=3

又∵2c=2m，c=m，b2=a2-c2=9-m2

所求轨迹方程为　（x0，0

（II）设B（x1，y1），C（x2，y2），

而y1y2=　（x1-2）?

　（x2-2）

=　[x1x2-2（x1+x2）+4]

　[x1x2-2（x1+x2）+4]

=　[10x1x2+7（x1+x2）+13]

若存在实数m，使得　成立

则由　[10x1x2+7（x1+x2）+13]=

可得10x1x2+7（x1+x2）+10=0①

消去y，得（10-m2）x2-4x+9m2-77=0②

因为直线与点P的轨迹有两个交点.

由①、④、⑤解得m2=　9，且此时△0

但由⑤，有9m2-77=　0与假设矛盾

不存在符合题意的实数m，使得

例7、已知C1：

　，抛物线C2：

（y-m）2=2px（p0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

（Ⅰ）当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;

（Ⅱ）若p=　，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

解：

（Ⅰ）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，　）或（1，-　）.

此时C2的焦点坐标为（　，0），该焦点不在直线AB上.

（Ⅱ）当C2的焦点在AB上时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-1）.

因为C2的焦点F（　，m）在y=k（x-1）上.

所以k2x2-　（k2+2）x+　=0②

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=

（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0③

由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=

又m=-　m=　或m=-

当m=　时，直线AB的方程为y=-　（x-1）;

当m=-　时，直线AB的方程为y=　（x-1）.

例8、已知椭圆C：

　（a0，b0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e.直线l：

y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设　=　.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若　，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程;

（Ⅲ）确定解：

（Ⅰ）因为A、B分别为直线l：

y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A（-　，0），B（0，a）.

（Ⅱ）当　时，　a=2c

由△MF1F2的周长为6，得2a+2c=6

a=2，c=1，b2=a2-c2=3

故所求椭圆C的方程为

（Ⅲ）∵PF1lPF1F2=90BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即　|PF1|=C.

设点F1到l的距离为d，由

即当（注：

也可设P（x0，y0），解出x0，y0求之）

【模拟试题】

一、选择题

1、动点M到定点　和　的距离的和为8，则动点M的轨迹为

A、椭圆B、线段C、无图形D、两条射线

2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

A、　C、2-　-1

3、（2019年高考湖南卷）F1、F2是椭圆C：

　的焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为

A、2个B、4个C、无数个D、不确定

4、椭圆　的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为

A、32B、16C、8D、4

5、已知点P在椭圆（x-2）2+2y2=1上，则　的最小值为

6、我们把离心率等于黄金比　是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则　等于

A、　C、

二、填空题

7、椭圆　的顶点坐标为和，焦点坐标为，焦距为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为.

8、设F是椭圆　的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，　），使得|FP1|、|FP2|、|FP3|组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是.

9、设　，　是椭圆　的两个焦点，P是椭圆上一点，且　，则得　.

10、若椭圆　=1的准线平行于x轴则m的取值范围是

三、解答题

11、根据下列条件求椭圆的标准方程

（1）和椭圆　共准线，且离心率为　.

（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为　和　，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

12、已知　轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆　上的动点，求AQ中点M的轨迹方程

13、椭圆　的焦点为　=（3，-1）共线.

（1）求椭圆的离心率;

（2）设M是椭圆上任意一点，且　=　、　R），证明　为定值.

【试题答案】

1、B

2、D

3、A

4、B

5、D（法一：

设　，则y=kx代入椭圆方程中得：

（1+2k2）x2-4x+3=0，由△0得：

　.法二：

用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）

6、C

7、（　;（0，　）;6;10;8;　;　.

10、m　且m0.

11、

（1）设椭圆方程　.

所求椭圆方程为　的坐标为

13、解：

设P点横坐标为x0，则　为钝角.当且仅当　.

14、

（1）解：

设椭圆方程　，F（c，0），则直线AB的方程为y=x-c，代入　，化简得：

由　=（x1+x2，y1+y2），　共线，得：

3（y1+y2）+（x1+x2）=0，

又y1=x1-c，y2=x2-c

3（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0，x1+x2=

（2）证明：

由

（1）知a2=3b2，所以椭圆　可化为x2+3y2=3b2

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

∵M2+3

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？

”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？

”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?

曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。