七年级数学思维探究9绝对值与方程含答案.docx

七年级数学思维探究9绝对值与方程含答案.docx

《七年级数学思维探究9绝对值与方程含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学思维探究9绝对值与方程含答案.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

七年级数学思维探究9绝对值与方程含答案

商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：

“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的．

9．绝对值与方程

解读课标

绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．

绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：

去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有：

1．最简绝对值方程

形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与．

2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．

问题解决

例1方程的解是________．

试一试原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解．

例2若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系为（）．

A．B．C．D．

试一试从方程有解的条件入手．

例3解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）．

试一试对于

（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于

（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．

例4如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，其对应的数为．

（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．

（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？

若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；

（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？

试一试由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程．

例5讨论关于的方程的解的情况．

分析与解与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．

故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．

数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：

（1）当时，原方程有两解；

（2）当时，原方程有无数解；

（3）当时，原方程无解．

数学冲浪

知识技能广场

1．若是方程的解，则_______；又若当时，则方程的解是_____．

2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．

3．如果，那么的值为________．

4．已知关于的方程的解满足，则的值为（）．

A．或　B．或C．或D．或

5．若，则等于（）．

A．或B．或C．或D．或

6．方程的解的个数为（）

A．个　　B．个C．无数个D．不确定

7．解下列方程

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

8．求关于的方程的所有解的和．

9．解方程．

10．已知、、、都是整数，且，则_______．

11．若、都满足条件，且，则的取值范围是_______．

12．满足方程的所有的和为________．

13．若关于的方程有三个整数解，则的值为（）

A．B．C．D．

14．方程的整数解的个数有（）

A．B．C．D．

15．若是方程的解，则等于（）

A．B．C．D．

16．解下列方程

（1）；

（2）．

17．当满足什么条件时，关于的方程有一解？

有无数多个解？

无解？

应用探究乐园

18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足．

（l）求线段的长；

（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得?

若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；

（3）在

（1）、

（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：

的值是否随着时间的变化而改变？

若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．

19．已知，求的最大值和最小值．

微探究

从三阶幻方谈起

相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．

现在人们已给出一般三阶幻方的定义：

在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方．

可以证明三阶幻方以下基本性质：

（1）在的方格中填入个不同的数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则．

（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．

（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．

解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．

例1如图①，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：

图中左上角的数是多少？

试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关．故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图②）．

例2如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：

，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．

试一试如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手．

整体核算法

整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．

例3如图①，、、、、、、、、分别代表，，，，，，，，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？

分析与解设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：

，故．

先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，，由此可以求得图②．

对照图①与图②中各数的位置，可看到．

当然也可以有另一解法．

将含、含、含、含、含与含的个小圆内个数求和，可得：

，即

，所以．

练一练

1．将到这个自然数填入图中的个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的个数的和是_______．

2．请构造“幻角”，将这个整数填入图中的小三角形内（和已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于．

3．请将，，，，，，，，，这个数分别填入图中方阵的个空格，使行、列、条对角线上的个数的和都是．

4．如图，、、、、、均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求的值．

5．如图是一个的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值．

6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列个数：

，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值．

7．幻方第一人

幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中行、列以及条对角线上的点数之和都等于，是一种“阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从阶到阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了

对称思想．例如，用，，，…，构造阶幻方的方法是：

先将，，，…，依次排成图③，然后以外四角对换，即与对换，与对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的阶幻方．

8．把数字，，，…，分别填入图中的个圈内，要求三角形和三角形的每条边上三个圈内数字之和都等于．

（1）给出一种符合要求的填法；

（2）共有多少种不同填法？

证明你的结论．

微探究

商品的利润

商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．

（1）；

（2）利润=售价-进价；

（3）售价=进价+利润=进价×（利润率）．

例1一家商店将某件商品按成本价提高后，标价为元，又以折出售，则售出这件商品可获利润_______元．

试一试从求出成本价切入．

例2某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（）．

A．B．C．D．

试一试利用获利不变建立方程．

例3某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了，为了赚钱，开发商把售价提高了倍，利润率比原来增加了，求开发商原来的利润率．

试一试因售价=成本×（利润率），故还需设出成本．

例4某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：

（1）若一次购物少于元，则不予优惠；

（2）若一次购物满元，但不超过元，按标价给予九折优惠；

（3）若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予折优惠．

小明两次去该超市购物，分别付款元与元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？

分析与解第一次付款元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．

情形l当元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为元，又，其中元为购物元打九折付的钱，元为购物打八折付的钱，（元）．

因此，元所购物品的原价为（元），于是购买小明花（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付（元）．

情形2当元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为（元）．

仿情形1的讨论，购（元）物品一次性付款应为（元）．

练一练

1．某商品的进价为元，售价为元，则该商品的利润率可表示为_______．

2．某商店老板将一件进价为元的商品先提价，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为_______元．

3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共带省元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠．

4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为________．

5．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_______元．

6．甲用元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）．

A．盈亏平衡B．盈利元C．盈利元D．亏损元

7．年爆发的世界金融危机，是自世纪年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（）．

A．B．

C．D．

8．某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（）．

A．B．C．D．

9．某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（）．

A．新B．折C．折D．折

10．某商场对顾客实行优惠，规定：

①如一次购物不超过元，则不予折扣