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第二章与时俱进的数学教育

数学教育要把人类创立的数学文明中的精华部分以符合时代精神的方式，构建数学课程，通过教师的示范和引导，让学生理解、吸收和掌握这些优秀的数学。

什么是数学的精华？

今天的时代精神有哪些？

什么数学属于优秀的部分？

哪些内容是今天的学生应该学习的？

回答这些问题时应与时俱进，因地而异

从数学观的变化考察中小学数学课程该包括哪些内容，数学教师应该具备怎样的数学观。

二、数学观

数学观即数学是什么，是人们对数学本身及其相关内容的看法。

思考

回顾数学学习的过程，说说你对数学及其内容的认识

数学观对数学教学、数学学习有影响吗？

数学的内容及其发展变化会影响人们对数学的认识吗？

三、对数学和数学教育价值的争论

什么是数学？

形式主义还是现实主义的数学？

数学的教育价值何在？

思维体操？

产生经济效益的技术？

数学是绝对真理吗？

经验的还是理性的？

我们能不能相信自己的眼睛？

数学能力的核心是数学逻辑思维能力，考试不宜出数学应用题数学必须从学生的日常生活实际出发，把“量一量”“做一做”当做数学证明（忽视数学的抽象性特征）

4、数学发展史上的四个高峰

1古希腊的公理化数学（公元前700-300）

2微积分的建立与发展（17至18世纪）

3希尔伯特为代表的现代公理化数学的兴起（19至20世纪中叶）

4现代计算机技术影响形成的数学的新发展（20世纪中叶以来）

数学技术的广泛应用（p19）

形式主义的数学观认为，数学是从一组相容的、独立的、完备的公理体系出发，按照一定的逻辑方式推理出来的一堆“形式”，与现实无关

5、数学观的分类（欧内斯特1989）

1问题解决的观点

动态的，发展的，开放的，可修正的

2柏拉图主义的观点

静态的，永恒不变的，有逻辑关系

3工具主义的观点

有用的事实性结论，法则和技巧，无关联

六、20世纪数学观的变化

公理化方法、形式演绎仍是数学的特征之一，但是数学不等于形式

数学注重应用

数学不等于逻辑

思考

数学的价值

生活中的数学语言……

七、数学的价值

科学、教育、人文、创造

工具、应用、经济、文化

数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的不可替代的作用

数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民必须具备的一种基本素质

收集、整理、选择、判断、描述信息，解决问题

生活、劳动、学习中（处理数据、计算、推理、证明）必不可少的工具（四批人的上班时间

为其他学科提供了语言、思想和方法

思考：

数学教育中感受数学的文化价值

文化的守恒

文学的守恒

明月松间照，清泉石上流

能量守恒

数学中的守恒

（结合律、交换律、分数、全等、解方程）

八、20世纪我国数学教育观的变化

1由关心教师的“教”转向也关注学生的“学”；

2从“双基”与“三力”观点的形成（20世纪60年代p39），发展到更为宽广的能力观和素质观；

3从听课、阅读、演题，到提倡实验、讨论、探索的学习方式；

4从看重数学的抽象与严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用

新的数学能力观包括注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生的数学探究能力，数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。

9、我国数学学习理念的显著变化

时代

20世纪50年代

21世纪前后至今

课内学习

听讲：

看清、听清、问清、记清

不仅限于接受、记忆，还应主动进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流

教师与学生

教师讲清、讲透，学生学好、练好

学生是数学学习的主体；教师是数学学习的组织者、引导者和合作者，发挥主导作用

练习与活动

严格要求学生按时并独立的完成作业，严禁互相抄袭和集体讨论的办法完成作业

教师激发学生学习的积极性，提供从事数学活动的机会，帮助他们自主探索与合作交流

十、东西方数学教育的比较

西方

正在寻求的平衡点

东方

多重选择

考试温和

学生中心

强调理解

基础松散

非形式化

适当演练

个性发展

轻松学习

美国、西欧、俄罗斯、日本、港台地区、中国内地

统一要求

考试严厉

教师中心

熟能生巧

扎实基础

形式演绎

反复演练

进度一致

负担过重

延伸阅读与思考

数学教学中如何体现数学的价值，教师该做什么？

准确认识教学内容的科学价值、应用价值、教育价值、文化价值

对数学学习过程的设计要体现数学的价值（三角函数）

4、数学教师的专业化发展

1教师专业化

教师职业有自己独特的职业要求和职业条

件，有专门的培养制度和管理制度

2数学教师专业化的内涵

（1）数学专业化

数学学科知识

数学能力（一般数学能力、特殊数学能力、综合性的数学能力）

数学素养

（2）教育专业化

教育学科知识

广博的文化科学知识

一般教学能力

数学教学能力

（3）数学教师的专业情意

第6章教学课程的制定与改革

（PPT6）.数学课程的改革与发展

一、课程简介

学习内容的范围、时限和进程。

英文中，课程（curriculum）源自拉丁语currere，“跑”

“学习的进程”（courseofstudy）、“学习的路线”，学程

对课程内容有几种不同的理解

1.课程内容即教材

2.课程内容即教学进度计划

3.课程内容即学习活动

4.课程内容即学习经验

课程的类型

（一）隐性课程与显性课程

存在于物质、文化情境之中，具有非正式、潜在、隐蔽性

（二）科目课程与活动课程

（三）必修课程与选修课程

（四）国家、地方、校本课程

（五）综合实践活动课程

二、中外数学课程改革简介

1中国数学课程历程

“五四”之前算学为主

“五四”-解放前欧美

1949年之后仿照苏联

1963有了自己的教学大纲

1966-1976散乱

1976年之后与国际接轨

2000年至今改革

2国际改革路线

60-70年代-“新数学”运动

70年代-回到基础（反思基础上的再思考）

80年代-大众数学

90年代问题解决

（1）新数学运动

◆增加现代数学内容。

集合、逻辑、群环域、矩阵、向量、微积分、概率、统计

◆强调公理化方法。

代数公理化和系统化

◆废弃欧式几何。

◆强调结构

组成综合的数学课程，用集

合、运算、关系和映射等把数学课程统一

为一个整体。

◆消减传统的运算

繁杂的三角恒等式，分式化简，（缺乏应用的实用价值的知识）

◆追求新的处理方法，强调趣味性和直观

性，提倡发现法。

新数运动出现的问题

◆过分强调公理化和严谨性，导致学生计算能力的削弱。

教育质量下降。

◆贯穿新数学运动课程内容的集合论过于抽象，学生很难理解。

◆数学教师的水平没有及时跟上

（2）七十年代后期对数学教育的内容和方法又做了调整，总的趋势有以下几点：

◆回到基础；

◆强调数学的应用；

◆肯定和加强概率、统计；

◆提倡搞点“趣味数学”，克服“新数”那种呆板枯燥的形象；

◆适当采用现代数学的概念、术语和符号

（3）八十年代大众数学

人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

（4）90年代问题解决

挑战性、趣味性、探索性、开放性

三、数学课程改革的历史必然

数学本身发生了变化

社会发生了变化

教育发生了变化

我国基本普及9年义务教育，沿海城市90%高中入学率

教育观念发生了变化

素质教育和创新教育

知识传授为本转向以学生的数学发展为本。

四、我国现阶段课程改革的进程

1义务教育的课程改革实验

2001年38个实验区；

2高中数学课程改革实验

2000、6，启动；

2002、4，公布框架设想；11月确定征求意见稿；

2003、5，公布新课标实验稿；

2004、9部分地区实验

2.两种课标的基本理念及内容领域

五、义务教育阶段数学课程改革简介

（一）课程性质

（二）义务教育阶段数学课程的基本理念

1.认识数学课程

人人都能获得良好的数学教育；不同的人在数学上得到不同的发展

2.如何认识数学

体现人类生活与数学之间的联系

3.如何认识数学学习

重结果的形成过程；生动活泼的、主动的和富有个性的学习过程。

4.如何认识数学教学

关注学生的个人知识和直接经验；教师是引导者、组织者、合作者，在数学教学中发挥主导作用

5如何认识数学教育评价

过程性；多样化评价

6如何认识现代信息技术在数学课程中的作用

（三）课程设计的思路

1．学段划分

2．课程目标

知识与技能

数学思考（三大能力，统计观念，形象数学思维，数感，符号意识等）

问题解决（应用意识、交流、反思）

情感与态度

3．课程内容

课程内容领域

1．数与代数

2．图形与几何

3．统计与概率

4．实践与综合运用

（四）《全日制义务教育数学课程标准》的特点与内容的变化

1、加强的内容

数感和符号意识；口算；空间观念

数学背景知识

统计与概率

重视新技术的应用（使用计算器）

义务教育各阶段内容领域

1第一学段（1~3年级）：

数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动。

2第二学段（4~6年级）：

数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用。

3第三学段（7~9年级）：

数与代数、空间与图形、统计与概率、课题练习。

六、高中数学课程改革简介

（一）高中数学课程改革的基本理念（PPT中）

多样性，个性

学习方式

数学探究、数学建模、数学阅读）

数学思维能力

直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明、数据处理、反思建构

数学应用意识

强调本质，注意适度形式化

体现数学的文化价值

增加了对“数学文化”的学习要求，设立了“数学史”、“数学与社会”、“数学思想方法”等专题选修课程。

注重信息技术与数学课程的整合

算法融入到数学课程的各个相关部分

评价体系

（一）《普通高中数学课程标准（实验）的基本理念》（书本P163）

1.给高中数学课程定位：

基础性和选择性。

2.“高中标准”倡导积极主动、勇于探索的学习方式，以提高学生的

数学思维能力，加强学生的数学应用意识。

3.“高中标准”与时俱进地认识“双基”，防止过度形式化，注意揭

示数学文化的人文价值。

4.“高中标准”重视“数学教育技术”的使用。

科学型的计算器必须

使用，而且允许带入考场。

用多媒体技术进行课堂教学，也是应该

提倡的。

（二）《普通高中数学课程标准（实验）对有关数学内容的取舍和处

理》

1．高中数学课程实行模块化，学分制

必修课程：

5模块，10个学分，每个模块36学时。

选修课程（4个系列）：

系列1（文科）,系列2（理工）

系列3系列4分别偏重纯粹数学或应用数学（自选）

2．算法内容的设计与安排

全新内容（12课时）

3．集合与函数

继续深化函数的变量说，把函数当作一种数学模型，用更多的例子来说明变量之间的依赖关系。

又要突出集合的对应说，以便精确地表示函数。

理性精神与宏观思考

具体、微观表示

4.概率统计问题

统计（必修16学时）：

随机抽样、样本估计总体、变量的相关性

概率（8学时）：

古典概率与随机数

选修：

二项分布，超几何分布

小学：

随机现象；

初中：

平均数、方差、中位数、众数）

5.关于立体几何

直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”

（1）重视几何直观

（2）用向量法解决有关平行、垂直、角度计算问题

（3）降低解析几何中二次曲线的要求，增加

空间直角坐标系的内容

（4）开设“平面几何”选修课

6．选修有关矩阵的知识

7．二项式定理、复数、数学归纳法的要求，不出现复数三角式

8．微积分的有关内容

导数及其在研究函数性质中的应用

9．开设众多全新的选修课

10.继承双击数学教学的传统

必修系列

数学1：

集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂

函数）；

数学2：

立体几何初步、平面解析几何初步；　　

数学3：

算法初步、统计、概率；

数学4：

基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；

数学5：

解三角形、数列、不等式.

选修系列

系列1：

由两个模块组成.

选修1-1：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；

选修1-2：

统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图.

系列2：

由三个模块组成.

选修2-1：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；

选修2-2：

导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；

选修2-3：

计数原理、统计案例、概率.

选修系列

系列3：

由六个专题组成.

选修3-1：

数学史选讲；

选修3-2：

信息安全与密码；

选修3-3：

球面上的几何；

选修3-4：

对称与群；

选修3-5：

欧拉公式与闭曲面分类；

选修3-6：

三等分角与数域扩充.

选修系列

系列4：

由十个专题组成.

选修4-1：

几何证明选讲；

选修4-2：

矩阵与变换；

选修4-3：

数列与差分；

选修4-4：

坐标系与参数方程；

选修4-5：

不等式选讲；

选修4-6：

初等数论初步；

选修4-7：

优选法与试验设计初步；

选修4-8：

统筹法与图论初步；

选修4-9：

风险与决策；

选修4-10：

开关电路与布尔代数.

义务教育各阶段内容领域

1第一学段（1~3年级）：

数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动。

2第二学段（4~6年级）：

数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用。

3第三学段（7~9年级）：

数与代数、空间与图形、统计与概率、课题练习。

数感主要表现在：

理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。

符号感主要表现在：

能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。

第10章数学课堂教学基本技能训练

（PPT5.1）

一、导入技能

导入是在新的教学内容开始或教学活动开始之前，引导学生进入学习状态的教学行为方式。

用于一个完整的教学过程、一节课、一个教学片断的起始阶段。

常见的导入方式：

温故导入

数学史料导入

生活实例导入

问题导入

类比导入

归纳导入

活动导入

如何引入以下课题（非重点）：

三角形全等的判定

椭圆定义

等比数列的前n项和

复数概念分式的基本性质

平方差公式

常见的导入方式

1.温故导入

（孔子《论语·为政》：

“温故而知新，可以为师矣。

”）建构主义、认知结构理论

已知进入未知，提问质疑

三角形相似（判定）

三角形全等→三角形相似（判定）

椭圆定义的引入

问题1:

什么叫圆?

答:

平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆.

问题2:

如果将圆的定义中的

“一个定点”改为“两个定点”,即将“到一个定点的距离等于定长”改述为:

到两个定点的距离之和等于定长,那么点的集合又是什么呢?

相交弦定理

怎样证明四条线段成比例？

答：

利用相似三角形或平行线分线段成比例定理。

怎样证明两条线段之积等于另两条线段之积

答：

化为比例式证明

2.数学史料导入（数学史与数学教育）

讲概念定理时介绍数学历史背景

等差数列求和公式？

等比数列的前n项和？

高斯速算1+2+…+100=？

→等差数列求和公式

麦粒与棋盘

→等比数列的前n项和

3.生活实例导入

糖水加糖

偿一勺汤

用样本估计总体的统计思想

思考：

如何引入以下概念？

复数概念

复数的三角形式

数列极限的概念

4.问题导入

（1）

（2）

（3）（3）0.9的循环和1哪个大

5.类比导入

回忆：

多项式乘法法则

立体几何面面关系

分式基本性质

实数乘法法则→多项式乘法法则

平面几何线线关系→立体几何面面关

分数基本性质→分式基本性质

6.归纳导入

上位学习，归纳推理

如何引入“平方差公式”？

上位学习（总括学习）

在认知结构中原有的几个观念的基础上学习一个包容性程度更高的命题

蔬菜、水果、圆锥曲线、正多面体

7.活动导入

有序数对

等腰三角形的判定

8.直接引入

二、导入的功能

序幕、重要环节、奠定基础

1.引起注意

2.激发兴趣

3.促进思维

4.提供知识背景

注：

灵活运用

把握时间

紧扣教学内容

情绪饱满

综合、灵活、多样

忌表面化、庸俗化、去数学化

（PPT）5.2数学课堂教学技能

数学课堂教学技能概述

教学技能——教师在教学过程中，运用与教学有关的知识和经验、促进学生学习、达成教学目标的能力或一系列行为方式。

教学语言

板书绘图

教态变化

提问技能

一、教学语言

（一）教学语言的一般要求

清晰、准确、流畅、合乎逻辑

音量、语速、气势、抑扬顿挫

节奏、重音、停顿

（二）数学教学语言的实施要点

1.准确精炼，有科学性

例：

（1）椭圆——到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹？

（2）矩形——四个角都相等的平行四边形？

（3）

变形理由：

负数的奇次幂是负数？

（4）

2.解释性——将书面语言转述为教学语言

例：

a.任意非零实数（任何一个不等于零的实数）

b.函数的定义：

非空数集、,若存在一个确定关系，对于中任意一个元素在中都有唯一的元素和它相对应，则称：

→是从到的一个函数。

如：

节气朝代

3.生动形象，善用比喻、夸张、拟人

目的：

增强记忆、提高效率、激发兴趣。

溜冰、拉手风琴、跳橡皮筋、乘电梯

合并同类项法则

（1）合并同类项，法则不能忘，只把系数相加减，字母指数不变样

（2）同类项需判断，两相同是条件；合并时需计算，系数相加两不变

二、板书绘图

以凝练的文字、符号和图表等形式传

递教学信息的一种教学行为方式。

一般要求、操作要点、功能

（一）板书的一般要求

字体大小合适、间距适当、书写课题、

布局合理美观

真命题假命题

与三角形有关的线段：

中线、高线、平行线

平行线的性质

一元一次不等式组

（二）板书运用要点

示范性，概括性，布局合理，

把握节奏，多样性

1.示范性：

书写规范（计算、推理步骤格式规范）

作图规范，图形美观，作图要有一般性

2.概括性

突出重点和关键点、详略得当

3.布局合理

条理清晰，层次分明

课题、主副板、保留重要依据

4.把握节奏：

与讲解统一

适当停顿

与教学语言保持一定的逻辑关系

5.多样性

方框、图表、彩色粉笔的合理搭配

彩色粉笔的使用：

关键词语或符号

关键易错之处

图形的强调与区分

板书的功能：

a.加强学生理解

b.突出重点，强化记忆

c.揭示教学内容的结构体系

d.激发兴趣，启迪思维

三、教态

口语以外的全身各部位动作来传达教学信息的操作行为，

包括：

姿态、手势、眼神、表情以及外表修饰等

1.姿态：

台上，台下

2.手势：

指教师运动自己的双手、双臂传达教学信息和组织教学的操作

自然大方、

表情达意、

配合有度

符合日常生活习惯

3.眼神：

获得反馈，引起注意

眼睛是心灵的窗户，教师借以传达

信息、组织教学的手段。

鼓励与期待、询问与理解

赞同与反对、暗示与警告

面向全体

忌目光游移不定

4.面部表情：

课上信息总效果：

文字、音调、面部表情

7%文字

%38音调

%55面部表情

传达积极、愉快、善意的情绪。

富有感染力（表情共鸣效应）

四、提问技能

（一）提问的作用：

促进学生主动参与教学

提供交流讨论机会

教师获得反馈信息

（二）提问技能运用要点：

明确易懂，指明思考的前提和方向

问到关键之处

面向全体学生

由浅入深

等待

倾听、注意、理解、评价：

肯定合理成分，指出需改进之处

（三）提问的类型：

回忆型提问、理解型提问、运用型提问、分析型提问、综合型提问、评价型提问

1.回忆型提问：

对已学知识的再现和确认

数列的通项公式、求和公式、中项公式（数列应用课）

2.理解型提问：

为使学生理解知识而设计的问题

用于概念原理讲解之后，加深理解

例：

圆周角定义的理解

例：

函数概念的理解

3.运用型提问：

概念、定理、方法的应用

例：

灵活运用幂运算

例：

一元一次不等式解法

一元一次方程的求解步骤，能否用此解？

4.分析型提问：

识别条件结论间的关系

例：

奇函数的定义

综合型提问

评价型提问

（四）提问要注意避免三种倾向：

1、过于简单，有口头禅

2、提问学生已经很熟悉的知识

3、问题表述不清楚，或问题太大

例：

如果两个三角形的对应边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。

有对象：

A中元素无剩余

唯一对象：

B中有唯一的一个元素与之对应

一对一：

不同的元素可以有不同的对象

多对一：

A中的两个或多个元素可有同一对象

不可一对多

数学归纳法证明:

起始条件，k到k+1,综上所述

例：

用数学归纳法证明等式：

1+2+22+…+2n-1=2n-1

分析：

需要提出以下三个命题

P

（1）：

1=21-1证明的第一步

P（k）：

1+2+22+…+2k-1=2k-1

P（k+1）：

1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1

归纳假设推理

对于P

（1），要验证它成立，这是证明的第一步，

对于P（k），则把它作为归纳假设，即把它作为第二步证明的条件使用．

对于P（k+1），则要以归纳假设为条件，给出严格证明．这是证明的第二步，

在完成上述步骤后，就可以根据数学归纳法原理断言原等式对一切自然数n都成立．

证明：

（1）当n=1时，原式左边=1，右边=21-1=1．

故原式左边=右边，即等式对n=1成立．

（2）假定n=k时，等式成立，即有

1+2+3+…+2k-1=2k-1

那么，当n=k+1时，则有

1+2+22+…+2k-1+2k

=（2k-1）+2k               （这里用了归纳假设）

=2·2k-1=2k+1-1

故等式对于n=k+1也成立．

综上所述，原等式对以一切n都成立。

（PPT5.3）如何组织教学

思考：

数学课堂教学是师生交往互动的思维活动过程。

学生参与是影响学习结果、决定课堂教学效率的重要因素。

如何吸引、启发、组织学生?

1.如何吸引学生

吸引学生的主要方式：

联系、挑战、变化、魅力

亲其师而信其道

与数字“0”有关的联想

每天早晨我们许多同学都要骑自行车来上学，假如有一天，自行车的车轮都变成三角形，你还会按时到学校吗？

为什么？

师：

车轮为什么做成圆的？

生：

能滚动

师：

（画正方形、长方形）不做成圆的，因其不能滚动，为什么不做成椭圆形？

生：

（感到问题的幽默，活跃）滚起来不平稳

师：

为什么不平稳呢？

生：

……

279

2.如何启发学生