全国大学生数学建模竞赛题目.docx
《全国大学生数学建模竞赛题目.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国大学生数学建模竞赛题目.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全国大学生数学建模竞赛题目
CUMCM2003A题SARS的传播
SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称：
非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：
1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里?
对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：
提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
B题露天矿生产的车辆安排
铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。
许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。
提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。
露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。
一般来说，平均铁含量不低于25％的为矿石，否则为岩石。
每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为晶位）都是已知的。
每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。
卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。
从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29．5％1％，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。
从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。
卡车的平均卸车时间为3分钟。
所用卡车载重量为154吨，平均时速28。
卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。
发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。
卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。
电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。
卡车每次都是满载运输。
每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。
一个班次的生产计划应该包含以下内容：
出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。
一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：
1．总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；
2．利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。
请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。
针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。
某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。
各卸点一个班次的产量要求：
矿石漏1．2万吨、倒装场11．3万吨、倒装场Ⅱ1．3万吨、岩石漏1．9万吨、岩场1．3万吨。
铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表
铲位1
铲位2
铲位3
铲位4
铲位5
铲位6
铲位7
铲位8
铲位9
铲位10
矿石漏
5.26
5.19
4.21
4.00
2.95
2.74
2.46
1.90
0.64
1.27
倒装场I
1.90
0.99
1.90
1.13
1.27
2.25
1.48
2.04
3.09
3.51
岩场
5.89
5.61
5.61
4.56
3.51
3.65
2.46
2.46
1.06
0.57
岩石漏
0.64
1.76
1.27
1.83
2.74
2.60
4.21
3.72
5.05
6.10
倒装场II
4.42
3.86
3.72
3.16
2.25
2.81
0.78
1.62
1.27
0.50
各铲位矿石、岩石数量（万吨）和矿石的平均铁含量如下表
铲位1
铲位2
铲位3
铲位4
铲位5
铲位6
铲位7
铲位8
铲位9
铲位10
矿石漏
0.95
1.05
1.00
1.05
1.10
1.25
1.05
1.30
1.35
1.25
岩石量
1.25
1.10
1.35
1.05
1.15
1.35
1.05
1.15
1.35
1.25
铁含量
30%
28%
29%
32%
31%
33%
32%
31%
33%
31%
露天矿生产的车辆安排
于俊泊，肖川，楚玉强
指导教师：
韩铁民
（东北大学，沈阳110004）
编者按：
面对问题既要选择铲位，又要考虑产量、晶位限制，及车辆不等待等诸多要求，本文将问题分为几个阶段用不同方法处理，达到了满意的效果。
文章精炼，论述清晰。
摘要：
如何利用最小的资源消耗取得理想的产量要求,是本文讨论的重点问题。
文章采用两种方法——贪心法和线性规划建立模型，针对两个目标进行安排。
第1阶段：
采用贪心法按距离、产量、晶位等要求依次取得最优、次优……等若干较优的铲位，获得一些铲位的组合方案。
第2阶段：
对这些组合进行线性规划：
以车次为变量，根据不同目标建立目标函数，根据产量等条件限制建立约束方程，然后求整数解，在这些解中取最优者。
第3阶段：
根据每条路线上的车次数再次利用贪心法进行具体的车辆安排。
关键词：
贪心法；线性规划；车次；车辆安排
分类号：
AMS（2000）90C05中图分类号：
0221．1文献标识码：
A
1问题的分析
变量说明
M卡车总数（20辆）
V卡车行驶速度（28公里
L卡车载重量（154吨）
T一个班次的总时间（8小时）
Ta电铲的平均装车时间（5分钟）
Tb卡车的平均卸车时间（3分钟）
i卸点编号（5个，分别为矿石漏、倒装场I、倒装场II、岩石漏、岩场，前3个用于卸矿石，后2个卸岩石）
j铲位编号（10个）
Dij卸点i与铲位j之间的距离
Ni卸点i的产量要求
Qaj铲位j的矿石数量
Qbj铲位i的岩石数量
Pj铲位j的矿石平均铁含量
Kij一辆卡车一个班次内在卸点i与铲位j之间可往返的次数
Xij卸点i与铲位j之间需要安排的车次数
如果直接从题意出发，安排运输路线是比较困难的，因为卡车的行驶路线可以改变可以通过求出每条路线的车次数达到解决问题的目的。
铲车的安排方法共有
种，计算复杂度较大，可用贪心法找出较优的若干位置，确定较优的安排方案，对这些安排方案，有如下方法：
目标及各个产量要求、品位要求等均为每条路线上车次的一次函数，故可用线性规划求解。
由已知条件可以得到线性规划的目标函数、约束方程。
对贪心法筛选过的铲车安排方法分别求出其线性规划的最优解，然后在其中再选出最优者，可得最优的铲车安排和车次，依据车次安排每辆卡车。
2模型的建立
过程一——铲车安排
基于分析，首先得到铲车安排方法共有
种，如果直接计算120种组合，耗时太多，通过分析，最优解只可能存在于一些较优的组合中，可以采用贪心法获得这些组合。
贪心法的思想是：
每次选择当前最优的点，如不满足条件，再选择次优点，以此类推。
通过分析知，卡车应先选择距离卸点最近的铲位，才能以最小的运量获得足够的产量，若此铲位不能满足产量要求，再取次近的铲位，若不能达到品位要求，还需要选择可以平衡品位的点。
如本题的实例，先选取距离矿石漏最近的铲位9，铲位9可满足产量，但无法满足品位要求，再选择可均衡品位的最近的点——铲位3。
同理，选择距离倒装场I的较近铲位2，铲位4，距离倒装场II较近的铲位10，平衡品位的铲位1……确定1，2，3，4，9，10六个最优点，再从剩下的四个点中选取一个即可，经过这种方法筛选后的铲车安排方法为二4种。
对于筛选后的方法，用线性规划逐一建立模型求解，下面以将铲车安排在1，2，3，4，5，6，7铲位为例（非上文提到的较优组合，仅作举例说明）：
过程二——线性规划求解车次
1．针对目标1建立模型
目标函数
总运量
约束方程：
1）各个卸点的产量要求：
2）各个卸点的品位要求：
下限
（2）
上限
（3）
3）各个铲位的矿石（岩石）数量，即该铲位允许的最大矿石（岩石）开采量
矿石
（4）
岩石
（5）
4）由于铲车每次装载需Ta分钟，故一个班次内最多可装载T／Ta：
480／5二96次：
（6）
5）同理，由于卸点每次卸载需Tb分钟，故一个班次内最多可卸载T／Tb=480／3：
=160次
（7）
6）由于一辆卡车在卸点i与铲位j之间往返行驶一次需2Dij/V分钟，装卸需Ta+Tb分钟，共需Ta+Tb+2Di／V分钟，这条线路上一辆卡车一个班次内可往返
（[]表示取整），则该线路需要卡车
辆，卡车总数最多不能超过M=20辆:
（8）
至此目标函数及约束方程构造完毕。
由于车次数为整数，此题转化为对整数规划的求解。
题目中还要求在总运量最小的情况下出动最少的卡车，在解上述线性规划时，如果有多组解满足总运量最小，需要取
，即卡车总数最少的解。
在对筛选过的安排方法进行线性规划后，取其中总运量最小的解，即为题目所求。
2．针对目标2建立模型
目标2与目标1的主要区别是目标函数不同，其约束方程相同，只须改变目标函数即可。
目标函数
产量
约束方程：
（同目标1）
如有多组解满足最大产量，依题目要求取
，即岩石产量优先果岩石产量相同，依题取
，即总运量最小的解。
过程三——车辆安排
选取最优解中每条路线的车次，即可为每辆卡车安排行驶路线及运输次数。
由
可知共需要多少卡车。
可再次采用贪心法，使每辆卡车发挥最大工效，先安排国家路线的卡车，然后安排改变路线的卡车。
以下面一组解为例，具体说明卡车的安排方法：
每条路线上的车次见表1
表1
铲位1
铲位2
铲位3
铲位4
铲位5
铲位6
铲位7
铲位8
铲位9
铲位10
矿石漏
0
13
0
0
0
0
0
54
0
11
倒装场I
0
42
0
43
0
0
0
0
0
0
岩场
0
0
0
0
0
0
0
0
70
15
岩石漏
81
0
43
0
0
0
0
0
0
0
倒装场II
0
13
2
0
0
0
0
0
0
70
由
求得需要13辆卡车
通过[
]，使固定运行的卡车尽可能地往返于卸点和铲位之间，求出每条路线上固定运行的卡车数，见表2
表2
Ij
路线
卡车数
1—8
矿石漏—铲位8
1
2—2
倒装场I—铲位2
1
2—4
倒装场I—铲位4
1
3—10
倒装场II—铲位10
1
4—1
岩石漏—铲位1
1
4—3
岩石漏—铲位3
1
5—9
岩场—铲位9
1
固定运行的卡车共7辆，其它6辆车需要改变工作路线。
此时每条线上剩余的车次见表3
表3
Ij
路线
卡车数
1—2
矿石漏—铲位2
13
1—8
矿石漏—铲位8
25
1—10
矿石漏—铲位10
11
2—2
倒装场I—铲位2
3
2—4
倒装场I—铲位4
6
3—2
倒装场II—铲位2
13
3—3
倒装场II—铲位3
2
3—10
倒装场II—铲位10
23
4—1
岩石漏—铲位1
37
4—3
岩石漏—铲位3
8
5—9
岩场—铲位9
32
5—10
岩场—铲位10
15
在改变路线的6辆车中：
第一辆：
在1-2线路运输3次，剩余时间T-13（
）=87分钟，可以继续在1-8线路运输87/（
）=5次。
剩余时间极小，忽略，此时1-8线路剩余车次25-5=20。
第二辆：
在1-8线路运输20次，剩余时间T-20（
）=157分钟，可以继续在1-10线路运输157/（
）=11次。
剩余时间极小，忽略，此时1-10线路无剩余车次。
第三辆——第六辆的安排方法同上。
按上述方法，即贪心法计算剩余时间，即可得到具体的车辆安排，问题得解。
3、模型的计算
目标1：
总运量85628吨公里
8.6万吨公里总产量70378吨
7.0万吨
磁矩石产量38192吨
3.8万吨岩石产量32186吨
3.2万吨
出动7台铲车，分别安排在1，2，3，4，8，9，10七个铲位。
出动13辆卡车，安排如表4：
表4
编号
路线
运输次数
1
矿石漏—铲位8
29
2
倒装场I—铲位2
39
3
倒装场I—铲位4
37
4
倒装场II—铲位10
47
5
岩石漏—铲位1
44
6
岩石漏—铲位3
35
7
岩场—铲位9
38
8
矿石漏—铲位2
13
矿石漏—铲位8
5
9
矿石漏—铲位8
20
矿石漏—铲位10
11
10
倒装场I—铲位2
3
倒装场I—铲位4
6
倒装场II—铲位2
13
倒装场II—铲位3
2
倒装场II—铲位10
8
11
倒装场II—铲位10
15
岩石漏—铲位1
30
12
岩石漏—铲位1
7
岩石漏—铲位3
8
岩场—铲位9
23
13
岩场—铲位9
9
岩场—铲位10
15
目标2：
总产量103488吨
10.3万吨总运量146791吨公里
14.7万吨公里
矿石产量54308吨
5.4万吨岩石产量49280吨
4.9万吨
出动7台铲车，分别安排在1，2，3，4，8，9，10七个铲位。
出动20辆卡车，安排如表5
表5
编号
路线
运输次数
1
矿石漏—铲位3
18
2
矿石漏—铲位3
18
3
倒装场I—铲位2
39
4
倒装场I—铲位4
37
5
倒装场I—铲位3
20
6
倒装场II—铲位8
32
7
岩石漏—铲位1
44
8
岩场—铲位9
38
9
岩场—铲位9
38
10
岩场—铲位10
45
11
矿石漏—铲位8
28
矿石漏—铲位9
2
12
矿石漏—铲位9
14
倒装场I—铲位1
20
13
倒装场I—铲位1
4
倒装场I—铲位2
29
倒装场I—铲位4
4
14
倒装场I—铲位4
27
倒装场II—铲位3
5
15
倒装场II—铲位3
3
倒装场II—铲位8
25
倒装场II—铲位10
3
16
倒装场IO—铲位10
24
岩石漏—铲位1
22
17
岩石漏—铲位1
6
岩石漏—铲位2
26
18
岩石漏—铲位2
2
岩石漏—铲位3
32
岩石漏—铲位4
1
19
岩石漏—铲位4
27
岩场—铲位8
2
20
岩场—铲位8
9
岩场—铲位9
4
岩场—铲位10
24
4模型的分析
运用贪心法，可迅速求得铲车的可能位置，确定可能取得最优解的若干组合，大大减少了线性规划的计算次数。
确定铲车位置后，列出线性规划议程，用Lindo等工具求解，要迅速得到结果。
对于一些特殊情况，如多数铲位的优劣程度很接近时，采用贪心法无法准确地确定较优的铲位，此时需要进行线性规划的铲车安排方案数会大大增加，求解的时间会较长。
在解线性规划时，需要考虑多解的情况，即多种方案均可取得最优解，此时需要根据题目要求（岩石产量优先、总运量最小、卡车数最少）取得相应的最优解。
模型优点
使用贪心法，迅速确定铲车的可能位置；
采用线性规划的思想，化整为零，使模型简化，大大减少了计算的复杂度；
模型缺点：
对于一些情况，可能存在很多较优点，使用贪心法后不能有效的减少铲车的安排方式；
解线性规划过程中存在误差，导致最后结果会有细小偏差。
参考文献
[1]施光燕，董加礼．最优化方法[M]．北京：
高等教育出版社，1999
[2]陈挺．决策分析[M]．北京：
科学出版社，1987
[3]ChurchmanW．IntroductiontoOperationsResearch[M]JohnWiley＆Sonlnc，1985
[4]ThomasHCormenect．TileIntroductionttoAlgorithms[M]．TheMITPress，2001
SARS传播预测的数学模型
周义仓1，唐云2
（1-西安交通大学数学系，西安710049；2—清华大学数学科学系，北京100084）
摘要：
SARS的传播是2003年全国大学生数学建模竞赛的赛题之一，这是一个完全开放、国内外一直在探索的问题。
同学们提交的论文中建立了许多模型，对SARS的传播和预测进行研究。
本文对竞赛情况和需要探讨的问题进行了简单的总结。
关键词：
SARS；传播；数学模型；预测
分类号：
AMS（2000）34B08中图分类号：
0241．81文献标识码：
A
SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重呼吸道传染病）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS从2002年11月份开始在我国和世界范围内流行，到2003年6月23日为止，据世界卫生组织（WHO）报道，SARS患者已经达到了8459人，其中802人死亡[1]。
此时中国的SARS患者已经为5326人，其中347人死亡[2]，这给人民生活和国民经济的发展带来了很大的影响。
SARS是由一种冠状病毒引起的传染性很强的呼吸道传染病，它主要通过近距离空气飞沫以及接触病人呼吸道分泌物和密切接触进行传播，也可能通过病人飞沫污染物（如通过手、衣物、食物、水或环境等途径）传播。
SARS潜伏期一般为2—11天。
SARS患者的主要症状有：
发热头痛、全身酸痛和不适、乏力，部分病人在早期也会有轻度的呼吸道症状（如咳嗽、咽痛等）[3，4）
在全球抗击SARS的过程中，人们对SARS传播和发展趋势进行了大量的研究。
如Donnelly等人对SARS的潜伏期、死亡率进行了估计[5]，Lipsitch和Riley等人研究了SARS传播中的再生数和传播趋势[6，7]。
Chowell等人通过建立SEIJR模型，研究了SARS在加拿大、香港和新加坡的传播情况[8]。
国内许多科研院所也有许多工作是利用模型对SARS传播的分析与预测作出了定量的研究，对SARS的防控起到了积极作用。
已公开发表的论文有杨方廷、陈吉荣等人关于北京SARS传播过程的仿真、参数和数据处理[9，10]，方兆本等SARS流行规律的建模及预报[11]，周义仓等建立的描述我国SARS传播与控制的离散SEQUR模型[12]，以及王稳地等人对北京SARS模型的模拟等[13]。
在SARS传播的过程中，我国政府和世界卫生组织每天发布疫情信息，这些数据为我们的建模和分析提供了良好的基础。
1命题的想法
我国大学生数学建模竞赛已经进行了十几年，吸引了越来越多学生的兴趣，学校和社会逐步认识到竞赛对教学改革、对学生能力培养的重要作用。
扩大受益面、提高竞赛水平是今后大学生数学建模竞赛的主要目的。
选择社会关注的热点问题、增加赛题的灵活性和开放性是提高竞赛质量一个重要的途径。
SARS的流行是一场突如其来的灾难，它波及到了我国绝大部分省、市、区。
从4月起，北京一度成了SARS流行最为严重的一个城市，4月下旬每天的SARS病人和疑似病人大幅度增加，北京周围的一些省区和全国也出现了较多的感染情况，对我国的人民生活和经济发展造成了严重的影响。
从4月下旬起，全国各地都行动起来展开了一场抗击SARS的攻坚战。
到6月下旬每天的新增病例下降到零，世界卫生组织就解除了对北京的旅游警告，我国人民的日常生活和经济发展逐步恢复正常。
数学建模对传染病传播过程的描述、分析、预报和控制能起到积极的作用。
为了唤起社会对数学作用的认识，全国大学生数学建模竞赛组委会专家组就把SARS的传播这场密切联系到国民生活的重大事件提炼成赛题，作为今年的A、C题。
我们知道许多院校在竞赛培训过程中非常关注SARS的建模和预测，已把它作为校内竞赛题或训练题。
这表明大家在自觉地应用数学建模的理论和方法来分析和解决社会急需探讨的问题，数学的应用意识在不断的加强和深化，这是多年来数学建模活动效果的反映。
同时也给SARS建模的命题带来了困难，考虑到这一点，在"SARS的传播”赛题中，除了建模、预测及分析对经济的影响外，增加了评论一篇早期发表的论文，及给报社写短文部分。
在命题讨论过程中我们也知道已经有不少SARS研究的资料，特别是在网上可以搜索到许多关于SARS建模和预测的文章，有可能导致过多的引用，甚至抄袭，给评判带来困难。
但从另一方面看，SARS建模和预测是一个十分复杂的问题，从传播机理、建模原则，到数据的收集、整理、模型的建立和模型参数的确定，都有一系列问题需要继续研究。
网上和刊物中大量丰富的文献资料可以使学生更多、更深入地了解SARS的传播过程和建模预测方法，学习真正怎样将数学和计算机技术用来研究与解决人们所关注的实际问题。
竞赛题目的第一问是提供了一篇北京大学在早期对SARS进行建模和分析预测的文章，让参加竞赛的同学进行评价，目的是希望让学生了解别人对SARS传播建模和预测的处理方法。
该模型在早期有它的应用价值，在SARS流行结束后再对它作出分析和评价，有利于学生找到更加实用的模型和方法。
题目的第二问是提供了北京市4月20日到6月12日已确诊的SARS累计病例数、现有的疑似SARS病例数、累计死亡人数和累计治愈出院人数，希望学生建立起自己的模型，以对北京等地SARS的感染情况进行研究，定量地描述，并分析控制措施对SARS传播的影响。
特别是训练学生学习利用已给的数据确定模型中的参数，进行分析、计算和比较。
题目的第三问让同学收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测，由于担心学生资源的限制，题目中还提供了北京市从1997年1月到2003年8月接待的海外游客人数作为参考。
题目的第四问是让学生给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性，当然也希望能将自己模型和预测结果简要地介绍给民众，使更多的人认识到数学建模和预测工作的重要意义。
把"SARS的传播”作为赛题也是希望学生尽可能地发挥自己的特长，收集尽可能多的数据，在网络和刊物中搜索尽可能多的参考文献，建立数学模型解决问题。
该题目没有（也不可能有）固定的模型和标准答案，这也促使各赛区的阅卷人员也深入钻研、思考问题，了解国内外SARS建模的研究现状，从学生的
升级会员 