数学模型要求掌握的知识点.docx

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数学模型要求掌握的知识点

要求掌握的知识点：

1．数学模型

对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构就称为该特定对象的数学模型.

2．数学建模

依据下述的几个基本步骤建立数学模型，这个全过程便称为数学建模.

第一步：

根据现实对象的背景和要求进行问题分析；

   第二步：

根据问题的要求和建模目的作出合理的简化假设；

第三步：

根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其它有关规律建立起现实对象的数学表达式——建立数学模型；

第四步：

使用相应的数学方法求解数学模型以给出现实对象的数学解决——模型求解；

第五步：

对模型的解给予检验和解释—模型分析（包括检验、修改、应用和评价等）；

注意，若所得的解不符合实际，则所建数学模型有错误，应推倒重建.这是数学建模完全可能出现的情况，其产生原因往往是问题分析错误或假设不合理所至.

3．建模基本过程

数学建模的基本流程，“问题分析合理的简化假设建立模型求解模型对模型解的分析、检验、修改与推广.用框图描述如图1—1.

当我们面临新的建模问题时，这个流程是极具指导意义的.应当注意的是，这个流程的目的是指导我们更好地进行建模实践，其应用是可以有弹性的，切勿生搬硬套.也就是说，不是每个建模问题都要一个不差地经过这五个步骤，其顺序也不是一成不变的.一个具体建模问题要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关.后面我们将结合实例对上述这个流程的各个步骤详加说明.

   现实对象  合于实际    模型分析检验                      

   问题分析  不合实际    模型求解

   模型假设            模型建立

图1—1

4．数学模型的特点和作用

在学习后续的建模实例时请注意以下特点：

（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.

数学建模的结果无所谓“对”与“错”，但却有优与劣的区别，评价一个模型优劣的唯一标准是实践检验.

（2）数学建模没有统一的方法.

对同一个问题，各人因其特长和偏好等方面的差别，所采取的方法可以不同。

使用近代数学方法建立的模型不一定就比采用初等数学方法建立的模型好，因为我们建模的目的是为了解决实际问题.

（3）模型的逼真性与可行性.

尽管人们总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上通常是难于处理的，因而达不到通过建模解决实际问题的目的，即实用上不可行.因此，在建模时不必追求模型的完美无缺而只要符合实际问题的基本要求即可.

（4）模型的渐进性.

稍复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，往往要反复几次建模过程，包括由简到繁，也包括由繁到简，以期获得越来越满意的模型，这也符合人们认识问题的规律性.

（5）模型的可转移性.

模型是对现实对象进行抽象化和理想化的产物，常常不为对象的所属领域所独有，完全可能转移到另外的领域中去，这个特点也是使用类比法建模的基础。

5．问题分析

问题分析也常称为模型准备或问题重述。

由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象。

所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述。

为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据。

要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出（此时我们是不怕多的，只怕一个也列不出）。

至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响。

6．合理假设

模型假设是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤。

根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.于是，我们必须忍痛割爱，从中舍去次要因素，抓住主要因素，进行必要的筛选；如果我们认定的主要因素还是觉得多的话，为了能顺利建模，也必须，或者说至少是暂时不予以考虑而舍弃，等到最后在模型分析时再给予考虑，或者在本模型建立中根本不予考虑。

当然，假使作得不合理或过份简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素。

另一方面，在我们选定的因素里，为建模需要，也常常要进行合理的简化，诸如线性化，均匀化，理想化等近似化处理，这也是满足建模所用数学方法必须的前提条件。

当然，假设不能违背实际问题主要特征和建模目的。

有人说，进行假设的目的就在于在第一步中列出的各种因素中选出主要因素，忽略非本质因素，即使问题简化以便进行数学处理，又抓住了问题的本质，是不无道理的。

另外，为建模顺利，写出假设时，语言要准确，就象作习题时写出已知条件一样.所有这些就是模型假设这一步要做的工作。

易见，问题分析与模型假设的重要地位。

以下，我们结合例子给予说明。

7．常用建模方法

（1）机理分析法

常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。

机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.对现实对象特性的认识主要来源于以下两个方面：

一是与问题相关的物理的、经济的、社会与生态等方面的知识的了解；二是通过对数据与现象的分析对事物内在规律作出的猜想.若研究对象的内部机理基本不掌握，也无法直接寻求，是所谓黑箱系统且模型也不是用于分析内部特性，譬如仅用来作输出预报，则常用测试分析法.将两种方法结合起来也是常用的建模方法.

（2）类比建模法

类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：

这个问题与我们熟悉的什么问题类似?

如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.

（3）平衡原理

所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.

（4）图示法

利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.

（5）数据分析法（基于测试数据的经验模型）

建立经验模型的基本流程如下：

①给出实际调查数据.调查的数据一定要具有充分的代表性，可以通过系统抽样、分层抽样等抽样方法获得样本数据.（可查阅涉及抽样方法类书籍）.另外，样本容量也不要太小，否则所得结果不具有代表性.

②将样本数据绘制成数据散布图.这是对数据进行分析最有效的第一步.为此，务必使用坐标纸绘制以求图象准确，为进一步的分析打好基础.当然能利用计算机绘制更好.

③对散布图进行分析.这一步往往可获得对所表达变量关系的一定认识，形成初步看法.例如可分析其变量关系是否具有线性性质，有无周期性，变化率如何，有无最值，有无异常数据等等，从而确定整体数据结构是否脱离实际.若所反映实际现象与散布图出现太大差距，则这批数据应当废弃.例如身高与体重不可能呈直线上升趋势，且不能不过（0，0）点.

④根据散布图分析结果选择相类似函数关系，采用适当方法建立经验公式.这里也同样有一个简单化原则：

即在满足问题精度要求的前提下，尽量选择形式简单的数学表达式.至于确定经验公式中待定常数的方法有很多，诸如插值法（一般插值法及样条插值法等）、最小二乘法等.

⑤模型分析、检验与修改.与前面建模方法相比，这一步工作显得更为重要，这是因为经验模型本身具有不确定性，并且这类模型的作用也常常是为了对所关心系统做出某种预测、控制.特别是检验其结果的合理性，误差分析等，需要修改模型是在所难免的.

（6）分支定界法

分支定界法的基本思路是：

①先求问题的解，若恰为整数解则停，否则转下一步；

②以上述解为出发点，将原问题分解为两个支问题——所谓“分支”，且每一支问题各增加一个新条件——所谓“定界”.由于增加新条件便保证所求解不至于跑出原问题解的允许范围，就不至于出现象本例圆整解跑出允许范围的情况了.

③求解支问题，并对新的非整数解问题再分支、定界，直到求得整数解.

（7）人口增长模型结论

   假设开始时的人口数为，那么人口增长模型的初值问题为

模型求解为

模型的修改与重建

①将增长率r表示为人口x（t）的函数，按前面的分析，应为x的减函数.为简单，我们假定其为x的线性函数（线性化）

其中r,s>0，这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率.显然对任意的x>0,.

②设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为（也称最大人口容量）.因为时增长率应为零，由此确定，便得到增长率函数的表达式为

其中常数r,要根据人口统计数据确定.

③将指数模型中r换为（1.16）式便得到新模型

称为阻滞增长模型或罗捷斯蒂克模型（Logistic）。

其解为

④模型解的再分析与检验

对上式求二阶导数可得

由此我们来分析人口总数的规律（如下图）：

图1-6

（a）,即无论人口初值如何，人口总数均以为极限，并且是图形的水平渐近线.

（b）当时，,这说明是单调增加的；又由（1.19）式知，当时，,当时，,即是x（t）图形的拐点.这就是说，人口变化率函数在处取到最大值.

根据以上分析而画出的两条曲线如上图.可见，人口总数尽管一直是增长的，但有极限值限制而不会无限增长下去，到了自然资源与环境条件等因素所能容纳的最大人口数时便会停止增长，这是合乎人类发展常识的.另外，人口总数达到极限值一半以前是加速增长时期，此后的增长率会逐渐变小，最终达到零增长.                   

最后，的确定要根据人口统计资料以及自然环境等因素确定，因而当条件改变时，也将随着改变.

（8）均衡价格结论

商品需求量是指在一定价格条件下，消费者愿意购买且有支付能力购买的商品量.商品的供给量是指在一定价格条件下，生产者愿意供给且有供给能力的商品量.需求量与供给量自然都是与价格直接相关的，即它们都是价格的函数.而价格则是与时间有关的.所谓市场稳定是指市场上的商品价格相对稳定，商品的需求量与供给量也保持相对稳定，即需求量与供给量持平.此时的商品价格经济学上称之为均衡价格.

设p是商品价格，表示商品需求量且仅与价格p有关，即= （p）,但.为讨论方便,不妨假设为p的线性函数（线性化）

式中均为正常数，b——该商品的社会最大需求量.第一项的系数为负说明随价格上涨，需求下降.

同上设表示供给函数，并且

式中均为正数，为厂方可能接受的最低价格.写成是因为商品的生产需一定的时间（一个生产周期），价格对商品的供给量的影响有一定的滞后作用.

先来求均衡价格.依问题分析与假设1和2，有

解得

由此还不能求得均衡价格.注意到上式实际上是一个关于两个时刻点的价格递推公式（通常称为差分方程）.设是该商品的初始价格，则有以下递推过程.为书写方便，记

则有

当A=1时，合在一起并代回A、B表示式即得到

模型分析

①当初始价格恰好为时，由上式知，对任意有

我们称为静态均衡价格.可见，若初始价格为静态价格，则价格始终不变，整个供给过程变为静态.

②当初始价格不是均衡价格时，随时间的推移而变化，供给过程变成一个动态过程.这时

若，由于越来越小，价格会越来越接近于均衡价格.意味着需求对价格的反应比供给对价格的反应更加灵敏.在此情形，市场将逐渐趋于稳定；

若，由于无限增大，价格会逐渐远离静态均衡价格；

若，由于不确定而使价格在均衡价格上下波动.

总之，时，价格逐渐稳定于均衡价格；当时，价格或者在均衡价格上下摆动不定，或者越来越背离均衡价格，从而造成市场的不稳定.那么如何消除市场经济的这种不稳定?

一种方法是控制物价，另一种方法是控制市场上的商品数量：

若上市量少于需求量，政府可以外地采购或调拨商品，反之可实行政府采购过剩部分商品的办法.

（9）存储模型（确定型）结论

商店或工厂经常要存储一定量的商品或备件，因为如果存储量太少，可能会影响销售或生产，存储量太大，要为占用仓库和一些必要的保管措施而付出过多的费用.因此，确定一个最优的存储量是必要的，这种问题便称为存储问题.常见情形有两种：

不允许缺货的存储问题和允许缺货的存储问题；所谓不允许缺货是指问题要求所需物资随要随到，否则要造成重大损失.

模型假设

①商品每天销售量为常数R

②商品的进货时间间隔为常数T，即每隔T天进货一次，且进货量为常数a，进货一次手续费也是常数b；单位商品存储费c元/天.

③进货所用时间忽略不计，即假设需要进货时，进货可在瞬间完成.

建模目的：

确定进货周期T和进货量，使总支出费用最少.

模型建立

依假设2和3,这家商店的库存量q与时间t的关系可由下图表示.由此，只需考察一个周期内的费用.

设开始时的库存量为d，到第T天时库存量降为零.由假设1，由于连续均匀销售，故在周期内平均存量为d/2.注意，按平均存量总共存储了T天，故存储费用为d/2*T*c，还有一项支出是进货手续费b，即总支出费用为两项之和，于是平均每天的支出为d/2*T*c+a*b

注意到每天销售R件商品，进货a件在T天售完的假设，显然有，于是上式便写成了T的函数

   模型求解

为确定最优的进货周期，只需求上边函数的最小值.这里采用配方法（亦可用导数方法）可得

便可知，当时，达最小值，将此T值代入，便得到最优进货量为

上式为存储论中著名的经济订购批量公式，简称EOQ（EconomicOrderingQuantity）公式.

（10）货币的时间价值—终值与现值公式

货币有余存银行是人们多少年已经成为习惯的作法，原因主要是存银行既保险又增值.也就是说，货币用于存银行，会随着时间的推移产生效益，从而使货币增值，这就是货币的时间价值.

衡量货币时间价值的两个常用概念是货币的终值与现值.在复利计息情形，若本金为P，利率为R，期数为n，则到n期末，本利和为0

其中的S即为货币P的终值.亦即P元到n期末就变成了元了.

反之，现在手中的多少钱存银行n期就可以变成S元呢?

显然有

这里的称为货币S的现值，亦即n期末的S元相当于现在的元.

（11）年金的终值与现值公式

当投资行为是周期性的（如零存整取储蓄），即把投资期限分为时间相同的若干期，在每期的开始或结束时投入数量相同的本金，这类投资问题在金融行业称之为年金问题，每期投入的本金称为年金.现说明复利计息下的年金的终值与现值概念与相应的投资决策问题.

年金的终值

设每期发生在期初的年金数为A，每期利率为R，表示n期的本利和，那么第一期投入A到n期末成为.第二期年金仍为A，但只存了n-1期，到n期末成为，依此类推，到第n期的年金A便只存一期，到期末本利和为.上述各期本利和的总和即为发生在期初的年金A的终值，利用等比数列前n项和公式即得为

同理可推导发生在期末的年金的终值（每一期年金都比发生在期初的少存一期）应为

年金的现值

设发生在期初的年金数为A，则第一期的现值就是A，第二期的现值为，最后一期的现值为，于是年金A的现值总和

同理有发生在期末的年金A的现值总和