我国古代数学家秦九韶.ppt

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我国古代数学家秦九韶,2018.5.7,瓦房店市高级中学：

虞政华,九韶生平,数学成就,考题再现,数书九章,秦九韶算法,三斜求积术,大衍求一术,正负开方术,一.秦九韶生平：

秦九韶（公元12021261），字道古，现四川省安岳人。

秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。

秦九韶聪敏勤学。

宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。

先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。

他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。

二.秦九韶的数学成就：

秦九韶的代表作数书九章是我国13世纪数学成就的代表作之一。

书中的一次同余式（大衍求一术）和高次方程的解法（正负开方术）比西方欧拉和霍纳等数学家的解法要早500多年。

由于他和他同时代的其他数学家的贡献，使我国数学在当时处于世界领先地位，他是中国人的骄傲。

数书九章是一部有二十多万字的科学巨著。

书中共分九大类，列出81道题。

有趣的是，从作者的名字、书名到题目共四个“九”，即“九韶”、“九章”、“九类”、“九题”。

这部书的每一题都有“术”，即都有解题的原理和解题步骤，它继承了我国数学发展的突出特色：

算法化。

这部书的另一个重要特色是理论联系实际。

书中大多数问题都是来自实际。

秦九韶对当时的生产和生活的各种问题进行了深刻的思考，并将他们抽象为数学问题，研究这些问题的算法。

二.秦九韶的数学成就：

数书九章凝聚着秦九韶艰辛的劳动，它在中国和世界数学史中都占有重要的地位。

最值得称赞的是，秦九韶创造的一些算法（例如，多项式求值的方法）至今仍是世界上最好的算法。

周朝数学便属“六艺”（礼，乐，射，御，书，数）之一。

学者和官员们历来重视崇尚数学。

人们因为要认识世界的规律，产生了数学。

从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事物，分类万物。

我坚信，世间万物都与数学有关。

1.秦九韶算法,多项式求值的方法：

数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：

要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。

例：

已知一个五次多项式为,用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值。

解：

将多项式变形：

按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x=5时的值：

所以，当x=5时，多项式的值等于17255.2,2.三斜求积术,已知三角形三边长，求三角形的面积方法：

已知三角形的三边长，求三角形的面积。

秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”。

“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。

以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。

一为从隅，开平方得积。

”,

（1）海伦秦九韶公式：

（2）圆内接四边形面积公式：

若圆内接四边形的边长分别为a,b,c,d，则其面积为,（3）婆罗摩笈多公式：

若四边形的边长分别为a,b,c,d，是四边形一对角和的一半，则其面积为,若四边形的边长分别为a,b,c,d，是四边形一对角和的一半，则其面积为,3.大衍求一术,一次同余式：

中国古代求解一类大衍问题的方法。

大衍问题源于孙子算经中的“物不知数”问题：

“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。

秦九韶在数书九章中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。

秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。

秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。

（1）原载孙子算经卷下第二十六题：

“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。

问物几何?

”,明代著名的大数学家程大位，在他所著的算法统宗中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰孙子歌：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆正半月，除百零五便得知。

秦朝末年，楚汉相争。

一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。

苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。

当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。

只见远方尘土飞扬，杀声震天。

汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。

韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。

他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。

韩信马上向将士们宣布：

我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。

汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。

于是士气大振。

一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。

交战不久，楚军大败而逃。

（2）韩信点兵,4.正负开方术,高次方程的解法：

秦九韶在数书九章中还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早572年。

秦九韶的正负开方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。

此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。

在欧洲最早是1559年布丢给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。

三.与秦九韶有关的试题：

1.（2016课标2）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=（）A.7B.12C.17D.34,C,2.（2016四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）A.9B.18C.20D.35,开始,输入n,x,v=1,i=n-1,i0?

输出v,结束,v=vx+i,i=i-1,是,否,B,3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏,B,4.（2015湖北）我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：

粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A134石B169石C338石D1365石,5.（2017大连一模）我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

”如果此物数量在100至200之间，那么这个数是,B,128,6.（2013湖北）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:

在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是_寸.（注:

平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸）,3,A,（）,四.课后作业：

阿波罗尼斯圆：

谢谢大家！