台中县第47届中小学科学展览会.docx

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台中县第47届中小学科学展览会

台中縣第47屆中小學科學展覽會

作品說明書

科別：

數學科

組別：

國中組

作品名稱：

畫中有畫，案藏玄機

關鍵字：

線對稱、反射圖形

編號：

畫中有畫，案藏玄機

摘要：

定義在任何圖形內，遵守一般撞球以入射角等於反射角的原理所形成的封閉軌跡為反射圖形，但是並非全部的圖形必有反射圖形，舉凡我們證明的非直角的菱形便沒有，我們從三角形及四邊形著手，從這找出一些規律，期望能推廣到多邊形，由於可著手的地方很多，因此我們歸納完三角形及四邊形後，大膽假設圓內接多邊形且線對稱的圖形具有反射圖形，並且設法證明之。

壹、研究動機：

原本我們科展是以「撞球」當為研究主題，不料過程中發現撞球軌跡在完美沒阻力情況下，是可以遵守入射角等於反射角形成一封閉圖形，而且此圖形在撞球桌為長方形時並不只有菱形，「平行四邊形」也是其中一種，而且也許反射有週期，經過數次後會接回原圖形形成一個封閉圖形，因此我們便捨棄原本的撞球，以僅剩的時間研究此主題，並且把裡面的封閉圖形命名為─反射圖形，但此次只有討論非週期性的反射圖形。

貳、研究目的

1、定義反射圖形

2、找出三角形及四邊形的所有反射圖形

3、歸納推論結果

參、研究設備或器材

紙、筆、電腦軟體

肆、研究過程或方法

1、定義反射圖形：

反射圖形即是一圖形

內，設有P一點，若P點撞擊

圖形內的任何一邊，因遵循「入設角等於反射角」的原理，則P點繼續前進，當撞擊到第二個邊時又會遵循「入射角等於反射角」的原理，反射後繼續前進。

有時點P不會重複撞擊圖形

的任一邊兩次以上即運行回原點，或點P具週期性，撞擊數次後會回到原點並沿著原來的軌跡繼續前進。

而若發生以上兩種情況，則點P的運行軌跡所連成的圖形S稱為「反射圖形」。

反射原理

如下圖，當球從A直線方向進入，撞到牆壁後，其反彈的方向遵循著「入射角等於反射角」的原理，會從B方向反彈，並不是毫無規律可言，其中θ1為入射角，θ2為反射角，所以我們可以得知θ1=θ2。

θ1θ2

如下圖長方形裡面的菱形並很明顯是個反射圖形，在無阻力的情況，球可以沿著菱形EFGH永無停止的前進。

2、歸納及過程

我們先對三角形和四邊形下手，先將裡面的反射圖形畫出後，在著手畫外面的圖形，先看是否能找出規律來，在設法去作推廣的動作，如下：

（標題的形狀為裡面反射圖形的名稱！

）

1.正三角形

外面形狀為正三角形

2.等腰三角形

外面形狀為等腰三角形。

3.等腰直角三角形

外面形狀為等腰三角形。

4.直角三角形

外面形狀為一個三角形

5.菱形

外面形狀為一個長方形。

6.長方形

外面形狀為一個正方形。

7.正方形

外面形狀為一個正方形。

8.不規則梯形

外面形狀為一個圓內接四邊形。

9.等腰梯形

外面形狀為一個兩直角鳶形。

10.兩直角梯形

外面形狀為一個圓內接四邊形。

11.平行四邊形

外面形狀為一個長方形。

12.鳶形

外面形狀為一個等腰梯形。

將以上整理如下表

反射圖形與性質

外型與性質

反射圖形

線對稱圖形

圓內接四邊形

外形

線對稱圖形

圓內接四邊形

正三角形

◎

正三角形

◎

等腰三角形

◎

等腰三角形

◎

等腰直角三角形

◎

等腰三角形

◎

直角三角形

無規律

菱形

◎

長方形

◎

★

長方形

◎

★

正方形

◎

★

正方形

◎

★

正方形

◎

★

不規則梯形

不規則四邊形

★

梯形（等腰梯形）

◎

★

鳶形

◎

★

梯形（等腰梯形）

◎

★

等腰三角形

◎

梯形（兩直角梯形）

兩直角四邊形

★

平行四邊形

長方形

◎

★

鳶形

◎

皆可

梯形（等腰梯形）

◎

★

？

平行四邊形

？

鳶形

◎

※標示記號者代表符合性質.

由於等腰三角形可劃一條平行底邊的線成為一等腰梯形，因此我們判定等腰三角形外面也可有等腰梯形。

由於並未發現外面圖形有非圓內接平行四邊形及鳶形，因此我們懷疑此兩種圖形裡面可能並沒有四邊形的反射圖形，便著手證明：

證明非長方形之平行四邊形內無反射圖形

設有一平行四邊形，其圖形內有反射圖形。

（如下圖）

由上圖可得知，θx+θy=θd+θz、θy+θz=θx+θd。

（平行四邊形）

則θx+θy-θd-θz=0、θy+θz-θx-θd=0。

（移項整理）

聯立方程式

得知θx=θz、θy=θd。

而反射圖形四角相加，θα+θβ+θγ+θδ=360°。

（四邊形內角和必定為360°）

∴（180°×4）-（90°×4）=360°

（邊ABCD總和角-（θα+θβ+θγ+θδ））

360°÷4=90°（圖形任一邊-反射圖形任一角）

∵90°÷2=45°

∴得知θx=θy=θz=θd=45°

而Δ內角和=180°，故180°-（45×2）=90°

∴θ1=θ2=θ3=θ4=90°即非長方形之平行四邊形內無反射圖形。

證明無兩直角之鳶形無反射圖形

設有一鳶形，其圖形中有反射圖形。

〈如下圖〉

證明如下：

∵外圖形為鳶形，則反射圖形對角相加

必為180°。

（因θα=θβ、θγ=θδ）

∴θα+θδ=180°、θβ+θγ=180°

故θy+θd=θx+θz（對稱關係）

而（180°×4）-（90°×4）=360°

（邊ABCD總和角-

（θα+θβ+θγ+θδ））

∴2（θx+θy+θz+θd）=360°

θx+θy+θz+θd=180°

故θy+θd=90°、θx+θz=90°

又因此θy+θz=90°、θx+θd=90°

且θd=θz、θy=θx，

θx=θy、θz=θd

∴θ1+θ3=180°、θ2+θ4=180°

而θ2=θ4

故θ2=90°

θ4=90°

證明無兩直角之鳶形無反射圖形。

說明以上兩種圖形也不繪有三角形的反射圖形：

由於三角形任意兩邊不平行，因此任意對三角形作切割一次，頂多只能作出一雙對邊平行的梯形，所以上述兩種圖形也不會有三角形的反射圖形。

再將此結果作一個統整表：

伍、研究結果

反射圖形與性質

外型與性質

反射圖形

線對稱圖形

圓內接四邊形

外形

線對稱圖形

圓內接四邊形

正三角形

◎

正三角形

◎

等腰三角形

◎

等腰三角形

◎

等腰直角三角形

◎

等腰三角形

◎

直角三角形

無規律

菱形

◎

長方形

◎

★

長方形

◎

★

正方形

◎

★

正方形

◎

★

正方形

◎

★

不規則梯形

不規則四邊形

★

梯形（等腰梯形）

◎

★

鳶形

◎

★

梯形（等腰梯形）

◎

★

等腰三角形

◎

梯形（兩直角梯形）

兩直角四邊形

★

平行四邊形

長方形

◎

★

鳶形

◎

皆可

梯形（等腰梯形）

◎

★

無圖形

平行四邊形

無圖形

鳶形

◎