指数高一新教材A版必修第一册.docx

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指数高一新教材A版必修第一册

　指数

第1课时　根式

1．根式及相关概念

（1）a的n次方根定义

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

（2）a的n次方根的表示

n的奇偶性

a的n次方根的表示符号

a的取值范围

n为奇数

R

n为偶数

±

[0，＋∞）

（3）根式

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

2．根式的性质（n>1，且n∈N*）

（1）n为奇数时，＝a.

（2）n为偶数时，＝|a|＝

（3）＝0.

（4）负数没有偶次方根．

思考：

（）n中实数a的取值范围是任意实数吗？

提示：

不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；

当n为大于1的偶数时，a≥0.

1.的运算结果是（　　）

A．3　　　　　B．－3

C．±3D．±

A　[＝＝3.]

2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　）

A.B.

C.D.

C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]

3．下列说法正确的个数是（　　）

①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．

A．1　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

B　[①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]

4．若x3＝－5，则x＝________.

－　[若x3＝－5，则x＝＝－.]

n次方根的概念问题

【例1】　

（1）27的立方根是________．

（2）已知x6＝2019，则x＝________.

（3）若有意义，则实数x的取值范围为________．

（1）3　

（2）±　（3）[－3，＋∞）　[

（1）27的立方根是3.

（2）因为x6＝2019，所以x＝±.

（3）要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.

所以实数x的取值范围是[－3，＋∞）．]

n次方根的个数及符号的确定

（1）n的奇偶性决定了n次方根的个数；

（2）n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.

1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：

①；②；③；④，其中无意义的有（　　）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．0个

A　[①中（－3）2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中（－5）2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.]

利用根式的性质化简求值

【例2】　化简下列各式：

（1）＋（）5；

（2）＋（）6；

（3）.

[解]　

（1）原式＝（－2）＋（－2）＝－4.

（2）原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.

（3）原式＝|x＋2|＝

正确区分与（）n

（1）（）n已暗含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围；

（2）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．

2．若＝3a－1，求a的取值范围．

[解]　∵＝＝|3a－1|，

由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥.

故a的取值范围为.

有限制条件的根式的运算

[探究问题]

1．当a>b时，等于多少？

提示：

当a>b时，＝a－b.

2．绝对值|a|的代数意义是什么？

提示：

|a|＝

【例3】　

（1）若x<0，则x＋|x|＋＝________.

（2）若－3

[思路点拨]　

（1）由x<0，先计算|x|及，再化简．

（2）结合－3

（1）－1　[∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，

∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]

（2）[解]　－

＝－＝|x－1|－|x＋3|，

当－3

当1

因此，原式＝

1．在本例

（1）条件不变的情况下，求＋.

[解]　＋＝x＋＝x＋1.

2．将本例

（2）的条件“－3

[解]　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，

所以原式＝－（x－1）＋（x＋3）＝4.

带条件根式的化简

（1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.

（2）有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

1．注意同（）n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者（）n＝a是恒等式，只要（）n有意义，其值恒等于a.

2．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．

1．思考辨析

（1）实数a的奇次方根只有一个．（　　）

（2）当n∈N*时，（）n＝－2.（　　）

（3）＝π－4.（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×

2．已知m10＝2，则m等于（　　）

A.　　　B．－　　　C.　　　D．±

D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，

∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.]

3.＋＝________.

1　[＋＝4－π＋π－3＝1.]

4．已知－1

[解]　原式＝－

＝|x－2|－|x＋1|.

因为－1

所以x＋1>0，x－2<0，

所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.

课后作业　根式

（建议用时：

60分钟）

[合格基础练]

一、选择题

1．下列等式中成立的个数是（　　）

①（）n＝a（n∈N*且n>1）；②＝a（n为大于1的奇数）；③＝|a|＝（n为大于零的偶数）．

A．0个　　　　B．1个

C．2个D．3个

D　[由n次方根的定义可知①②③均正确．]

2．若＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．[2,4）∪（4，＋∞）

C．（－∞，2）∪（2，＋∞）D．（－∞，4）∪（4，＋∞）

B　[由题意可知∴a≥2且a≠4.]

3．化简－等于（　　）

A．6B．2x

C．6或－2xD．6或－2x或2x

C　[原式＝|x＋3|－（x－3）＝

故选C.]

4．已知xy≠0且＝－2xy，则有（　　）

A．xy<0B．xy>0

C．x>0，y>0D．x<0，y>0

A　[＝－2xy≥0，又xy≠0，∴xy<0.]

5．若n

A．2mB．2n

C．－2mD．－2n

C　[原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－（m＋n）－（m－n）＝－2m.]

二、填空题

6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.

－11或7　[因为81的平方根为±9，

所以a＝±9.

又因为－8的立方根为b，

所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7.]

7．若＋＝0，则x2018＋y2019＝________.

0　[∵≥0，≥0，且＋＝0，

∴即

∴x2018＋y2019＝1－1＝0.]

8．已知＋1＝a，化简（）2＋＋＝________.

a－1　[由已知＋1＝a，

即|a－1|＝a－1，即a≥1.

所以原式＝（a－1）＋（a－1）＋（1－a）＝a－1.]

三、解答题

9．化简：

（1）（x<π，n∈N*）；

（2）.

[解]　

（1）∵x<π，∴x－π<0，

当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时，＝x－π.

综上，＝

（2）∵a≤，∴1－2a≥0，

∴＝＝|2a－1|＝1－2a.

10．设－2

[解]　原式＝－＝|x－1|－|x＋2|，

∵－2

∴当－2

原式＝－（x－1）－（x＋2）＝－2x－1；

当1≤x<2时，原式＝x－1－（x＋2）＝－3.

∴原式＝

[等级过关练]

1．当有意义时，化简－的结果是（　　）

A．2x－5B．－2x－1

C．－1D．5－2x

C　[因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－

＝（2－x）－（3－x）＝－1.

故选C.]

2．下列式子中成立的是（　　）

A．a＝B．a＝－

C．a＝－D．a＝

C　[因为a<0，故a＝－（－a）＝－＝－，故选C.]

3．若a>2b，则＋＝________.

2a－3b　[因为a>2b，

所以＋＝a－b＋|a－2b|＝a－b＋a－2b＝2a－3b.]

4．等式＝（5－x）成立的x取值范围是________．

[－5,5]　[要使＝＝|x－5|＝（5－x），

则所以－5≤x≤5.]

5．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．

[解]　y＝＋

＝|2x＋1|＋|2x－3|＝

其图象如图所示．

由图易知函数的最小值为4.

第2课时　指数幂及运算

1．分数指数幂的意义

分数指数幂

正分数指数幂

规定：

a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）

负分数指数幂

规定：

a－＝＝

（a>0，m，n∈N*，且n>1）

0的分数指数幂

0的正分数指数幂等于0，

0的负分数指数幂没有意义

思考：

在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?

提示：

①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．

②若a<0，a＝不一定成立，如（－2）＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.

2．有理数指数幂的运算性质

（1）aras＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）．

（2）（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）．

（3）（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

3．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

1．下列运算结果中，正确的是（　　）

A．a2a3＝a5　　　　B．（－a2）3＝（－a3）2

C．（－1）0＝1D．（－a2）3＝a6

A　[a2a3＝a2＋3＝a5；（－a2）3＝－a6≠（－a3）2＝a6；（－1）0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]

2．4等于（　　）

A．25　　　B.　　　C.　　　D.

B　[4＝＝，故选B.]

3．已知a>0，则a等于（　　）

A.　　　　　B.

C.　　　　　D．－

B　[a＝＝.]

4．（m）4＋（－1）0＝________.

m2＋1　[（m）4＋（－1）0＝m2＋1.]

根式与分数指数幂的互化

【例1】　将下列根式化成分数指数幂的形式：

（1）（a>0）；

（2）；

（3）（b>0）．

[解]　

（1）原式＝＝＝＝a.

（2）原式＝＝＝＝＝＝x.

（3）原式＝＝b＝b.

根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．

（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

1．将下列根式与分数指数幂进行互化：

（1）a3·；

（2）（a>0，b>0）．

[解]　

（1）a3·＝a3·a＝a＝a.

（2）＝

＝＝

＝ab.

利用分数指数幂的运算性质化简求解

【例2】　化简求值：

指数幂运算的常用技巧

（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.

（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.

提醒：

化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含