初中数学中考直角三角形.docx
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初中数学中考直角三角形
直角三角形
一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1、已知三组数据：
①2，3，4；②3，4，5；③1，
，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）
A.②B.①②C.①③D.②③
2、如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）
A.40°B.50°C.60°D.75°
3、如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）
A.AC=A′C′，BC=B′C′B.∠A=∠A′，AB=A′B′
C.AC=A′C′，AB=A′B′D.∠B=∠B′，BC=B′C′
4、已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
5、用三角尺可按下面方法画角平分线：
在已知的
的两边上，分别截取
，再分别过点
、
作
、
的垂线，交点为
，画射线
，则
平分
．这样画图的主要依据是（）
A.
B.
C.
D.
6、如图，在
中，
，
，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）
A.120°B.108°C.72°D.36°
7、如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，平行四边形
的顶点
在反比例函数
上，顶点
在反比例函数
上，点
在
轴的正半轴上，则平行四边形
的面积是（）
A.
B.
C.
D.
8、如图，
是
的角平分线，
，垂足分别为点
，连接
与
相交于点
．下列结论不一定成立的是（）
A.
B.
C.
D.
9、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则
（）
A.
B.
C.
D.
10、在数学拓展课上，小明发现：
若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，
是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点
的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）
A.
B.
C.
D.
二．填空题（共10小题，每题3分，满分30分）
11、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是______．
12、如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，若∠1=25º，∠2=70º.则∠B=______°．
13、如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝______度．
14、平面直角坐标系中，点
到原点的距离是______．
15、如图所示的网格是正方形网格，则
＝______°（点A，B，P是网格线交点）．
16、若a、b、c满足（a-5）2+
+
=0，则以a，b，c为边的三角形面积是______．
17、如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为______．
18、如图，点
在
上，
于点
，
交
于点
，
．若
°，则
=______．
19、如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为EF，DG，得到
，
，若
，则FG的长为______．
20、如图，已知线段
，
是
的中点，直线
经过点
，
，
点是直线
上一点，当
为直角三角形时，则
______．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21、如图，已知
，
与
交于点
，
，求证：
．
22、如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：
≈1.414，
≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
23、已知：
整式
，整式
．
尝试：
化简整式
．
发现：
，求整式
．
联想：
由上可知，
，当n＞1时
为直角三角形的三边长，如图．填写下表中
的值：
24、如图，在
中，内角
所对的边分别为
．
（1）若
，请直接写出
与
的和与
的大小关系；
（2）求证：
的内角和等于
；
（3）若
，求证：
是直角三角形．
25、（问题提出）
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
（深入探究）
第一种情况：
当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：
当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：
△ABC≌△DEF．
第三种情况：
当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？
请直接写出结论：
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．
26、综合与实践
已知
是等腰直角三角形，
，
，
为
的中点．
（1）如图：
过
作
，分别交
、
于
、
.求证：
．
（2）如图，若
，分别与
、
的延长线交于点
、
，此时
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请说明理由，若不成立，请举例说明．
参考答案
1、【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．
【解答】①∵22+32=13≠42，∴以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32+42=52，∴以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12+（
）2=22，∴以1，
，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有②③．
选D.
2、【答案】B
【分析】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【解答】∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
选B.
3、【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．
【解答】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，
Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，
选C．
4、【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．
【解答】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
选B.
5、【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．
【解答】由题意得，OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，OP＝OP
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）
∴∠AOP＝∠BOP
选D.
6、【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质．
【解答】∵在
中，
，
，
∴
．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴
，
∴
，
，
∴
．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴
，
∴
．
选B.
7、【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的全等的判定与性质、k的几何意义．
【解答】如图作
轴于
，延长
交
轴于
，
四边形
是平行四边形，
，
，
轴，
，
，
根据系数
的几何意义，
，
，
四边形
的面积
，
选C.
8、【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定．
【解答】
是
的角平分线，
，
，
，
，
在
和
中
，
≌
（HL），
，
又
，
是EF的垂直平分线，
∴
．
故ABD正确，
选C.
9、【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．
【解答】∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为
，小正方形的边长为5，
∴
，
∴
，
∴
．
选A.
10、【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．
【解答】如图，
为剪痕，过点
作
于
．
∵
将该图形分成了面积相等的两部分，
∴
经过正方形
对角线的交点，
∴
．
易证
，
∴
，
而
，
∴
．
在
中，
．
选D．
11、【答案】AC=DE
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．
【解答】用“HL”判定△ABC≌△DBE，已知BC=BE，再添加斜边DE=AC即可．
12、【答案】45
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质．
【解答】∵m∥n，∠2=70º，∴∠BAN=70°．
∵∠1=25º，∴∠BAC=45°．
∵∠C=90°，∴∠B=45°．
故答案为：
45．
13、【答案】120
【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质．
【解答】
是斜边
的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为
．
14、【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理．
【解答】作
轴于
，则
，
．
则根据勾股定理，得
．
故答案为：
．
15、【答案】45
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．
【解答】延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：
45．
16、【答案】30
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数．
【解答】∵
，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，．
∴以a，b，c为三边的三角形的面积=
．
17、【答案】135°
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、旋转的性质．
【解答】如图，连接AA′．由题意得：
AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，
∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；
∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，
∴AB′2=AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′=90°，∠B′A′C=135°，
∴∠BAC=135°，
故答案为135°．
18、【答案】55°
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的性质．
【解答】∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF+∠BDE=∠EDF+∠CFD=90°，
∴∠EDF=55°．
故答案是：
55°．
19、【答案】
．
【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理．
【解答】∵把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，
∴
，
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
20、【答案】2或
或
．
【分析】本题考查了直角三角形的判定．
【解答】如图：
∵
，
∴当
时，
，
当
时，∵
，
∴
，
∴
，
当
时，∵
，
∴
，
故答案为：
2或
或
．
21、【答案】见解答．
【分析】由
证明
得出
，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】∵
，
∴
和
是直角三角形，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
22、【答案】见解答．
【分析】
（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1．
（2）由
（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，
所而确定C港在A港的什么方向．
【解答】
（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC=
=
≈14.1．
答：
A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由
（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
23、【答案】见解答．
【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【解答】A=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2-1=35时，n2+1=37．
故答案为：
17；37．
24、【答案】
（1）
；
（2）证明见解答；（3）证明见解答
【分析】
（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论
【解答】
（1）
在
中，
，
；
（2）如图，过点
作
，
，
（两直线平行，同位角相等），
（平角的定义），
（等量代换），
即：
三角形三个内角的和等于
；
（3）
，
，
，
，
是直角三角形．
25、【答案】见解答．
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．
【解答】
（1）解：
HL；
（2）证明：
如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
AC=DF，CG=FH
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：
如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：
若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
26、【答案】见解答．
【分析】
（1）如图1（见解答），连接AD，先根据等腰直角三角形的性质可得
，再根据角的和差、等腰三角形的性质得出
，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图2（见解答），连接AD，同
（1）的方法，先通过等腰直角三角形的性质、角的和差得出两组相等的角与一组相等的边，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【解答】
（1）如图1，连接AD
是等腰直角三角形，
，
为
的中点
在
和
中，
；
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AD
同
（1）方法得：
在
和
中，
．
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