7年级春季班第15讲等边三角形学生版.docx
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7年级春季班第15讲等边三角形学生版
七年级下学期春季班
（学生版）
最
新
讲
义
初一数学春季班（学生版）
教师
日期
学生
课程编号
15
课型
复习课
课题
等边三角形
教学目标
1．熟练的运用等边三角形的判定定理和性质；
2．利用等边三角形的性质解决与旋转相关的综合题目．
教学重点
利用等边三角形的性质解决证明和求值的相关问题
教学安排
版块
时长
1
等边三角形的性质与判定
40min
2
等边三角形的综合
40min
3
随堂检测
20min
4
课后作业
20min
等边三角形
内容分析
等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质解决综合题目，综合性更强．
知识结构
模块一：
等边三角形性质与判定
知识精讲
1、等边三角形的性质
等边三角形的每个内角都等于60°．
2、等边三角形的判定
（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例题解析
【例1】下列说法中错误的是（）
A．等边三角形是等腰三角形
B．等边三角形是锐角三角形
C．等边三角形的高、中线、角平分线共有3条
D．含有60°角的三角形是等边三角形
【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】
（1）等腰三角形的一个外角等于120°，则它是三角形；
（2）等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_______________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例3】
（1）已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，
则∠AFE=_____________；
（2）△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD
AD，则
ACD=．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例4】已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60°
则这个三角形是（）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【难度】★
【答案】
【解析】
【例5】
A
B
C
D
E
F
已知△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在AB上，BD与CE相交于点F，
且BF=CF，说明△ADE是等边三角形．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例6】
A
B
C
D
E
如图所示，在△ABC中，AB=AC，△ADB和△ACE都是等边三角形，
且∠DAE=∠DBC，求∠BAC的度数．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例7】如图，
是等边三角形，
，则
的度数是________．
A
B
C
D
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例8】如图，在等边三角形ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的动点，
A
B
C
D
E
F
且AD=BE=CF，说明△DEF是等边三角形的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例9】如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形
A
B
C
D
E
CDE，连接AD，BE，试说明BE=AD的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例10】如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，
A
B
C
D
E
M
且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：
M是BE的中点．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例11】
（1）如图所示，已知：
△ABC是等边三角形，M、N分别是边BC、AC的中点，
AM、BN相交于点P，求∠BPM的大小；
（2）如果点M、N分别在BC、AC的延长线上，且BM=CN．∠BPM的大小会发生变
A
B
C
N
P
M
A
B
C
P
M
N
化吗?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例12】
A
B
C
D
E
F
如图，已知：
在等边△ABC中，D在BC边上，E在△ABC外，∠BAD=15°，
∠DAE=70°，AD=AE，求∠CAE，∠EDC，∠EFC的度数．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例13】下列说法中正确的个数有（）
①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为a、b、c，满足
，则这个三角形是等边三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例14】等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于
A
B
C
D
E
F
M
N
P
点P、M、N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（）
A．2B．3C．4D．5
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例15】如图，在等边
中，点
分别在边
上，且
，
与
D
A
E
F
B
C
交于点
．
（1）求证：
；
（2）求
的度数．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例16】已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，
h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上［如图
（1）］，此时h3＝0．可得结论：
A
B
C
D
M
F
P
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
M
P
M
F
P
图1
图2
图3
h1＋h2＋h3＝h．”请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内［如图
（2）］，以及点P在△ABC外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立?
若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例17】
B
A
C
D
N
M
如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，
以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：
△AMN的周长等于2．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例18】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，
B
C
A
D
求∠BDC的度数．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
模块二：
等边三角形综合
知识精讲
将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中．
例题解析
【例19】
A
C
E
N
M
B
D
如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE
是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：
△CMN是等边三角形．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例20】如图，已知D是等边三角形ABC的边AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE
A
B
C
D
E
H
交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗?
试说明理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例21】
A
B
C
D
E
R
P
Q
如图，已知：
等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取一点E，使AD=AE，
作等边三角形PCD、QAE和RAB，则P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例22】如图，已知：
在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=AE，
A
B
C
D
E
F
O
EB与CD相交于点O．EF与CD垂直于点F，试说明OE=2OF．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例23】如图，点O是等边△ABC内的一点，
AOB=110°，
BOC=135°，试问：
（1）以OA、OB、OC为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数；
若不能，说明理由；
（2）如果
AOB的大小保持不变，那么当
BOC等于多少度时，以OA、OB、OC
A
B
C
O
为边的三角形是一个直角三角形．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例24】△CAB与△CDE是有公共顶点C的两个等边三角形，△CDE绕点C顺时针旋转
至以下各位置：
（1）当E在BC下方时，说明AD=BE；
（2）当E在BC边上如图2、当E在△ABC内如图3、当E在AC边上如图4，
当CE∥AB时，如图5，AD=BE还成立吗?
请一一说明理由．
【难度】★★★
A
B
C
D
E图1
A
B
C
D
E图2
C
D
A
B
C
D
E
B
A
E
C
E
A
B
D
图3
图4
图5
【答案】
【解析】
【例25】已知A、B、C三点共线，分别AC、BC为边，在直线AB同侧作等边△CAN和等
边△BCM，易得AM=BN．
【例1】将△CAN绕点C旋转一定的度数，得到图
（2），试问：
AM=BN吗?
（2）将
（1）中等边△CAN再绕点C旋转一定角度，得到图（3），上述AM=CN还成
立吗?
请说明理由；
（3）在旋转过程中，直线AM和直线BN所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变
吗?
说说你的理由．
【难度】★★★
A
B
C图1
N
M
A
B
C图2
M
N
A
B
C
N图3
M
【答案】
【解析】
【例26】如图，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是
△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．
（1）说明△C′BD≌△B′DC的理由；
（2）说明△AC′D≌△DB′A的理由；
（3）对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，从面积大小关系上，你能得出什么结论?
A
B
C
D
A′
B′
C′
直接写出来．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
随堂检测
【习题1】三个内角都相等的三角形是_________三角形，每个内角都等于______．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题2】在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是（）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．锐角三角形但不等边
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题3】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，DG∥AB交BC于点G，
A
B
C
D
E
G
E在BC的延长线上，CE=CD．
（1）∠E=________；
（2）∠BDE=_______；（3）图中的等腰三角形有________个；（4）图中的等边三角形有_______个．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题4】下列三角形：
①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个
外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题5】
A
B
C
D
E
F
如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形
状是（）
A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形D．不等边三角形
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题6】已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB
是等腰三角形，则符合条件的P点有（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题7】如图，等边△ABC中，AD=CE，CD于BE相交于点P，求
BPC的度数．
A
B
C
E
D
P
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题8】如图，△ABC和△DBE都是等边三角形，说明AB∥CE的理由．
A
B
C
D
E
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题9】
A
B
C
D
E
如图，△ABC为等边三角形，E是BC延长线上一点，CD平分∠ACE，CD=BE，
试说明△ADE为等边三角形的理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题10】
A
B
C
D
E
如图，△ABC中，BA=BC=a，
B=60°，在BC的延长线上取一点D，使CD=b，
在BA延长线上取一点E，使AE=a+b,试判断△ECD是什么三角形，并说明理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
课后作业
【作业1】已知一个三角形的任意一个角的平分线都垂直于这个角的对边，则这个三角形是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业2】等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业3】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠ABE=∠ACD，BE=CD，则△ADE的
形状是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状
A
B
C
D
E
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业4】如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=
A
B
C
D
E
2∠BAD，则图中等腰三角形共有（）
A．3个B．4个
C．5个D．6个
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业5】
A
B
C
D
E
如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：
BD+DC=AD．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业6】
A
B
C
D
E
如图，已知△ABC、△ADE是等边三角形，点E恰在CB的延长线上，
说明∠ABD=∠AED的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业7】试说明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业8】如图，D是等边△ABC内一点，DA=BD，PB=AC，且
DBP=
DBC，则
BPD
A
B
C
D
P
的度数是．．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业9】如图，点
是等边
内一点，
．将
绕点
按顺时针方向旋转
得
，连接
．
（1）试说明
是等边三角形；
（2）当
时，试判断
的形状，并说明理由；
（3）探究：
当
为多少度时，
是等腰三角形?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业10】如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并使AE=BD，连
A
B
C
D
E
接CE、DE，说明CE=DE的理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业11】在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，
具有这样性质的点P有_________个．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
升级会员 