七年级数学思维探究9绝对值与方程含答案.docx

1、七年级数学思维探究9绝对值与方程含答案商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作周髀算经中记录着商高和周公的一段对话商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的9绝对值与方程解读课标绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解

2、绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解其基本类型有：1最简绝对值方程形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与2含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解问题解决例1 方程的解是_试一试 原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解例2 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，的大小关系为（ ）A B C D试一试 从方程有解的条件入手例3 解下列方程：（1）；（2）；（3）试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程

3、；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解例4 如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数点为数轴上一动点，其对应的数为（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？试一试 由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程例5 讨论关于的方程的解的情况分析与解 与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况故寻求这种关系是解本例的关键，

4、利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：（1）当时，原方程有两解；（2）当时，原方程有无数解；（3）当时，原方程无解数学冲浪知识技能广场1若是方程的解，则_；又若当时，则方程的解是_2方程的解是_；_是方程的解；解方程，得_3如果，那么的值为_4已知关于的方程的解满足，则的值为（ ）A或 B或 C或 D或5若，则等于（ ）A或 B或 C或 D或6方程的解的个数为（ ）A个 B个 C无数个 D不确定7解下列方程（1）； （2）；（3）； （4）8求关于的方程的所有解的和9解方程10已知、都是整数，且

5、，则_11若、都满足条件，且，则的取值范围是_12满足方程的所有的和为_13若关于的方程有三个整数解，则的值为（ ）A B C D14方程的整数解的个数有（ ）A B C D15若是方程的解，则等于（ ）A B C D16解下列方程（1）；（2）17当满足什么条件时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园18如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足（l）求线段的长；（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动

6、，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值19已知，求的最大值和最小值微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在的方格中填入个不同的

7、数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解例1 如图，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等问：图中左上角的数是多少？试一试 虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图）例2 如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：，和使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的

8、值，并给出一种填数法试一试 如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手整体核算法整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理例3 如图，、分别代表，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？分析与解 设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：，故先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，由此可以求得图对照图与图中各数的位置，可看到当然也可以有另一解法将含、含、含、含、含与含的个小圆

9、内个数求和，可得：，即，所以练一练1将到这个自然数填入图中的个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_，对应的每一条直线上的个数的和是_2请构造“幻角”，将这个整数填入图中的小三角形内（和已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于3请将，这个数分别填入图中方阵的个空格，使行、列、条对角线上的个数的和都是4如图，、均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求的值5如图是一个的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值6图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列个数：，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积

10、相等，求的值7幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图，洛书中行、列以及条对角线上的点数之和都等于，是一种“阶幻方”（如图）我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在续古摘奇算法一书中给出从阶到阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想例如，用，构造阶幻方的方法是：先将，依次排成图，然后以外四角对换，即与对换，与对换，再以内四角对换请你在图中填写用这种“对换”方法得出的阶幻方8把数字，分别填入图中的个圈内，要求三角形和三角形的每条边上三个圈内数字之和都等于（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论微探究商品的利润商品的利润

11、涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础（1）；（2）利润=售价-进价；（3）售价=进价+利润=进价（利润率）例1 一家商店将某件商品按成本价提高后，标价为元，又以折出售，则售出这件商品可获利润_元试一试 从求出成本价切入例2 某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（ ）A B C D试一试 利用获利不变建立方程例3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了，为了赚钱，开发商把售价提高了倍，利润率比原来增加了，求开发商原来的利润率

12、试一试 因售价=成本（利润率），故还需设出成本例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于元，则不予优惠；（2）若一次购物满元，但不超过元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予折优惠小明两次去该超市购物，分别付款元与元现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解 第一次付款元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论情形l 当元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为元，又，其中元为购物元打九折付的钱，元为购物打八折付的钱，（元）因此，元所购物品的原价为（元

13、），于是购买小明花（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付（元）情形2 当元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为（元）仿情形1的讨论，购（元）物品一次性付款应为（元）练一练1某商品的进价为元，售价为元，则该商品的利润率可表示为_2某商店老板将一件进价为元的商品先提价，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为 _元3某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共带省元，则用贵宾卡又享受了_折优惠4某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为_5一商场对某款羊毛衫进行换季打折销

14、售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_元6甲用元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（ ）A盈亏平衡 B盈利元 C盈利元 D亏损元7年爆发的世界金融危机，是自世纪年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（ ）A B C D 8某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（ ）A B C D9某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（ ）A新 B折 C折 D折10某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过元，则不予折扣