高考复习指导讲义 第四章 数列极限数学归纳法.docx

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高考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法

高考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法

一、考纲要求

1.掌握：

①掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式；

②能够运用这些知识解决一些实际问题；

③掌握极限的四则运算法则.

2.理解：

①数列的有关概念；

②能根据递推公式算出数列的前几项；

③会求公比的绝对值小1的无穷等比数列前n项的极限.

3.了解：

①了解递推公式是给出数列的一种方法；

②了解数列极限的意义；

③了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题.

二、知识结构

（一）数列的一般概念

数列可以看作以自然数集（或它的子集）为其定义域的函数，因此可用函数的观点认识数列，用研究函数的方法来研究数列。

数列表示法有：

列表法、图像法、解析法、递推法等。

列表法：

就是把数列写成a1,a2,a……an……或简写成｛an｝，其中an表示数列第n项的数值，n就是它的项数，即an是n的函数。

解析法：

如果数列的第n项能用项数n的函数式表示为an=f（n）这种表示法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。

图像法：

在直角坐标系中，数列可以用一群分散的孤立的点来表示，其中每一个点（n,an）的横坐标n表示项数，纵坐标an表示该项的值。

用图像法可以直观的把数列an与n的函数关系表示出来。

递推法：

数列可以用两个条件结合起来的方法来表示：

①给出数列的一项或几项。

②给出数列中后面的项用前面的项表示的公式，这是数列的又一种解析法表示称为递推法。

例如：

数列2，4，5，，…递推法表示为a1=2

其中an+1=an+又称该数列

an+1=an+（n∈N）

的递推公式。

由数列项数的有限和无限来分数列是有穷数列和无穷数列。

由数列项与项之间的大小关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。

由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和无界数列、通项公式是研究数列的一个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本方法，给出数列的前n项，求这个数列的通项公式并不是唯一的，也并非所有的数列都能写出通项公式。

数列｛an｝的前n项和是：

a1+a2+a3+…+an记作Sn，要正确认识数列前n项和的符号，Sn是下角码n的函数。

数列的前n项和与通项之间的关系是an=S1（n=1）

Sn-Sn-1（n≥2）

本单元习题主要有两种类型：

①已知数列的通项公式或递推关系写出数列或数列的某一项、某几项。

②由题设写出数列的通项公式。

（二）等差数列和等比数列

1.等差数列定义、表示法及性质

（1）等差数列定义中，要准确地理解，稳健地应用公差d，准确的理解即注意定义中“从第二项起”及“同一个常数”的含义，稳健地应用即an+1-an=d是证明数列是等差数列的理论依据之一，而d的符号又决定等差数列的单调性。

（2）如果一个数列｛an｝是等差数列，公差为d，则这个数列可表示为：

①列表法：

a1,a1+d,a1+2d…a1+（n-1）d…简写成｛a1+（n-1）d｝特殊地，只有三项时可写成：

a-d,a,a+d，只有四项时可写成：

a-3d,a-d,a+d,a+3d.

表示规律：

奇数项公差为d，偶数项公差为2d，它们是解决等差问题的计算工具。

②解析法：

an-an-1=d（n≥2,n∈N）

特殊地，只有三项时可写成A-x=y-A

即2A=x+y其中A叫做x、y的等差中项，它们是解决等差问题的证明工具。

③图像法：

an=a1+（n-1）d可改写成an=dn+a1-d这表明当d≠0时an是关于n的一次函数，因此在直角坐标系中等差数列的图像是：

以d为斜率在y轴上截距为a1-d并且n为自然数的一条直线上一些分散的点。

（3）等差数列的通项公式

已知a1和公差d，则有an=a1+（n-1）d

已知am和公差d，则有an=am+（n-m）d（m,n∈N）

（4）等差数列的前n项和公式

已知a1和an，则有Sn=（n∈N）

已知a1和d，则有Sn=na1+d（n∈N）

（5）等差数列的性质

①在等差数列的前n项中，与两端等距离的两项之和均相等，即：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ar+an-r+1=……

②在等差数列中，若某两项的项数之和是定值，则相应的两项的数值之和也是定值。

即：

在等差数列｛an｝中，如果m+n=p+q（m,n,p,q∈N），那么，am+an=ap+aq

③用图像法表示等差数列时，其各点均在以公差d为斜率的一条直线上，即d=（m,n∈N,m≠n）

④等差数列等距离的取出若干项，仍然是等差数列。

⑤公差为d的等差数列，按k项分组，每k项之和组成的数列仍是等差数列，其公差为k2d.

即：

a1+a2+a3+…+ak,ak+1+ak+2+…+a2k…ank+1+ank+2+…+ank+k…仍是等差数列。

⑥两个等差数列的第n项之比等于前2n-1项之和的比。

⑦数列｛an｝成等差数列的充要条件是an=dn+c（d,c为常数，n∈N）

⑧数列｛an｝成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn（a,b为常数，n∈N）

2.等比数列定义、表示法及性质

（1）在等比数列的定义中要准确地理解，灵活地应用公比q，准确地理解即注意定义中“从第二项起”及“同一个常数”的含义，注意公比q不能为零。

灵活地应用表现在：

当=q（n∈N,q为常数）时，此数列是等比数列；表现在当q＞0时等比数列各项符号均相同，当q＜0时各项符号正负相间；表现在当｜q｜＞1时数列每一项取绝对值后是递增的，当｜q｜＜1时数列每一项取绝对值后是递减的。

（2）如果一个数列｛an｝是等比数列，公比为q，那么该数列可表示为：

①列表法：

a1,a1q,a1q2…a1qn-1…可简写成｛a1qn-1｝

特殊地，只有三项时可写成：

a,aq

只有四项时可写成：

、、aq、aq3

表示规律：

奇数项公比为q，偶数项公比为q2，它们是解决等比数列问题的计算工具。

②解析法：

=q（n∈N,q≠0）

特殊地，只有三项时可写成=或G2=xy或G=±其中G叫做x、y的等比中项，它们是解决等比问题的证明工具。

③图像法：

表示数列｛cqn｝的各点均在指数函数y=cqx的图像上（其中c=）

（3）等比数列的通项公式

已知a1和公比q，则有an=a1qn-1（n∈N）

已知am和公比q，则有an=amqn-m（m,n∈N）

（4）等比数列的前n项和公式

na1（q=1）na1（q=1）

Sn=或

（q≠1）（q≠1）

（5）等比数列的性质

①在等比数列的前n项中，与两端等距离的两项之积均相等。

即：

a1·an=a2·an-1=…=ar·an-r+1=…

②在等比数列中，若两项的项数之和是定值，则相应两项的数值之积也是定值。

即在等比数列｛an｝中，若m+n=p+q，则am·an=ap·aq（m,n,p,q∈N）

③公比为q的等比数列，按k项分组，每k项之和组成的数列仍是等比数列。

④从公比为q的等比数列中，取出等距离的项组成的数列仍是等比数列。

⑤公比为q的等比数列中，相邻的k项之和（设第一项为am）等于前k项之和的qm-1倍。

（三）数列求和

数列求和是中学数学中规律性很强的一部分内容，本单元主要让学生掌握数列求和的常用方法。

求数列的前n项和Sn，通常要掌握以下解法：

1.倒序相加法：

如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。

2.错位相减法：

如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法。

3.分组转化法：

把数列的每一项分成两项，或把数列重新组合或把整个数列分成两部分，使其转化成等差数列或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。

4.裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消方法。

5.公式法求和：

所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和。

常用公式有：

=13+23+33+…+n3=n2（n+1）2

=1+2+3+…+n=n（n+1）

=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）

（四）数列的极限

1.要深刻地理解数列极限的定义

（1）要记准定义中字母、符号的含义及其功能。

定义中的ε是任意给定的正数，它主要反映an与A接近的程度，因为ε可以任意的小，所以an与A可以无限地接近。

N是一个自然数，其功能是当n＞N时有｜an-A｜＜ε恒成立。

显然对一个ε与其对应的N并不是唯一的，确定N一般以解题简便为原则。

符号“”表示趋近于，符号“∞”表示无穷大，符号“n∞”表示n趋近于无穷大，即无限增大的意思。

无穷大表示量的变化状态，它不是一个确定的数，切不要与很大的数混为一谈，更不能进行常规的四则运算。

（2）要了解定义的几何意义。

数列｛an｝当n∞时，极限为A的几何意义为：

将数A与数列an在数轴上用它们的对应点表示出来，再以A为圆心，以ε为半径在数轴上截取两点A-ε，A+ε，如图，因为不等式｜an-A｜＜ε相当于A-ε＜an＜A+ε.当n＞N时，所有的点an落在开区间（A-ε，A+ε）内，而只有有限个（至多只有N个）点疏散在这一区间外，ε越小，开区间（A-ε，A+ε）的长度也越小，可见an是凝聚在点A的近旁，这就是an=A

2.在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：

（1）参与运算的每一个数列的极限都是存在的。

（2）参与运算的数列的个数必须是有限个。

3.无穷等比数列各项的和

（1）定义：

公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，用符号S表示。

（2）公式：

S=（｜q｜＜1）

（3）注意：

此和不同于初等数学中有限项的和，它是一个数列的极限。

4.熟记三个重要极限

（1）C=C（C为常数）

（2）=0

qn=0（｜q｜＜1）

极限的思想方法是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法。

（五）数学归纳法

1.用数学归纳法证明命题的具体步骤是：

（1）证明当n取第一值n0（例如n0=1，n0=2等）时结论正确。

（2）假设当n=k（n∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确。

上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。

2.用数学归纳法证明命题时，难在第二步。

即在假设n=k命题成立时，推出n=k+1时命题也成立。

要顺利地完成这一步，主要依赖于观察、归纳、恒等变形等方面的能力。

在推导证明中必须运用到“归纳假设”，否则不是数学归纳法。

三、知识点、能力点提示

例1设T1，T2，T3……为一组多边形，其作法如下：

T１是边长为1的三角形以Tn的每一边中间的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为Tn+1，如图所示。

令an表示Tn的周长，A（Tn）表示Tn的面积。

（Ⅰ）计算T1，T2，T3的面积A（T1），A（T2），A（T3）

（Ⅱ）求（+…+）的值。

解：

（Ⅰ）A（T1）=·1·1·sin60°=

A（T2）=3····sin60°++A（T1）==

A（T3）=12····sin60°+A（T2）=

（Ⅱ）由分析知an=an-1

（Tn的边数是Tn-1边数的4倍且每边是原来的1/4）

故an=3·（）n-1

∵=·（）n-1

∴（++…+）==

注：

本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律与数列联系起来。

求面积时，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列