届河南省名校联考高三联考四数学理试题解析版.docx

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届河南省名校联考高三联考四数学理试题解析版

2019届河南省名校联考高三联考（四）数学（理）试题

一、单选题

1．若复数满足，则（）

A．1B．C．D．

【答案】C

【解析】化简为的形式，再求.

【详解】

依题意，故，故选C.

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.求解与复数概念相关问题的技巧：

复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.

2．若集合，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.

【详解】

因为，所以,选B.

【点睛】

本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.

3．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过的为（）

A．腾讯与XX的访问量所占比例之和

B．网易与搜狗的访问量所占比例之和

C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和

D．新浪与小说的访问量所占比例之和

【答案】B

【解析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过的选项.

【详解】

由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.

4．为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）

A．先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

B．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变

C．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变

D．先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变

【答案】A

【解析】根据三角函数图像变换规律作出判断.

【详解】

函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,

函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,

函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,

函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,

所以选A.

【点睛】

本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.

5．已知双曲线：

的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.

【详解】

因为满足，所以在双曲线右支，

因此,

又为等腰三角形，所以,

因为,所以，选B.

【点睛】

本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.

6．若，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由，得，化简，代入求值即可.

【详解】

由，得，则

故选：

D

【点睛】

本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题

7．已知抛物线：

与圆：

交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）

A．B．3C．D．6

【答案】A

【解析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.

【详解】

圆：

可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.

【点睛】

本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.

8．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.

【详解】

最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.

【点睛】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.

9．若，，，则实数，，的大小关系为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.

【详解】

，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.

【点睛】

本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.

10．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．

【详解】

程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，

则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…

则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，

第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，

故条件为i＞2022？

，

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.

11．在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.

【详解】

取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.

【点睛】

本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.

12．已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】A

【解析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.

【详解】

因为，所以

由题意得在上不单调，因为，所以,

当时,,,当时,,,

因此，选A.

【点睛】

本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.

二、解答题

13．已知等差数列的前项和为，且，.

（Ⅰ）证明：

是等差数列；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；

（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.

【详解】

设等差数列的公差为，，则，解得.

所以，解得，所以.

所以.所以.

因为当时，,当时，,

故是首项为，公差为的等差数列.

（II）由可知，故.

故.

两式相减可得.

故.

【点睛】

本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.

14．如图，在四棱锥中，与交于点，，，.

（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.

（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.

【详解】

（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.

（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，所以，，，，则，，，.

设平面的一个法向量为，则有即

设，则，所以.

设平面的个法向量为，则有即

令，则，所以.

所以.

因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题.

15．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.

（Ⅰ）求得分在上的频率；

（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.

【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.

【解析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；

（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；

（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．

【详解】

（I）依题意，所求频率.

（II）由

（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：

即问卷调查的平均得分的估计值为.

（III）依题意，.

故,.

.

故的分布列为：

故.

【点睛】

本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．已知椭圆：

，点，.

（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；

（Ⅱ）若直线：

与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）

【解析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；

（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.

【详解】

（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得

即故直线的斜率

（II）联立可得，由可得，解得.设

由根与系数的关系可得

又点到直线的距离

当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.

17．已知函数.

（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，求证：

.

【答案】

（1）

（2）见证明

【解析】

（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.

（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.

【详解】

（1）由题可知.

令，即，当时有.

令，则.

所以当时，，所以在上单调递增.

所以，即，故实数的取值范围为.

（2）令，则.

故.

构造函数，则.

所以在上单调