第5章数控机床的控制原理.docx
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第5章数控机床的控制原理
第5章数控机床的控制原理
5.1概述
5.1.1插补的基本概念
插补技术是数控系统的核心技术。
在数控加工过程中，数控系统要解决控制刀具或工件运动轨迹的问题。
在数控机床中，刀具或工件能够移动的最小位移量叫机床的脉冲当量或最小分辨率。
刀具或工件是一步一步移动的，移动轨迹是由一个个小线段构成的折线，而不是光滑的曲线。
也就是说，刀具不能严格地按照所加工的零件廓形（如：
直线、圆弧或椭圆、抛物线等其他类型曲线）运动，而只能用折线逼近所需加工的零件轮廓线型。
根据零件轮廓线型上的已知点，如：
直线的起点、终点，圆弧的起点、终点和圆心等，数控系统按进给速度的要求、刀具参数和进给方向的要求等，计算出轮廓线上中间点位置坐标值的过程称为“插补”（Interpolation）。
插补的实质就是根据有限的信息完成“数据密化”的工作。
数控系统根据这些坐标值控制刀具或工件的运动，实现数控加工。
插补运算具有实时性，其运算速度和精度直接影响数控系统的性能指标。
例如，如图5-1所示，数控机床加工廓形是直线OE的零件时，已知的信息仅为直线的终点坐标（xe,ye），经插补运算后，刀具或工件的进给运动轨迹，即该直线段的插补轨迹。
插补运算后的中间坐标点可以O、A′、A、B′、B、C′、C、D′、D、E′、E，也可以是O、A″、A、B″、B、C″、C、D″、D、E″、E，或O、A、B、C、D、E等。
图5-1插补轨迹
5.1.2插补方法的分类
数控系统中完成插补运算工作的装置或程序称为插补器，根据插补器的不同结构，可分为硬件插补器、软件插补器及软、硬件结合插补器三种类型。
早期的NC数控系统使用硬件插补器，它由逻辑电路组成，特点是运算速度快，但灵活性差，结构复杂，成本较高。
CNC数控系统多采用软件插补器，它主要由微处理器组成，通过计算机程序来完成各种插补功能，特点是结构简单，灵活易变，但速度较慢。
随着微处理器运算速度和存储容量的不断提高，为了满足日益增长的插补速度和精度要求，现代CNC数控系统大多采用软件插补或软、硬件插补相结合的方法。
由软件完成粗插补，硬件完成精插补。
粗插补采用软件方法先将加工轨迹分割为线段，精插补采用硬件插补器将粗插补分割的线段进一步密化数据点。
粗、精插补相结合的方法对数控系统运算速度要求不高，并可节省存储空间，且响应速度和分辨率都比较高。
由于直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，因此CNC系统一般都具有直线插补和圆弧插补两种基本功能。
在三坐标以上联动的CNC系统中，一般还具有螺旋线插补。
在一些高挡CNC系统中，已经出现了抛物线插补、渐开线插补、正弦线插补、样条曲线插补和球面螺旋线插补等功能。
插补的方法和原理很多，根据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为基准脉冲插补和数据采样插补两种类型。
1．基准脉冲插补
基准脉冲插补又称脉冲增量插补或行程标量插补，其特点是数控装置在每次插补结束时向各个运动坐标轴输出一个基准脉冲序列，驱动各坐标轴进给电动机的运动。
每个脉冲代表了刀具或工件的最小位移，脉冲的数量代表了刀具或工件移动的位移量，脉冲序列的频率代表了刀具或工件运动的速度。
基准脉冲插补的插补运算简单，容易用硬件电路实现，运算速度很快。
早期的NC系统都是采用这类方法，在目前的CNC系统中也可用软件来实现，但仅适用于一些由步进电机驱动的中等精度或中等速度要求的开环数控系统。
有的数控系统将其用于数据采样插补中的精插补。
基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、比较积分法、数字脉冲乘法器法、最小偏差法、矢量判别法、单步追踪法、直接函数法等。
其中应用较多的是逐点比较法和数字积分法。
2．数据采样插补
数据采样插补又称为数据增量插补、时间分割法或时间标量插补。
这类插补方法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是标准二进制字。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，采用时间分割思想，把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为插补周期。
在每个插补周期内，根据插补周期T和编程的进给速度F计算轮廓步长l＝F·T，将轮廓曲线分割为若干条长度为轮廓步长l的微小直线段；第二步为精插补，数控系统通过位移检测装置定时对插补的实际位移进行采样，根据位移检测采样周期的大小，采用直线的基准脉冲插补，在轮廓步长内再插入若干点，即在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作“数据点的密化”工作。
一般将粗插补运算称为插补，由软件完成，而精插补可由软件实现，也可由硬件实现。
计算机除了完成插补运算外，还要执行显示、监控、位置采样及控制等实时任务，所以插补周期应大于插补运算时间与完成其他实时任务所需的时间之和。
插补周期与采样周期可以相同，也可以不同，一般取插补周期为采样周期的整数倍，该倍数应等于对轮廓步长l实时精插补时的插补点数。
如美国A-B公司的7300系列中，插补周期与位置反馈采样周期相同；日本FANUC公司的7M系统中，插补周期T为8ms，位移反馈采样周期为4ms，即插补周期为采样周期的两倍，此时，插补程序每8ms被调用一次，计算出下一个周期各坐标轴应该行进的增量长度，而位移反馈采样程序每4ms被调用一次，将插补程序算好的坐标增量除以2后再进行直线段的进一步密化（即精插补）。
现代数控系统的插补周期已缩短到2～4ms，有的已经达到零点几毫秒。
由上述分析可知，数据采样插补算法的核心问题是如何计算各坐标轴的增量△x或△y，有了前一插补周期末的动点坐标值和本次插补周期内的坐标增量值，就很容易计算出本次插补周期末的动点指令位置坐标值。
对于直线插补来讲，由于坐标轴的脉冲当量很小，再加上位置检测反馈的补偿，可以认为插补所形成的轮廓步长l与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。
而在圆弧插补中，一般将轮廓步长l作为内接弦线或割线（又称内外差分弦）来逼近圆弧，因而不可避免地会带来轮廓误差。
如图5-2所示，设用内接弦线或割线逼近圆弧时产生的最大半径误差为R，在一个插补周期T内逼近弦线l所对应的圆心角（角步距）为，圆弧半径为R，刀具进给速度为F，则采用弦线对圆弧进行逼近时，由图5-2（a）、（b）可知
舍去高阶无穷小
，则由上式得
（5-1）
采用割线对圆弧进行逼近时，假设内外差分弦的半径误差相等，即1=2=，则由图5-2（b）可知
（5-2）
（a）弦线（b）割线
图5-2弦线、割线逼近圆弧的径向误差
显然，当轮廓步长l相等时，内外差分弦的半径误差是内接弦的一半；若令半径误差相等，则内外差分弦的轮廓步长l或角步距是内接弦的
倍。
但由于采用割线对圆弧进行逼近时计算复杂，应用较少。
从以上分析可以看出，逼近误差与进给速度F、插补周期T的平方成正比，与圆弧半径R成反比。
由于数控机床的插补误差应小于数控机床的分辨率，即应小于一个脉冲当量，所以，进给速度F、圆弧半径R一定的条件下，插补周期T越短，逼近误差就越小。
当给定及插补周期T确定之后，可根据圆弧半径R选择进给速度F，以保证逼近误差不超过允许值。
以直流或交流电机为驱动装置的闭环或半闭环系统都采用数据采样插补方法，粗插补在每一个插补周期内计算出坐标实际位置增量值，而精插补则在每一个采样周期反馈实际位置增量值及插补程序输出的指令位置增量值。
然后算出各坐标轴相应的插补指令位置和实际反馈位置的偏差，即跟随误差，根据跟随误差算出相应坐标轴的进给速度，输出给驱动装置。
数据采样插补的方法也很多，有：
直线函数法、扩展数字积分法、二阶递归扩展数字积分法、双数字积分插补法等。
其中应用较多的是直线函数法、扩展数字积分法。
5.2逐点比较法
逐点比较法又称代数运算法或醉步法，是早期数控机床开环系统中广泛采用的一种插补方法，可实现直线插补、圆弧插补，也可用于其他非圆二次曲线（如椭圆、抛物线和双曲线等）的插补，其特点是运算直观，最大插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。
逐点比较法的基本原理是每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，每走一步都要将加工点的瞬时坐标与理论的加工轨迹相比较，判断实际加工点与理论加工轨迹的偏移位置，通过偏差函数计算二者之间的偏差，从而决定下一步的进给方向。
每进给一步都要完成偏差判别、坐标进给、新偏差计算和终点判别四个工作节拍。
下面分别介绍逐点比较法直线插补和圆弧插补的原理。
5.2.1逐点比较法直线插补
设在X—Y平面的第一象限有一加工直线
，如图5-3所示，起点为坐标原点O，终点坐标为A（xe，ye），则其方程可表示为
图5-3逐点比较法第一象限直线插补
，即：
若加工时的动点为P（xi，yj），则存在三种情况：
1）加工点P在直线上，有
；
2）加工点P在直线上方，有
；
3）加工点P在直线下方，有
。
令
为偏差判别函数，则有：
1）当Fi，j=0时，加工点P在直线上；
2）当Fi，j＞0时，加工点P在直线上方；
3）当Fi，j＜0时，加工点P在直线下方。
从图5—3可以看出，当点P在直线上方时，应该向＋X方向进给一个脉冲当量，以趋向该直线；当点P在直线下方时，应该向＋Y方向进给一个脉冲当量，以趋向该直线；当点P在直线上时，即可向＋X方向也可向＋Y方向进给一个脉冲当量，通常，将点P在直线上的情况同点P在直线上方归于一类。
则有：
1）当Fi，j≥0时，加工点向＋X方向进给一个脉冲当量，到达新的加工点Pi＋1,j，此时xi＋1=xi＋1，则新加工点Pi＋1,j的偏差判别函数Fi+1，j为
（5-3）
2）当Fi，j＜0时，加工点向＋Y方向进给一个脉冲当量，到达新的加工点Pi,j＋1，此时yj+1=yj＋1，则新加工点Pi,j＋1的偏差判别函数Fi，j+1为
（5-4）
由此可见，新加工点的偏差Fi+1，j或Fi，j+1是由前一个加工点的偏差Fi，j和终点的坐标值递推出来的，如果按式（5-3）、式（5-4）计算偏差，则计算大为简化。
用逐点比较法插补直线时，每一步进给后，都要判别当前加工点是否到达终点，一般可采用如下三种方法判别：
1）设置一个终点减法计数器，存入各坐标轴插补或进给的总步数，在插补过程中每进给一步，就从总步数中减去1，直至计数器中的存数被减为零，表示到达终点；
2）各坐标轴分别设置一个进给步数的减法计数器，当某一坐标方向有进给时，就从其相应的计数器中减去1，直至各计数器中的存数均被减为零，表示到达终点；
3）设置一个终点减法计数器，存入进给步数最多的坐标轴的进给步数，在插补过程中每当该坐标轴方向有进给时，就从计数器中减去1，直至计数器中的存数被减为零，表示到达终点。
综上所述，逐点比较法的直线插补过程为每进给一步都要完成以下四个节拍（步骤）：
偏差判别根据偏差值判别当前加工点位置是在直线的上方（或直线上），还是在直线的下方。
起始时，加工点在直线上，偏差值为Fi，j=0；
坐标进给根据判别的结果，控制向某一坐标方向进给一步；
偏差计算根据递推公式（5-3）、（5-4）计算出进给一步、到新加工点的偏差，提供下一步作判别的依据；
终点判别在计算新偏差的同时，还要进行一次终点判别，以确定是否到达了终点，若已经到达，就停止插补。
逐点比较法插补第一象限直线的软件流程图如图5-4所示。
图5-4逐点比较法第一象限直线插补流程图
例5-1设加工第一象限直线
，起点为坐标原点O（0，0），终点为A（6,4），试用逐点比较法对其进行插补，并画出插补轨迹。
插补从直线的起点开始，故F0，0=0；终点判别寄存器E存入X和Y两个坐标方向的总步数，即E＝6＋4=10，每进给一步减1，E=0时停止插补。
插补运算过程如表5-1所示，插补轨迹如图5-5所示。
表5-1逐点比较法第一象限直线插补运算举例
步数
偏差判别
坐标进给
偏差计算
终点判断
起点
F0，0=0
E=10
1
F0，0=0
＋X
F1，0=F0，0－ye=0－4=－4
E=10－1=9
2
F1，0＜0
＋Y
F1，1=F1，0＋xe=－4＋6=2
E=9－1=8
3
F1，1＞0
＋X
F2，1=F1，1－ye=2－4=－2
E=8－1=7
4
F2，1＜0
＋Y
F2，2=F2，1＋xe=－2＋6=4
E=7－1=6
5
F2，2＞0
＋X
F3，2=F2，2－ye=4－4=0
E=6－1=5
6
F3，2=0
＋X
F4，2=F3，2－ye=0－4=－4
E=5－1=4
7
F4，2＜0
＋Y
F4，3=F4，2＋xe=－4＋6=2
E=4－1=3
8
F4，3＞0
＋X
F5，3=F4，3－ye=2－4=－2
E=3－1=2
9
F5，3＜0
＋Y
F5，4=F5，3＋xe=－2＋6=4
E=2－1=1
10
F5，4＞0
＋X
F6，4=F5，4－ye=4－4=0
E=1－1=0
图5-5逐点比较法第一象限直线插补轨迹
以上仅讨论了逐点比较法插补第一象限直线的原理和计算公式，插补其他象限的直线时，其插补计算公式和脉冲进给方向是不同的，通常有两种方法解决：
1）分别处理法
可根据上面插补第一象限直线的分析方法，分别建立其他三个象限的偏差函数的计算公式。
这样对于四个象限的直线插补，会有4组计算公式；脉冲进给的方向也由实际象限决定。
2）坐标变换法
通过坐标变换将其他三个象限直线的插补计算公式统一于第一象限的公式中，这样都可按第一象限直线进行插补计算；而进给脉冲的方向则仍由实际象限决定。
该种方法是最常采用的方法。
坐标变换就是将其他各象限直线的终点坐标和加工点的坐标均取绝对值，这样，它们的插补计算公式和插补流程图与插补第一象限直线时一样，偏差符号和进给方向可用图5-6的简图表示，图中L1、L2、L3、L4分别表示第一、二、三、四象限的直线。
图5-6逐点比较法插补不同象限直线的偏差符号和进给方向
5.2.2 逐点比较法圆弧插补
逐点比较法圆弧插补过程与直线插补过程类似，每进给一步也都要完成四个工作节拍：
偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别。
但是，逐点比较法圆弧插补以加工点距圆心的距离大于还是小于圆弧半径来作为偏差判别的依据。
如图5-7所示的圆弧AB，其圆心位于原点O（0，0），半径为R，令加工点的坐标为P（xi，yj），则逐点比较法圆弧插补的偏差判别函数为
（5-5）
图5-7圆弧插补原理
当F＝0时，加工点在圆弧上；当F＞0时，加工点在圆弧外；当F＜0时，加工点在圆弧内。
同插补直线时一样，将Fi，j=0同Fi，j＞0归于一类。
下面以第一象限圆弧为例，分别介绍顺时针圆弧和逆时针圆弧插补时的偏差计算和坐标进给情况。
1．插补第一象限逆圆弧
1）当Fi，j≥0时，加工点P（xi，yj）在圆弧上或圆弧外，－X方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆内方向进给，到达新的加工点Pi－1,j，此时xi－1=xi－1，则新加工点Pi－1,j的偏差判别函数Fi－1，j为
（5-6）
2）当Fi，j＜0时，加工点P（xi，yj）在圆弧内，＋Y方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆外方向进给，到达新的加工点Pi,j＋1，此时yj+1=yj＋1，则新加工点Pi,j＋1的偏差判别函数Fi，j+1为
（5-7）
2．插补第一象限顺圆弧
1）当Fi，j≥0时，加工点P（xi，yj）在圆弧上或圆弧外，－Y方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆内方向进给，到达新的加工点Pi，,j－1，此时yj－1=yj－1，则新加工点Pi，j－1的偏差判别函数Fi，j－1为
（5-8）
2）当Fi，j＜0时，加工点P（xi，yj）在圆弧内，＋X方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆外方向进给，到达新的加工点Pi＋1,j，此时xi＋1=xi＋1，则新加工点Pi＋1,j的偏差判别函数为Fi+1，j
（5-9）
由以上分析可知，新加工点的偏差是由前一个加工点的偏差Fi，j及前一点的坐标值xi、yj递推出来的，如果按式（5-6）、（5-7）、（5-8）、（5-9）计算偏差，则计算大为简化。
需要注意的是xi、yj的值在插补过程中是变化的，这一点与直线插补不同。
与直线插补一样，除偏差计算外，还要进行终点判别。
圆弧插补的终点判别可采用与直线插补相同的方法，通常，通过判别插补或进给的总步数及分别判别各坐标轴的进给步数来实现。
插补第一象限逆圆弧的插补流程图如图5-8所示。
图5-8逐点比较法第一象限逆圆弧插补流程图
例5-2设加工第一象限逆圆弧AB，起点A（6,0），终点B（0,6）。
试用逐点比较法对其进行插补并画出插补轨迹图。
插补从圆弧的起点开始，故F0，0=0；终点判别寄存器E存入X和Y两个坐标方向的总步数，即E＝6＋6=12，每进给一步减1，E=0时停止插补。
应用第一象限逆圆弧插补计算公式，其插补运算过程如表5-2所示，插补轨迹如图5-9所示。
表5-2逐点比较法第一象限逆圆弧插补运算举例
步数
偏差判别
坐标进给
偏差计算
坐标计算
终点判断
起点
F0，0=0
x0=6 y0=0
E=12
1
F0，0=0
－X
F1，0=F0，0－2x0＋1=0－12＋1=－11
x1=6－1=5 y1=0
E=12－1=11
2
F1，0＜0
＋Y
F1，1=F1，0＋2y1＋1=－11＋0＋1=－10
x2=5 y2=0＋1=1
E=11－1=10
3
F1，1＜0
＋Y
F1，2=F1，1＋2y2＋1=－10＋2＋1=－7
x3=5 y3=1＋1=2
E=10－1=9
4
F1，2＜0
＋Y
F1，3=F1，2＋2y3＋1=－7＋4＋1=－2
x4=5 y4=2＋1=3
E=9－1=8
5
F1，3＜0
＋Y
F1，4=F1，3＋2y4＋1=－2＋6＋1=5
x5=5 y5=3＋1=4
E=8－1=7
6
F1，4＞0
－X
F2，4=F1，4－2x5＋1=5－10＋1=－4
x6=5－1=4 y6=4
E=7－1=6
7
F2，4＜0
＋Y
F2，5=F2，4＋2y6＋1=－4＋8＋1=5
x7=4 y7=4＋1=5
E=6－1=5
8
F2，5＞0
－X
F3，5=F2，5－2x7＋1=5－8＋1=－2
x8=4－1=3 y8=5
E=5－1=4
9
F3，5＜0
＋Y
F3，6=F3，5＋2y8＋1=－2＋10＋1=9
x9=3 y9=5＋1=6
E=4－1=3
10
F3，6＞0
－X
F4，6=F3，6－2x9＋1=9－6＋1=4
x10=3－1=2 y10=6
E=3－1=2
11
F4，6＞0
－X
F5，6=F4，6－2x10＋1=4－4＋1=1
x11=2－1=1 y11=6
E=2－1=1
12
F5，6＞0
－X
F6，6=F5，6－2x11＋1=1－2＋1=0
x12=1－1=0 y12=6
E=1－1=0
图5-9逐点比较法第一象限逆圆弧插补轨迹
例5-3设加工第一象限顺圆弧AB，起点A（0,6），终点B（6,0）。
试用逐点比较法对其进行插补并画出插补轨迹图。
插补从圆弧的起点开始，故F0，0=0；终点判别寄存器E存入X和Y两个坐标方向的总步数，即E＝6＋6=12，每进给一步减1，E=0时停止插补。
应用第一象限顺圆弧插补计算公式，其插补运算过程如表5-3所示，插补轨迹如图5-10所示。
以上仅讨论了逐点比较法插补第一象限顺、逆圆弧的原理和计算公式，插补其他象限圆弧的方法同直线插补一样，通常也有两种方法：
1）分别处理法
可根据上面插补第一象限圆弧的分析方法，分别建立其他三个象限顺逆圆弧的偏差函数计算公式，这样会有8组计算公式；脉冲进给的方向由实际象限决定。
表5-3逐点比较法第一象限顺圆弧插补运算举例
步数
偏差判别
坐标进给
偏差计算
坐标计算
终点判断
起点
F0，0=0
x0=0 y0=6
E=12
1
F0，0=0
－Y
F0，1=F0，0=0－2y0＋1=0－12＋1=－11
x1=0 y1=6－1=5
E=11
2
F0，1＜0
＋X
F1，1=F0，1＋2x1＋1=－11＋0＋1=－10
x2=0＋1=1 y2=5
E=10
3
F1，1＜0
＋X
F2，1=F1，1＋2x2＋1=－10＋2＋1=－7
x3=1＋1=2 y3=5
E=9
4
F2，1＜0
＋X
F3，1=F2，1＋2x3＋1=－7＋4＋1=－2
x4=2＋1=3 y4=5
E=8
5
F3，1＜0
＋X
F4，1=F3，1＋2x4＋1=－2＋6＋1=5
x5=3＋1=4 y5=5
E=7
6
F4，1＞0
－Y
F4，2=F4，1－2y5＋1=5－10＋1=－4
x6=4 y6=5－1=4
E=6
7
F4，2＜0
＋X
F5，2=F4，2＋2x6＋1=－4＋8＋1=5
x7=4＋1=5 y7=4
E=5
8
F5，2＞0
－Y
F5，3=F5，2－2y7＋1=5－8＋1=－2
x8=5 y8=4－1=3
E=4
9
F5，3＜0
＋X
F6，3=F5，3＋2x8＋1=－2＋10＋1=9
x9=5＋1=6 y9=3
E=3
10
F6，3＞0
－Y
F6，4=F6，3－2y9＋1=9－6＋1=4
x10=6 y10=3－1=2
E=2
11
F6，4＞0
－Y
F6，5=F6，4－2y10＋1=4－4＋1=1
x11=6 y11=2－1=1
E=1
12
F6，5＞0
－Y
F6，6=F6，5－2y11＋1=1－2＋1=0
x12=6 y12=1－1=0
E=0
图5-10逐点比较法第一象限顺圆弧插补轨迹
2）坐标变换法
通过坐标变换将其他各象限顺、逆圆弧插补计算公式都统一于第一象限的逆圆弧插补公式，不管哪个象限的圆弧都按第一象限逆圆弧进行插补计算，而进给脉冲的方向则仍由实际象限决定。
该种方法也是最常采用的方法。
坐标变换就是将其他各象限圆弧的加工点的坐标均取绝对值，这样，按第一象限逆圆弧插补运算时，如果将X轴的进给反向，即可插补出第二象限顺圆弧；将Y轴的进给反向，即可插补出第四象限顺圆弧；将X、Y轴两者的进给都反向，即可插补出第三象限逆圆弧。
也就是说，第二象限顺圆弧、第三象限逆圆弧及第四象限顺圆弧的插补计算公式和插补流程图与插补第一象限逆圆弧时一样。
同理，第二象限逆圆弧、第三象限顺圆弧及第四象限逆圆弧的插补计算公式和插补流程图与插补第一象限顺圆弧时一样。
从插补计算公式及例5-2、例5-3中还可以看出，按第一象限逆圆弧插补时，把插补运算公式的X坐标和Y坐标对调，即以X作Y、以Y作X，那么就得到第一象限顺圆弧。
插补四个象限的顺、逆圆弧时偏差符号和进给方向可用图5-
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