大学毕业论文-—导数在中学数学中的应用.docx
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江西师范大学09届学士学位毕业论文
学士学位毕业论文
导数在中学数学中的应用
Applicationofderivativeinthemiddleschoolmathematics
【摘要】本文主要对导数在中学数学中的几个方面进行了详细的归纳和总结。
首先，总体对导数在中学中的应用进行整理和分析，分为在求函数单调性与极值方面的应用，在几何方面的应用，在不等式方面的应用，在数列方面的应用以及在解决实际问题方面的应用。
第一方面中，提出应用导数判断函数单调性，求函数极值、最值三个小节。
第二个方面中，主要提出应用导数求解曲线的切线方程的方法分为三个小节，重点指出求二次曲线的切线方程。
第三个方面中重点提出应用导数证明不等式及求解不等式。
第四个方面，利用导数解决数列问题。
第五
个方面，除了利用导数解常规问题外，还提出导数关于中心图形题型的应用。
【关键词】中学数学导数
应用
导数的应用
II
Abouttheapplicationofderivative
Chen bin
【Abstract】Thispaperconcludesandsummarizesseveralderivativesofmathematicsinsecondaryschoolsintheaspectsof.Firstofall,thecollationandanalysisoftheapplicationofderivativeinthemiddleschool,dividedintoapplicationinthefieldoffunctionmonotonicityandextreme,applicationsingeometricterms,usedininequality,applicationinsequenceandtheapplicationinsolvingpracticalproblems.Thefirstaspect,proposedtheapplicationofderivativejudgemonotonicityoffunction,functionextremum,thevalueofthreesections.Insecondaspects,mainlyproposedtangentequationapplicationderivationcurveisdividedintothreesections,andpointsoutthetangentequationoftwoconics.Thirdaspectsandputsforwardtheapplicationofderivativetoproveinequalityandinequality.Fourth,theuseofderivativetosolvetheseriesofproblems.Fifthaspects,inadditiontousingderivativesolutionroutineproblems,applicationofderivativeofgraphictypesarealsopresented.
【Keywords】Middleschoolmathderivative application
目录
1序言 1
2导数在函数方面的应用 2
2.1函数单调性的讨论 2
2.2函数的最值（极值）的求法 3
2.3函数的图象的作法 5
3导数在几何方面的应用 6
3.1应用导数的几何意义，求解一般曲线的切线和法线 6
3.2求曲线以参数方程给出的切线和法线方程 9
3.3二次曲线以隐式给出求其切线方程 9
4导数在证明不等式方面的应用 11
5导数在解决实际问题方面的应用 13
6导数在其他方面的应用 14
结论 17
参考文献 18
I
序言
导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。
导数在解决函数单调性问题，求函数极值和最值，不等式证明以及解决解析几何中与切线有关的问题和最值问题有着广泛的应用。
其方法较传统的方法简洁、灵活，而导数与函数、不等式、解析几何、数列、向量等知识结合起来，也使命题的设计更加广阔了。
作为一名数学系的本科毕业生，导数是我们学习内容的基础。
而作为未来的一名数学教师，数学教材又是我们的教学材料。
我们应该二者有机的结合起来，才能使自己成为一名优秀的高中数学老师。
本文拟通过举例说明导数在证明函数单调性、求函数最值、不等式证明、求曲线的切线、数列求和等方面的应用。
突出导数法解决问题的特点以开阔视野、拓宽解决问题的思路。
9
2导数在函数方面的应用
运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。
解决这一类型的题往往采用新旧结合以旧代新方法解决旧问题。
2.1函数单调性的讨论
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。
通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断 正负较困难。
运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出 ，再考虑 的正负即可 。
此方法简单快捷而且适用面广。
当
得
当
得
例1 判定函数 和 在 上的增减性。
解
所以在 内单调增加，在内单调减少。
，故
在 上单调增加。
例2求函数 的单调区间.
分析：
这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这个题目中，需要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性
质.首先对 求导，得到 ；再令 或 ，通过解关
于的不等式，得到 的单调递增（减）区间.根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上.
∵
解
令
或
解得
当 时， 是增函
数.
再令
或
解得
当 时， 是减函数.
单调减区间 ；
单调递增区间 .
2.2函数的最值（极值）的求法
最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。
一般地，函数 在闭区间[a，b]上连续，则 在[a，b]上的最值求法 ：
①求函数 在（a，b）上的驻点；
②计算 在驻点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3求函数f（x）
1x3
3
1x2
2
1
2x 的极值。
3
分析要求一个函数的极值，我们先求出函数的驻点，在对驻点进行比较，就可以知道极值。
解Qf（x）
1x3
3
1x2
2
2x 1
3
f（x） x2 x 2
令
f（x）
x2 x 2 0
解得：
x1
1,x2
2（驻点）
又Qf
（x）
2x 1
在驻点处的二阶导数值分别为：
f
（x1）
3，f
（x2） 3
所以：
f
（x1）
0，原函数在x1
3
1处取得极大值f（x1） 2
f（x2）
0，原函数在x2
2处取得极小值f（x2） 3
例4已知函数
f（x）
x3 ax2
3x，x
1是f（x）的极值点，求f（x）在
3
[1，a]上的最大值。
解 由函数f（x）
x3 ax2
3x导可得f
（x）
3x2
2ax 3
x 1
3是f（x）的极值点，
所以有f（ 1）
3
1 2a 3
3 3
0，得a 4
所以f（x）
令f
x3
（x）
4x2 3x
3x2 8x 3
0，解得x
1
2
1（舍去），x
2
3
3则
x
1
（1,3）
3
（3,4）
4
f（x）
—
0
+
f（x）
-6
-18
-12
所以f（x）在[1，4]上的最大值为f
（1） 6。
2.3函数的图象的作法
中学数学教材中介绍的描点法作函数图象，作图比较粗糙不准确，一般只适用于简单的函数，但对比较复杂的函数就很难作出。
现用导数的知识来作函数图
象就相当的简便。
作函数图象的一般程序 ：
①求出函数的定义域；
②求函数的一阶导、二阶导所对应的零点值
③考察函数的奇偶性、周期性；
④确定函数的单调区间，极值点，凸性区间及拐点列表；
⑤考察渐近线；
⑥画图
例5作函数 图象。
解⑴函数的定义域
⑵由
解得
由
解得
⑶函数显然为非奇非偶函数
⑷现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点
-5
-2
1
+
0
—
—
—
0
+
—
—
—
0
+
+
+
↗凹
80极大 ↘凸
26拐点 ↘凹
-28极小 ↗凹
⑸无渐近线
⑹作图：
3导数在几何方面的应用
3.1应用导数的几何意义，求解一般曲线的切线和法线
在解析几何中，我们求曲线的切线和法线，只需要知道曲线的方程
和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程和法线方程.
下面给出求曲线的切线和法线方程的方法步骤：
[2]①通过求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出
切线方程：
法线方程：
例1 试求曲线
解 对函数
上点
的切线以及法线方程.
求导得
所以
所以在点
的切线方程为
即
又因为法线方程
即
所以切线方程：
，法线方程：
小结
（1）一般地常见的错误有：
没有运用点在抛物线上这一条件或者是先求出过点这点的切线方程，然后由两直线重合产生一个方程，忽略点在曲线上这一条件.
（2）导数的几何意义在数学的学习过程中会经常用到，解题要充分运用这一条件，同时还要注意已知曲线上某点的切线这一条件的双重含义.
例2已知曲线与 ，其中且都为可导函数，求证：
两曲线在公共点处相切.
分析 两曲线的公共点为 ，则
即
所以 所
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