小学奥数几何五大模型等高模型.docx
《小学奥数几何五大模型等高模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数几何五大模型等高模型.docx（79页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
小学奥数几何五大模型等高模型
模型一三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积底高2
从这个公式我们可以发现：
三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时
1
发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来
3
的一样.这就是说：
一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同
时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:
1等底等高的两个三角形面积相等；
2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图Si:
S2a:
b
3夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SaacdSaBCD；
反之，如果SaacdSabcd，则可知直线AB平行于CD•
4等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形。
【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考:
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:
【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：
三角形ABD的面积12高26高
三角形ABC的面积（124）高28高
三角形ADC的面积4高22高
4
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的-倍；
3
三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。
A^vviB
WNFDC
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326（平方厘米）。
【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积
是平方厘米。
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。
【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12,则它内部阴影部分的面积是。
B
E
C
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为-2012120。
2
【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。
【解析】
本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH、CH。
•••AEEB,
--SXAEHSXBEH•
【巩固】
同理,
二S阴影
BFHSxCFH
知形ABCD
SVCGH=SVDGH,
1
-5628（平方厘米）•
2
图中的
分的面积是
E、F、G分别是正方形
ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
O
【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的
方形的顶点相连，把整个正方形分割成了
3个边就都被分成了相等的三段。
把H和这些分点以及正
9个形状各不相同的三角形。
这9个三角形的底边分别是
在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。
阴影部分被分割成了3个三角形，右
边三角形的面积和第1第2个三角形相等：
中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形
的面积和第5个第6个三角形相等。
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等
于正方形面积的三分之一。
正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例5】
G为各边中点,
H为AD边上任意一点，问阴影部分面积
【解析】
长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、是多少？
解法一：
寻找可利用的条件，连接
BH、
HC，如下图:
可得:
:
SEHB—SAHB、
2
Sfhb
—SCHB、Sdhg
2
1s
sdhc，
2
而Sabcd
SAHB
SCHB
SCHD
36
即s
EHBSBHFSDHG
1
（S,
AHBSCHBSCHD）
1
-36
18；
2
2
而S
EHBSBHFSDHG
S阴影
Sebf，Sebf
BEBF
11
（■
AB）i
1
（BC）
1
36
4.5
2
22
2
8
所以阴影部分的面积是：
S阴影
18Sebf18
4.513.5
解法「
二：
特殊点法。
找
H的特殊点，把H点与
D点重合，
O
【例6】
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分的面积就是DEF的面积,
S阴影SabCDSAEDSBEFScfd
36
根据鸟头定理,
111
36-
222
则有:
1丄
22
36
36
13.5。
长方形ABCD的面积为36，E、
多少？
G为各边中点,
H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是
【解析】
（法1）特殊点法。
由于
那么阴影部分的面积就是
AEF与
ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD
11
面积的-和-，所以阴影部分面积为长方形
ABCD面积的
113
，为36
3
-13.5。
84
848
8
（法2）寻找可利用的条件，连接BH、
HC，如右上图。
1
可得：
SEHBSAHB、
SFHBSCHB、
SDHGSDHC，
而SABCD
SAHB
SCHBSCHD36，
2
2
2
即SEHBSBHFSDHG
1
（SAHBS
CHB
1
SCHD）36
18；
2
2
11
（
22
1
BC）364.5。
8
而SEHBSBHFSDHG
S阴影SEBF
S
1
ebf—BEBF
2
1
AB）（-
2
所以阴影部分的面积是：
S阴影18
SEBF
184.513.5
。
H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图）
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,分别与P点连接，求阴影部分面积。
【解析】（法1）特殊点法。
由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴
11
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的-和-，所以阴影部
46
211
分的面积为6（--）15平方厘米。
46
（法2）连接PA、PC。
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
1
之和等于正方形ABCD面积的丄，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面
4
1211
积的-，所以阴影部分的面积为6（--）15平方厘米。
646
【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD12厘米，DE3厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
C
【解析】因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，
于是：
三角形ABC的面积BC122BC6
三角形EBC的面积BC32BC1.5
所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍.
【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
【解析】VAEC、VAFC、VABF.
【巩固】如图，在VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与VABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
【解析】3个，VAEC、VBED、VDEC.
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?
【解析】VABD与VACD,VABC与VDBC,VABO与VDCO.
【例9】
（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形ABC的面积为1，其中AE的面积是多少？
3AB,BD2BC，三角形BDE
【解析】
又.BD2BC，…SVbde
2Svbce4Svabc4.
连接CE,TAE3AB,•••BE2AB,Svbce2Svacb
【例10】（2008年四中考题）如右图，ADDB,AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC
的面积是平方厘米.
B
1
【解析】
i
连接CD•根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的-,DAC的面积为ABC面积的-，所
32
以DEF的面积为ABC面积的£3
1
•而DEF的面积为5平方厘米，所以ABC的面积为
6
1
5-30（平方厘米）.
6
【巩固】
D是BC的中点,
AD的长是AE长的
3倍，EF的长是BF
【解析】
图中三角形
ABC的面积是180平方厘米,
VABD,VABC等高，所以面积的比为底的比，有
Svabd
B/abc
BD
BC
所以Svabd=
SvABC
1
-18090（平方厘米）•同理有Svabe
2
AE
AD
Svabd
3
9030（平方厘米），
Svafe
BE
S/ABE
3022.5（平方厘米）.即三角形AEF
的面积是22.5平方厘米.
【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积.
【解析】vy是BD的中点，Z是DY的中点，•••ZY
11
又VABCD是长方形，•Svzcy_Svdcb—
44
11
1
DB,
Svzcy—Svdcb,
22
4
1
—Syabcd24
（平方厘米）.
2
【巩固】如图，三角形ABC的面积是
24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形
DEF的面积.
【解析】三角形ADC的面积是三角形
ABC面积的一半24212,
三角形ADE又是三角形ADC面积的一半1226.
三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积623•
【巩固】如图，在三角形ABC中，BC8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形
EBF的面积是多少平方厘米?
【解析】•/F是AC的中点
S/ABC2SvaBF
同理S/ABF2S/BEF
•-S/BEFS/ABC486246（平方厘米）•
点E、F和G分别是它们所在边的中点•如果长方形的面积是个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.
【例11】如图ABCD是
个长方形,
36
【解析】
【巩固】
【解析】
【例12】
S矩形DEFC2S矩形ABCD
如右图分割后可得，S/EFG
43649（平方单位）.
（97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1,那么，阴影部分的面积是多少？
连接BM，因为M是中点所以
1
312
M是AD边的中点,
△ABM的面积为-又因为
4
2AN
N在AB边上，且2ANBN.
BN,
所以△BDC的面积为
11
—，又因为△BDC面积为1,所以阴影部分的面积为:
1
1—
12
_5
12
如图，大长方形由面积是形组合而成•求阴影部分的面积.
12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、
48平方厘米的四个小长方
I2cm2
48cm2
12
则
1,
【解析】如图，将大长方形的长的长度设为
AB
111
所以MN-—一，阴影部分面积为
3412
（12
1,CD
4
1
243648）-
2
1236
1
24483'
12
24
5（cm2）.
【例13】如图，三角形ABC中，DC2BD,CE
的面积是多少？
3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC
【解析】TCE3AE，二AC4AE,Svadc4Svade；
又•/DC2BD,•••BC1.5DC,Svabc1.5S/adc6Svade120（平方厘米）•
【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、
三角形BCD的面积分别是89,28,26•那么三角形DBE的面积是•
【解析】根据题意可知，SAdcSaDeSDce8928117,所以BD:
ADSbdc：
Sadc26:
1172:
9,
那么SDBE:
SADEBD:
AD2:
9,
皿2227
故Sdbe89—（901）一20—19一•
9999
【例15】（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形
BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,
它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.
【解析】
D
E
三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等,
如右图，作AB的平行线DE.
三角形DEC的面积就
是三角形BDC与三角形ABD的面积差
1054（分米），梯形面积是：
15
（10平方分米）.从而，可求出梯形高（三角形
4230（平方分米）.
DEC的高）是:
【例16】
图中VAOB的面积为
2
15cm，线段
OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【解析】在VABD中，因为Svaob
2
15cm，且OB3OD，所以有S/aod
Svaob
35cm2.
因为VABD和VACD等底等高，所以有SvabdSvacd.
222
从而Svocd15cm，在VBCD中，Svboc3Svocd45cm，所以梯形面积：
155154580（cm）.
【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.
VABD面
【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A处，VABD与
积相等，从而VADC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形VADC•问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB
A点.
连接BD;
过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.
连接AD，则VACD与四边形ABCD等积.
的延长线交于具体做法：
⑴
【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形
面积的15%，黄色三角形面积是21cm2.问：
长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿
色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形
2
60（cm）.
面积占长方形面积的50%15%35%.
已知黄色三角形面积是21cm2，所以长方形面积等于2135%
【例19】
O是长方形ABCD内一点，已知积是多少？
OBC的面积是5cm2,
OAB的面积是
2_,
2cm，求OBD的面
【解析】
【例20】
由于ABCD是长方形，所以Saod
则SBOCSOABSOBD,所以SOBD
1
Sboc—Sabcd，而SABD
2
SBOCSOAB
1
—Sabcd，所以
2
523cm2.
SAODSBOCSabd,
如右图，过平行四边形
ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若
PBD的面积为8平方
分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米?
【解析】根据差不变原理，要求平行四边形
PHCF的面积与平行四边形
PGAE的面积差，相当于求平行四边
形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.如右上图，连接CP、AP・
由于SBCPSADPSABPSBDP
1、
SADPSabCD，所以SBCP
2
SABPS
BDP・
11
而SBCPS
22
所以SBCFESABHG2SBCPSABP2SBDP16（平方分米）・
【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20,
求阴影BPD的面积.
【解析】
连接AC交BD于O点，并连接PO・如下图所示,
可得PO//DC，所以
SBPOSCPOSBPO
、1
因为SSabCD
4
DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有:
SpdoSbpd,
1
-205，所以Sbpd15510・
4
【巩固】
并连接PO・如右上图所示,
连接AC交BD于O点,
5，求阴影BPD的面积.
【解析】
可得PO//DC，所以
SBPOSCPOSBPO
、1
因为SSabCD
4
DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有：
SpdoSbpd,
3，所以Sbpd532・
【例22】在长方形ABCD内部有一点0,形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方形面积
的18%，那么阴影AOC的面积是多少？
【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去DOC的面积（长方形面积的
18%），再减去AOD的面积，即
可求出AOC的面积.
11
根据模型可知ScodSAOB—SabCD，所以SabCD16（—18%）
22
又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半,
1
形面积的丄，
4
50,
所以
AOD的面积等于长方
1
所以SaocSacdSAODScod—Sabcd25%Sabcd18%Sabcd
2
2512.5
3.5.
【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形
ABCD中，E、F
分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG的面积为15cm2，而BCG的
面积恰好是梯形ABCD面积的—，则梯形ABCD的面积是
20
2cm
【解析】如果可以求出ABG与CDG的面积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占
梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积.
如图，连接CE、DE•则SAEGSDEG,SBEGSCEG，于是SABGSCDGSCDE.
要求CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形ABCD绕F点旋转180，变成一个平行四边形.如下图所示：
1
半.（也可以根据
2
111
SAEDSAFD—SADC,SBECSAED—SABC—SADC
222
那么，根据题意可知ADG的面积占梯形ABCD面积的
1
-Sabcd得来）
2
173
1一一一，所以梯形ABCD的面积是
22020
32
15100cm.
20
小结：
梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，
这是一个很有用的结论.本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重合，则CDE
的面积占梯形面积的一半，那么ADG与BCG合起来占一半.
【例24】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.
F
【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明：
连接BE•（我们通过△ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.）
1
•••在平行四边形ABCD中，Saabe-ABAB边上的高，
2
1
ABE—SwABCD-
2
1
同理，Saabe-Syaegf,•平行四边形ABCD与AEGF面积相等.
2
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形）•三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明：
连接AG•（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起
1
•••在正方形ABCD中，SaABG-ABAB边上的高，
2
••（△ABG1SwABC
升级会员 