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数学转化思想
转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,在研究数学问题时,我们通常是将未知
问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题,我们也常常在不同的数学问题之间互相转化,可以说在解决数
学问题时转化思想几乎是无处不在的。
例题分析
例1解方程组
x(x1)(3x5y)144
2
x4x5y24
分析:
从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题,超过我们所掌握的知识范围,但仔
细分析可将方程组变形为
解:
设x2xu,3x5yv
2m13n5p1的取值范围。
abc7
5pc,则已知条件可转化为方程组
a,进而找到a、b与c的关系,可以
b5c11
确定所求式子的取值范围。
c,则
解:
设2ma,3nb,5p
(1)
Ib5c11⑵
由
(1)、
⑵可得
a
8
8c
⑶
b
15
9c
⑷
此时,2m13"5p12ab舟夺1(5)
a0,由⑶得c1
由⑷得c
5
3
由(5)得312m1
5
交AC于D。
连结AP,问点P在BC上何处时,APD面积最大?
—3
则AHACsinC2.3—3
2
1
1
SABC
—
BC
AH
-436
2
2
SABP
1
BP
AH
3
x
2
2
PD//AB
PCD~BCA
D
c
p
s
x2即P为BC中点时,APD的面积最大
3
这时APD的面积最大值为-
2
例4已知二次函数yax2
bxc过点0(0,0),A(1,3),B(—2,4.3)和C(1,m)
四点。
(1)确定这个函数的解读式及m的值;
(2)判断OAC的形状;
(3)若有一动圆OM点M在x轴上,与AC相切于T点,OM和OAOC分别交于点R、S,
求证RTs弧长为定值。
分析:
(1)由于二次函数过三个定点,因此可以利用待定系数法确定函数的解读式,进而求出m的值。
(2)分别计算出OAOCAC的长即可判定OAC的形状。
(3)这一问综合性较强,需要根据条件列出点的坐标,再利用方程和距离公式求解。
解:
(1)yax2bxc(a0)的图象过点O(0,0)、A(1,.3)、B(—2,4-3)
3abc
c0解得a.3,b0,c0
4.34a2bc
二次函数解读式为y■■3x2
y.3x2的图象过点C(1,m)
m.3
(1)2.3
AC.(ii)2(.33)2
AOC是等边三角形
⑶设点M的坐标为(P,0)
22
(XP)3X3的两个根
OM与AC相切于T点
若OM与OAOC分别交于
R(Xi,
yj、s(x
|MR|2
(XiP)2
2yi
3
(i)
2
|MS|
(X2P)2
2
y2
3
(2)
yi
」3xi
(3)
y2
3x2
(4)
OM的半径为3
由⑴、
⑵知,
x2是方程
Xi、
2,丫2)则
4[(xi
3
X2)2XiX2]
p23
宁)
|RS|..3
MRS是等边三角形,RMS60
60—■■3
RTS的弧长为(2<3^(定值)
3603
说明:
本例是一个综合问题,尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合,需将几何中的点
用坐标表示出来,再通过代数方法列出方程通过距离公式确定MRS的形状,从而确定
RMS的度数,最后计算出
R+s的弧长。
例5如图,两圆同心,大圆的弦AD交小圆于B、C两点,AE切小圆于点E,连结CE直线BE交大圆于P、Q两点,已知BE=AE=b,AB=a。
ax
0的两个根;
求证:
(1)CD、CE的长是方程
(2)求PB的长。
分析:
此例不仅把线段CDCE的长作为关于x的一元二次方程的根,还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数,所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CDCE与实数a、b
的等量关系,用含a、b的代数式表示CDCE的长。
又CD=AB=a
⑵由相交弦定理,得PBBQABBD
即PB(PBb)
5
解得PB
1
—一b(不合题意,舍去)
2
PB
3b
2
易错题分析
例1.四边形ABCD中,ABC60,AC平分BAD,AC7,AD6,SADC
求BC和AB的长。
分析:
本题是四边形问题,通常要转化为直角三角形来解决。
由已知
ABC60,AC平
分BAD,所以想到由C点作CEAB于E,作CFAD于F。
由已知SADC153可
2
RtBEC可求出BC的长。
BE也可求,再通AB的长就求出来了。
求出CF,由CECF,可知过解RtAEC由勾股定理求出解:
作CEAB于
1
E,CF
CE的长,通过解
AE的长,
AD于F
这样,
CE
CF
SADC
AD
CF
15.3
2
6
苧CE
-CFAD
2
在Rt
BEC中,
ABC
60,CE
5-3
2
BE
在Rt
|,BCACE中,
AC7
由勾股定理,
AE2
AC2
CE
121
AE11
2
ABAE
EB
11
2
综上所述:
BC5,AB
D
15—
点评:
本题有的同学没有思路,但如果想到由已知Sadc3,想到作AD边上的高线,
2
再由AC平分BAD想到从C点作角的两边的垂线段,总之,把四边形转化为直角三角形解决问题。
3一
例2.四边形ABCD中,A120,ABC90,BD7,cosDBC—J3,求
14
AB
分析:
本题是四边形问题,可以通过分割或补全直角三角形进行转化,从而解决问题。
解:
过D点作EDBA的延长线于E,若C为钝角,作DFBC延长线于F,(若C
为锐角,作DFBC于F,同理)
EAD60
ABBEAE13-5
22
点评:
本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形,注意对C的讨论。
C有可能是
锐角、直角或钝角,但无论C是什么角,都不影响解题的结果。
例3.在四边形ABCD中,ABAD,BAC60,D135,AB10,SABC40.3,
求CD的长。
分析:
本题也是四边形问题,需要转化为直角三角形解决。
解:
若B是锐角,(B是钝角或直角同理)过C点作CFAB于F,过C点作CEAD的延长线于E。
1厂
SABCCFAB403,AB10
2
CF83
AFC90,EDAB90
四边形AECF是矩形
AECF8、3
在RtAEC中,DAB90,CAB60
EAC30,AE8•、3
EC8
在RtDEC中,
ADC135
EDC45
DC82
点评:
以上三个题组成一个题组,都是解四边形的问题。
在四边形中,常常通过分割或
补全直角三角形来求解四边形。
其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题,所运
用的数学思想就是转化的思想。
以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形,另外要注意计算不要出错。
练习
选择题:
|x2_9|_(2x_3y)2
x27x12
A.3
B.—1C.3或一1D.—3
则a的值是()
3.女口图,梯形ABCD中,AB//DC,AB=a,BAb,CD=c,且a、b、c使方程ax22bxc0
有两个相等实数根,则DBC和A的关系是()
A.DBCAB.DBCAC.DBCAD.DBCA
4.在关于x的一元二次方程a(1x2)22bxc(1x2)0中,a、b、c是RtABC的
三条边,C90,那么这个方程根的情况是()
A.没有实数根B.有两个相等的实数根
C.有实数根D.有两个不相等的实数根
5.已知a、b、c是ABC三边的长,b>a=c,且方程ax2,2bxc0两根的差的绝对
值等于.2,则ABC中最大角的度数是()
A.90B.120C.150D.60
6.已知a、b、c是ABC三条边长,关于x的方程a(1x2)2bxc(1x2)0有两个
相等的实数根,且2a2c4b,则cosAcosBcosC的值是()
137
A.1B.C.D.—
555
7.若、是直角三角形两锐角,那么关于x的一元二次方程x2tg2xtg0根的
情况是()
A.有两个相等的正根B.有两个不等的负根
C.有一正根和一个负根D.没有实数根
二.填空题:
1.在长方形内有1989个点,以这1993个点(包括长方形四个顶点)为顶点画三角形,使
每个三角形内部都不包含其它已知点,则这个长方形被分成个三角形。
2.方程x22mx2m10在区间(一4,0)中有两个不相等实根,则m的取值范围是
O
1
3.在RtABC中,C90,D是BC中点,DEAB于E,tgB,AE=7,则DE的2
长为。
三.解答题:
1.解分式方程:
x2
9x2
(x3)2
16.
2.已知p3q32,P、q为实数,证明:
pq2。
3.如图,AB是半圆O的直径,O是圆心,若ADC105,DCB120,CD2、..2,
求四边形ABCD的周长和面积。
4.已知:
如图,在ABC中,E是BC的中点,D在AC边上,若AC长是1,且BAC60,
ABC100,DEC80,求Sabc2Scde。
5.已知边长为1的正方形ABCD内接于O0,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE交O0于F,
2f—
求证:
EF、FA的长是方程5x5、.5x60的两根。
疑难解答
A.教师自己设计问题:
1.怎样运用转化思想证明模拟试卷中的解答题的第2小题?
2.模拟试卷中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形?
B.对问题的解答:
1.模拟试卷中解答题的第2小题是证明不等式的问题,可以转化为一元二次方程根的判别
式来证明,这就需要构造出合适的一元二次方程,可以
设pqt,贝Uqtp,
p3(tq)32,
322223
t3tp3tp2,即3tp3tpt20,
p为实数,
223
将上面方程看成p的一元二次方程时,(3t)43t(t2)0,
3
t(t8)0
22232
02pq(pq)(ppqq)(pq)[(pq)-q]
22
(pq)-q0,
4
pq0,即t0,t380,t2,即pq2。
2•答:
ABC和CDE都是一般斜三角形,直接根据已知条件不易求得结果,但是由于
ABC中AC已知,且BAC60,若以AC为一边和以BAC为一内角构成直角三角
形或一个等边三角形,则这两种三角形面积都能求。
(1)如图:
过C作AB的垂线交AB的延长线于G
可证CDEEBG
2SCDEScbg
SABC2SCDE
SABCSCBG
SCGA
这是构成直角三角形的解法
⑵如图:
以AC为一边,BAC为一内角,构成正三角形ACG
则SGAC
■■3
4
可证
BAC
FGC,
CED~
SCED
1S
SCFB
4
SABC
2SCDE
作GCB的平分线交GA于F
CBF,CE-CB
2
1
1
-•3
SABC—SCFB
—SGAC
2
2
8
G
试卷答案
1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.A
1.3980个2.12
17m-
6
3.
1.提示:
原方程转化为(x
3x)2x3)
2x
2
即(—)2
x3
x2
匸16°,令y
x2
解方程后检验
x3
知x1
.7,X2
17是原方程的解
2.
提示:
可转化为一元二次方程根的判别式来证明
3.
提示:
连结ODOC作CEAB于E,可得
DCA60,
COB30
,四边形周
4.
提示:
可以构造直角三角形或等边三角形来解,
SABC2S
.3
CDE
5.
提示:
由勾股定理,得AE
、.5,由割线定理,
得EFAE
EC
EB,
EF
AF
AEEF
3
3,将EF
5
2
5代入万程左边
5(I2
5岛*
J5
0,右
边=0,EF
;是方程5x2
5.5x60的根,同理AF
2
5x5、5x6
0的根,
EF、
FA是方程5x25・-5x
60的两根。