误差的基本性质与处理.docx
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误差的基本性质与处理
第1章绪论
1-1研究误差的意义是什么？
简述误差理论的主要内容。
答：
研究误差的意义
（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。
（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。
（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：
（1）讨论形成误差的原因；
（2）各类误差的特征及处理方法；
（3）对测量结果进行评定。
1-2试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？
答1：
测量误差的定义：
误差＝测得值－真值。
测量误差的分类：
随机误差、系统误差和粗大误差。
各类误差的特点：
（1）随机误差：
服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；
（2）系统误差：
不服从统计规律，表现为固定大小和符号，或者按一定规律变化；
（3）粗大误差：
误差值较大，明显地歪曲测量结果。
答2：
测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。
答1：
相同点：
都是测量值与真值之差。
不同点：
误差的绝对值都是正值，而绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。
例：
某长度的绝对误差为－0.05mm，而该误差的绝对值为|－0.05|mm＝0.05mm。
答2：
（1）误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
（2）就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。
1-4什么叫测量误差？
什么叫修正值？
含有误差的测定值经修正后，能否获得被测量的真值？
答：
（1）测量误差：
测得值与被测量真值之差。
（2）修正值：
为消除固定系统误差用代数法加到测量结果上的值，是误差的相反数。
（3）经修正后仍然不能得到被测量的真值，理由是修正值本身也含有误差。
1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00＇02＇＇，试求测量的绝对误差和相对误差。
解：
真值为180°
绝对误差：
相对误差：
1-6在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1μm，试问该被测件的真实长度为多少？
解：
因为L＝50mm，δ＝0.001mm
所以mm
1-7用二等标准活塞压力计测量某压力的100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差是多少？
解：
以100.5Pa未约定真值，则二等标准活塞压力计测量值的绝对误差和相对误差为
绝对误差：
100.2Pa－100.5Pa＝－0.3Pa
相对误差：
1-8在测量某一长度时，读数为2.31m，其最大绝对误差为20μm，试求其最大相对误差。
解：
最大相对误差为
1-9使用凯特摆时，g由公式给定。
今测出长度（h1＋h2）为（1.04230±0.00005）m，振动时间T为（2.0480±0.0005）s。
试求g及其最大相对误差。
如果（h1＋h2）测出为（1.04220±0.00005）m，为了使g的误差能小于0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？
解：
设l＝（h1＋h2），则
（1）m/s2
（2）根据相对误差的概念：
，
其中：
fl、fT分别为l和T的相对误差，如此有：
所以g的相对误差为：
（3）要求m/s2，且（h1＋h2）＝（1.04220±0.00005）m
根据以及可得
因此
又，故s。
所以，T的测量必须精确到0.00005s。
1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？
解：
因为最大误差为2V，故该表的引用误差为
所以该电压表示合格的。
1-11为什么在使用微安表等各种电表时，总是希望指针在全量程的2/3范围内使用？
答：
对于一个确定的电表，其等级是一定的，此时
最大绝对误差：
最大相对误差：
由此可见，随着x（测量读数）增大，相对误差减小，超过2/3之后，最大相对误差在可接受范围内。
所以总是希望指针在全量程的2/3范围内使用。
1-12用两种方法分别测量L1＝50mm，L2＝80mm。
测得值各为50.004mm、80.006mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
解：
由于使用两种不同的方法，测量的是两个不同的长度，故只能用相对误差进行比较。
L1：
mm，
L2：
mm，
即：
，所以对L2的测量精度较高。
1-13多级弹道火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；在射击场中，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心。
试评述哪一个射击精度高？
解：
多级弹道火箭：
射手：
比较结果表明，多级弹道火箭的射击精度较高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1＝110mm，其测量误差分别为±11μm和±9μm；而用第三种测量方法测量另一种零件的长度L2＝150mm，其测量误差为±12μm，是比较三种测量方法精度的高低。
解：
第一、二种方法测量的是同一个零件的长度，因此，可以直接用其绝对误差进行比较。
根据题意，第二种测量方法精度高于第一种。
第三中采用了其它方法，测量的是另一零件的长度，因此，用相对误差进行比较
因为。
所以，第三种方法的测量精度最高，第二种次之，第一种最低。
1-15某量值y由被测量x表示为，若x的相对误差为1%时，求y的相对误差是多少。
解：
设x的相对误差为fx，则x＝x0（1+fx）
所以，y的相对误差为2fx＝2%。
1-16如何根据测量误差的特点来减小或消除测量误差？
答：
（1）随机误差：
由于具有抵偿性，可通过多次测量的算术平均值减小或消除测量误差。
（2）系统误差：
A.找出系统误差产生的原因，从根源上消除；B。
找出系统误差的变化规律，在最后结果中加以修正。
（3）粗大误差：
直接从测量数据中剔除掉。
1-17什么是有效数字及数字舍入有哪些规则？
答：
（1）有效数字：
含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。
且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。
（2）数字舍入规则：
A.若舍去部分的数值大于保留部分的末尾的半个单位，则末尾加1。
B.若舍去部分的数值小于保留部分的末尾的半个单位，则末尾不变。
C.若舍去部分的数值等于保留部分的末尾的半个单位，则末尾凑成偶数，即末尾为偶数时不变，末位为奇数时加1。
1-18根据数据运算规则，分别计算下是结果：
（1）3151.0＋65.8＋7.326＋0.416＋152.28＝？
（2）28.13×0.037×1.473＝？
解：
（1）以65.8为基准，其余各数多取一位，则有
原式＝3151.0＋65.8＋7.33＋0.42＋152.28＝3376.83≈3376.8
（2）以28.13为基准，其余各数多取一位，则有
原式＝28.13×0.037×1.473＝1.041×1.473=1.5334≈1.53
1-19在测量实践中有效数字的作用以及它与测量精度的关系如何？
试举例说明之。
第2章误差的基本性质与处理
2.1试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义？
答：
从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从N维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为N条线段的平均长度；
2.2试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差,两者的物理意义及实际用途有何不同?
2.3试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在[]中的概率？
2.4测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。
【解】】①选参考值，计算差值、和残差等列于表中。
序号
xi
Δxi
vi
vi2
1
236.45
0.45
0.02
0.0004
2
236.37
0.37
-0.06
0.0036
3
236.51
0.51
0.08
0.0064
4
236.34
0.34
-0.09
0.0081
5
236.39
0.39
-0.04
0.0016
6
236.48
0.48
0.05
0.0025
7
236.47
0.47
0.04
0.0016
8
236.40
0.40
-0.03
0.0009
求和
1891.41
3.41
-0.03
0.0251
测量次数
平均值
平均值
8
236.43
0.43
参考值
236.00
或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：
②计算标准差：
用贝塞尔公式计算:
2.5用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-4的标准差，并比较之。
【解】
（1）用别捷尔斯法计算
（2）用极差法计算
8个测量数据的极差为：
查教材P20表2-4，n=8时
（g）
（3）最大误差法计算
8个测量数据的最大残差为：
查教材P20表2-5，n=8时，＝0.61
2.6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
【解】①选参考值x0=168.5，计算差值、和残差等列于表中。
序号
xi
Δxi
vi
vi2
|vi|
1
168.41
-0.09
-0.078
0.006084
0.078
2
168.54
0.04
0.052
0.002704
0.052
3
168.59
0.09
0.102
0.010404
0.102
4
168.40
-0.10
-0.088
0.007744
0.088
5
168.50
0.00
0.012
0.000144
0.012
求和
842.44
-0.06
0.000
0.02708
0.332
算术平均值
168.488
-0.012
或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：
（mA）
②计算标准差：
用贝塞尔公式计算：
（mA）
［若用别捷尔斯法计算：
］
［用极差法计算：
n=5时dn=2.33，（mA）］
下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据：
或然误差：
（mA）；
平均误差：
（mA）
算术平均值的标准差：
算术平均值或然误差R：
（mA）
算术平均值平均误差T：
（mA）
2.7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。
若测量值
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