苏教版初中数学行程问题.docx

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苏教版初中数学行程问题

行程问题专题训练（行船问题）

　　一、知识梳理

　　行船也是行程问题，它也有路程、速度与时间之间的数量关系。

同时，行船问题比一般的行程问题还多了一个水速的数量。

在静水中行船，单位时间内所走的路程叫船速；逆水上行的速度叫逆水速度；顺水下行的速度叫顺水速度；船在水中漂流，不借助其他外力只顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度，简称水速。

　　观察图1，可知各种速度的关系：

　　顺水速度=船速+水速；

　　逆水速度=船速-水速；

　　（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；

　　（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。

　　二、例题精讲

　　例1、一条大河，河中间（主航道）水速为每小时8千米，沿岸边水速为每小时6千米。

一条船在河中间顺流而下，13小时行驶520千米，求这条船沿岸边返回原出发地点，需要多少小时?

　　分析：

此题求的是该船沿岸边返回原地需要多少小时，返回来是逆流而上，又知总路程是520千米，应该先把逆水速度求出，所需的时间就可以求出。

　　顺水速度：

520÷13=40（千米/时）

　　船速：

40-8=32（千米/时）

　　逆水速度：

32-6=26（千米/时）

　　沿岸边返回原地所需要的时间：

　　520÷26=20（小时）

　　综合算式：

　　520÷（520÷13-8-6）

　　=520÷（40-8-6）

　　=520÷26

　　=20（小时）

　　答：

这条船沿岸边返回原地所需的时间为20小时。

　　例2、静水中甲、乙两船的速度分别为每小时22千米和每小时18千米。

两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙?

　　分析：

求甲追上乙所用的时间，需要具备两个条件：

一是甲、乙相距多少千米，也就是甲船出发时，乙船已行了多少千米，在求这个条件时，不要忽略水速。

另一个条件是两船的速度差，这就是甲船每小时比乙船多行多少千米。

　　（18+4）×2÷[（22+4）-（18+4）]=44÷4=11（小时）

　　答：

甲船开出后11小时追上乙船。

　　例3、一支运货船队第一次顺水航行42千米，逆水航行8千米，共用了11小时；第二次用同样的时间，顺水航行了24千米，逆水航行了14千米。

求这支船队在静水中的速度和水流速度?

　　分析：

要求出船队的船速和水速，需要先求出顺水速度和逆水速度。

　　顺水速度是逆水速度的（42-24）÷（14-8）=3（倍）

　　假设第一次航行全是顺水航行

　　顺水速度：

　　（42+8×3）÷11=66÷11=6（千米/时）

　　逆水速度：

　　8÷（11-42÷6）=8÷4=2（千米/时）

　　船速：

（6+2）÷2=4（千米/时）

　　水速：

（6-2）÷2=2（千米/时）

　　答：

这只船队在静水中的速度是每小时4千米，水速为每小时2千米。

　　三、专题特训。

　　1、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。

求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。

　　2、甲、乙两地相距48千米，一船顺流由甲地去乙地，需航行3小时；返回时因雨后涨水，所以用了8小时才回到甲地。

平时水速为4千米/时，求涨水后水速增加多少?

　　3、甲、乙两港的距离是208千米，一只船从甲港顺流开往乙港，船在静水中的速度是每小时21千米，水流速度是每小时5千米，问该船从甲港到乙港所需要的时间？

原路返回时需要的时间？

　　4、短跑选手柳翔，顺风跑90米用了10秒；在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒。

问该选手在无风时，跑100米用多少秒？

　　5、一只船在河里航行，顺流而行时为每小时20千米。

已知此船顺水航行3小时和逆水航行5小时所行的路程相等，求船速和水速每小时多少千米。

　　6、两个码头相距432干米，轮船顺水行这段路程需要16小时，逆水每小时比顺水少行9千米，逆水比顺水多用几小时?

　　7、一只帆船的速度是每分钟90米，船在水流速度为每分钟30米的河中，从上游的一个港口到下游某地，再返回到原地，共用2小时30分。

问这条船从上游港口到下游基地共走了多少米?

　　8、甲、乙两船分别从A港逆水而上，静水中甲船每小时行15千米，乙船每小时行12千米，水速为每小时3千米。

乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，已离开A港多少千米?

　　9、已知80千米水路，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时，如果乙船顺流而下需5小时，问乙船逆流而上需要多少小时?

　　10、已知从河中A地到海口60千米，如船顺流而下，4小时可到海口，已知水速为每小时6千米。

船返回已航行4小时后，因海水涨潮，由海向河的水速为每小时3千米，问此船回到原地，还需再航行几个小时?

1、21千米，5千米。

　　顺水速度：

208÷8=26（千米/时）

　　逆水速度：

208÷13=16（千米/时）

　　船速：

（26+16）÷2=21（千米/时）

　　水速：

（26-16）÷2=5（千米/时）

　　答：

船在静水中的速度为每小时21千米，水速为每小时5千米。

　　2、2千米。

　　平时顺水速度：

48÷3=16（千米/时）

　　船速：

16-4=12（千米/时）

　　涨水后逆水速度：

48÷8=6（千米/时）

　　涨水后的水速：

12-6=6（千米/时）

　　涨水后的水速增加量：

6-4=2（千米/时）

　　答：

涨水后水速增加2千米/时。

　　3、8小时，13小时。

　　从甲港到乙港（顺流）

　　顺流速度=21+5=26（千米/小时）

　　顺流时间=208÷26=8（小时）

　　从乙港到甲港（逆流）

　　逆流速度=21–5=16（千米/小时）

　　逆流时间=208÷16=13（小时）

　　答:

往返需要时间分别为8小时和13小时.

　　4、12.5秒。

　　顺风速度=90÷10=9（米/秒）

　　逆风速度=70÷10=7（米/秒）

　　无风速度=（9+7）÷2=8（米/秒）

　　跑100米用时:

100÷8=12.5（秒）

　　答:

跑100米用时12.5秒.

　　5、16千米，4千米。

　　逆水速度为每小时：

20×3÷5=12（千米），

　　船速为每小时：

（20+12）÷2=16（千米），

　　水速为每小时：

（20-12）÷2=4（千米）。

　　6、8小时。

　　432÷（432÷16-9）-16=8（小时）

　　答：

逆水比顺水多用8小时。

　　7、6000米。

　　2小时30分=150分。

　　顺水速度是逆水速度的：

　　（90+30）÷（90-30）=2（倍）

　　顺水行的时间为：

150÷（2+1）=50（分）

　　从上游港口到下游某地共走了：

　　（90+30）×50=6000（米）。

　　8、72千米。

　　（15-3）×{（12-3）×2÷[（15-3）-（12-3）]}=72（千米）

　　答：

当甲船追上乙船时，已离开A港72千米。

　　9、20小时。

　　80÷4-[（80÷4）+（80÷10）]÷2=6（千米/时）

　　80÷5-6×2=4（千米/时）

　　80÷4=20（小时）

　　答：

乙船逆流而上需要20小时。

　　10、4小时。

　　60-（60÷4-6-6）×4=48（千米）

　　48÷（9+3）=4（小时）

　　答：

此船回到原地，还需再航行4小时。

行程问题专题训练（环形道路上的行程问题）

　　一、知识梳理

　　1．行程问题中的基本数量关系式：

　　速度×时间=路程；路程÷时间=速度；

　　路程÷速度=时间．

　　2．相遇问题中的数量关系式：

　　速度和×相遇时间=相遇路程；

　　相遇路程÷速度和=相遇时间；

　　相遇路程÷相遇时间=速度和．

　　3．追及问题中的数量关系式：

　　速度差×追及时间=追及距离；

　　追及距离÷速度差=追及时间；

　　追及距离÷追及时间=速度差．

　　4．流水问题中的数量关系式：

　　顺水速度=船速+水速；

　　逆水速度=船速-水速；

　　船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；

　　水速=（顺水速度-逆水速度）÷2．

　　5．应该注意到：

（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；

（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似。

因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．

　　二、例题精讲

　　例1、李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的

．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇?

　　分析：

由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差=追及时间”．

　　解：

追及距离=400米；

　　追及时的速度差

．由公式列出

　　追及时间

（分）．

　　答：

至少经过16分钟两人才能相遇．

　　例2、如图所示，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．

　　分析：

第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．可知，第二次相遇时两人合起来的行程是第一次相遇时合起来的行程的3倍，可知，每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以第二次相遇时亮亮走的行程（A→c→B→D）应该是第一次相遇时走的行程（A直接到C）的3倍。

　　解：

第二次相遇时亮亮走的距离：

100×3=300（米）．

　　半个圆圈长：

300-80=220（米）．

　　整个圆圈长：

220×2=440（米）．

　　答：

这个圆的周长是440米．

　　例3、如图所示，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？

　　解：

设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有

，

　　解得

　　在这段时间内乙走了

（米）．

　　由于正方形边长为90米，共四条边，所以由

，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD边上。

　　答：

当乙第一次追上甲时在正方形的AD边上。

　　三、专题特训

　　1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次．问乙跑完一圈用多少秒?

　　2．甲、乙从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步．甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米．两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处?

　　3．有一条长500米的环形跑道．甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇．已知甲跑得比乙快，问甲、乙两人每分钟各跑多少米?

　　4．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇?

　　5．小明在360米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒?

　　6．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆行与顺行所用时间的比为2：

1，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米?

　　7．两只小爬虫甲和乙，从图上A点同时出发，沿长方形ABCD的边，分别按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇，在离A点16厘米的G点第三次相遇，问长方形的边AB长多少厘米?

　　8．周长400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点（如图所示）．甲、乙两人分别在A、B两点相背而跑，两人相遇后乙立即转身与甲同向而跑，当甲又跑到A地时，乙恰好又跑到B地．如果以后甲、乙跑的方向和速度都不变，那么甲追上乙时，从出发开始，甲共跑了多少米?

　　9．一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇?

再次相遇需要多少时间?

　　10．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少?

参考答案

　　1．解：

设乙路完一圈用x秒，则

，解得

（秒）。

　　2．解：

360÷（305-275）=12（分）．305×12=3660（米）．

　　　　　3660+360=

（圈）+10（圈）+60（米）

　　答：

第一次相遇在离起点60米处。

　　3．解：

500÷1=500（米）（速度和）；500÷10=50（米）（速度差），利用和倍、差倍问题的解题方法可求出两个速度：

　　（500+50）÷2=275（米／分）；

　　（500-50）÷2=225（米／分）。

　　答：

甲每分钟跑275米；乙每分钟跑225米．

　　4．解：

甲走完一圈需要400÷80＝5（分钟），乙走完一圈需要400÷50＝5（分钟）.8和5的最小公倍数是40，40分钟后甲和乙在A点处相遇。

　　5．解：

设跑一圈需x秒，

　　列得方程

，解得

（秒）。

　　前一半路程用：

180÷5=36（秒），所以，后一半路程用了80-36=44（秒）

　　6．解：

设甲、乙两港相距x千米，且原来水速为a千米／时

　　根据题意得

　　解得

．

　　而

，

　　把

代入，得

，

　　解得

　　答：

甲、乙两港相距20千米

　　7．解：

爬虫甲从A→G→B→E所用时间，与从F→D→A→G所用时间相等．如果在AD上取一点H，使A至H与B至E一样长．

　　就有F→D→H与G→B一样．所以

　　GB=FD+DH=FD+CE=16+32=48（厘米），

　　AB=AG+GB=16+48=64（厘米）

　　答：

长方形的边AB长64厘米

　　8．解：

设C为相遇点、由题意知，甲从C跑至A的路程为：

400÷2=200（米），乙从C折返跑至B的路程为400÷2-100=100（米）．故甲追及乙的距离为400-100=300（米）．甲、乙速度比为200：

100=2：

1，所以，甲追上乙时，甲跑600米，乙跑300米，因此，甲从出发开始共跑了400+600=1000（米）

　　9．解：

半圆的周长是1.44÷2=0.72（米）=72（厘米）．先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为72÷（5.5+3.5）=8（分）．

　　再考虑往返的情况，则有下表如示．　　

经过时间（分）

1357911131516

在上半圆爬行时间

13578

在下半圆爬行时间

2468

　　所以在15分钟的那次爬行中，两只蚂蚁在下半圆爬行刚好都是8分钟．由此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间。

由题意可知，它们从出发到初次相遇经过时=1+3+5+7+9+11+13+15=64（分）．

　　第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（=17-8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（=8+8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64+16=80（分））．此时，相遇位置在上半圆。

　　答：

它们经过64分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇．

　　10．解：

根据题意画出示意图．

　　甲共行了70-30=40（厘米），所需时间是40÷4=10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15+30=45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15+45÷2=37.5（厘米），由此可求出乙原来的速度．

　　（70-30）÷4

　　=40÷4

　　=10（秒），

　　[（30+15）÷2+15]÷10

　　=37.5÷10

　　=3.75（厘米/秒）．

　　答：

爬虫乙原来的速度是每秒爬3.75厘米．

行程问题专题训练（追及问题）

　　一、知识梳理

　　追及问题是行程问题中很重要的一个知识点。

那什么样的问题被称之为追及问题呢？

　　例：

甲、乙两人相距20千米，甲骑车的速度是每小时6千米，乙骑车的速度是每小时4千米，现乙在前甲在后向同一方向出发，问出发后几小时甲追上乙？

　　像例题这样涉及到一个物体追赶另一个物体的问题，我们都可以称之为追及问题。

　　追及问题公式：

　　路程差=速度差×追及时间

　　速度差=路程差÷追及时间

　　追及时间=路程差÷速度差

　　想一想，应用哪个公式可以解答“例”中的问题？

　　二、例题精讲

　　例1甲、乙两人在同一起点处练习跑步，若乙先跑10米，则甲跑5秒可以追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。

问两人每秒各跑多少米？

　　分析：

甲乙两人在同一起点处跑步，乙先跑10米（路程差），甲5秒可以追上（追及时间），根据“速度差=路程差÷追及时间”可求出甲乙的速度差，即10÷5；“乙先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙”4秒是甲的追及时间，根据“速度差×追及时间＝路程差”可以求出甲追及的路程，即乙2秒跑的路程，进而可以求出乙的速度。

　　解：

　　甲、乙速度差：

10÷5=2（米/秒）

　　甲追及的路程：

2×4=8（米）

　　乙的速度为：

8÷2=4（米/秒）

　　甲的速度为：

4+2=6（米/秒）

　　答：

甲的速度是每秒6米、乙的速度是每秒4米。

　　例2甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步,已知甲跑一圈要12分,乙跑一圈要15分,如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发,那么出发后多少分钟甲追上乙?

　　分析：

此题可以应用解决工程问题的办法来解题。

设圆形跑道一圈的路程是单位“1”，甲跑一圈用12分钟，那么甲速度是

；乙跑一圈用15分钟，那么乙的速度是

；他们从直径的两端同时出发，追及的路程为

。

根据公式：

追及时间=路程差÷速度差，可以求出甲追上乙所用的时间。

　　解：

设圆形跑道一圈的路程是“1”。

　　甲的速度是：

1÷12＝

　　乙的速度是：

1÷15＝

　　追及时间：

÷（

－

）＝30（分）。

　　答：

甲追上乙的时间是30分钟。

　　方法提示：

行程问题有时也可以看成工程问题来解决。

　　例3有两列同向行使的火车,快车每秒行30米,慢车每秒行22米.如果从两车车头对齐开始算,则24秒后快车超过慢车;如果从两车车尾对齐开始算,则行28秒后快车超过慢车.问快车、慢车各长多少米？

　　分析：

首先画出示意图（如下），当车头对齐时，快车超过慢车后，超过的距离是快车的车身长；当车尾对齐时，快车超过慢后，超过的距离是慢车身长；根据公式：

路程差＝速度差×追及时间，可以求出快车和慢车的车身长。

　　车头对齐

　　车尾对齐

　　解：

　　快车车长=（30-22）×24=192（米）

　　慢车车长=（30-22）×28=224（米）

　　答：

快车长192米，慢车长224米。

　　方法提示：

画线段图可以使思路更清楚。

　　三、专题特训

　　1、中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴车在前。

求几小时后小轿车追上中巴车？

　　2、我骑兵以每小时23千米的速度追击敌人。

当到某城时，得知敌人已于2小时前逃跑，已知敌人逃跑的速度为每小时13千米，我骑兵几小时可以追上逃敌？

　　3、部队有紧急任务，一个通讯员用摩托车追前面部队的汽车，汽车每小时行驶40千米，摩托车每小时行驶50千米。

通讯员出发后4小时追上部队汽车，问部队汽车比通讯员早出发几小时？

　　4、小红骑自行车从A地到B地，每小时行16千米，1小时后，小刚也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。

A、B两地相距多千米？

　　5、小倩和小芳从A地到B地，小倩骑自行车的速度是每小时15千米，出发1.6小时后，小芳才出发，小芳用了2.5小时追上小倩，问小芳骑车速度是每小时多千米？

　　6、甲骑车，乙跑步，二人同时从一点出发沿着长4千米的环形公路方向进行晨练。

出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和每分钟行700米，求甲、乙二人的速度各是多少？

　　7、甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地．甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，途中甲车停车3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达目的地．问两地之间的距离是多少千米？

　　8、小王、小李共同整理报纸．小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份．小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．问一共有多少份报纸？

　　9．有两列火车，一列长102米，每秒钟行20米，一列长120米，每秒钟行17米．两车同向而行，从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒钟．

　　10．小轿车的速度比面包车的速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

参考答案

　　1、解：

追及时间＝路程差÷速度差

　　　60÷（84－60）

　　　＝60÷24

　　　＝2.5（小时）

　　　答：

2.5小时后小轿车追上中巴车。

　　2、解：

先求我骑兵到某城时，敌人已逃跑的距离13×2＝26（千米）这个距离就是我骑兵与敌人的路程差；再求追及时间26÷（23－13）＝2.6（小时）。

　　答：

我骑兵2.6小时可以追上敌人。

　　3、解：

追及的路程就是部队汽车提前走的路程。

　　　部队汽车提前走的路程：

（50－40）×4＝40（千米）

　　　部队汽车比通讯员早出发的时间：

40÷40＝1（小时）

　　　答：

部队汽车比通讯员早出发1小时。

　　4、解：

1小时后小刚出发，两人的路程差是1×16＝16（千米）；

　　　同时到达B地，说明小刚在B地追上小红，那么追及时间是16÷（20－16）＝4（小时）

　　　AB两的距离20×4＝80（千米）。

　　　答A、B两地相距80千米。

　　5、解：

追及的路程是：

1.6×15＝24（千米）

　　　两人骑车的速度差是：

24÷2.5＝9.6（千米）

　　　小芳的速度是：

15＋9.6＝24.6（千米）

　　　答：

小芳骑车的速度是每小时24.6千米。

　　6、解：

甲乙二人的速度差是：

4000÷10＝400（米）

　　　根据和差问题的公式，

　　　甲骑车的速度：

（700＋400）÷2＝550（米）

　　　乙跑步的速度：

550－400＝150（米）

　　　答：

甲的速度是每分钟行550米，乙的速度是每分钟150米。

　　7、分析：

由条件，甲车中途停留3小时，甲车比乙车迟到1小时，说明行这段路，甲车比乙车少用2小时．又因为甲车每小时