完整版勾股定理知识点对应类型.docx
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完整版勾股定理知识点对应类型
第二章
勾股定理、平方根专题
第一节勾股定理
」、勾股定理：
1、勾股定理定义：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为C,那么
勾：
直角三角形较短的直角边
股：
直角三角形较长的直角边
弦：
斜边
三角形。
（经典直角三角形：
勾三、股四、弦五）
其他方法：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为C）；
（2）若c2=32+匕2,则^ABC是以/C为直角的三角形;
c为最大边）；
c为最大边）
若a2+b2vC2,则此三角形为钝角三角形（其中
若a2+b2>C2,则此三角形为锐角三角形（其中
4.注意：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
，那么它所对的直角边等于斜边的
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30
一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角
等于30°。
5.勾股定理的作用:
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为jn的线段
二、平方根：
（11——19的平方）
1、平方根定义：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
（也称为二次方
2
根），也就是说如果x=a，那么x就叫做a的平方根。
2、平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
记作”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“一Ja”,“±”。
（a叫被开方数，“J—”是二次根号，这里“『”,
Oja2
一个数的两个平方根之和为
三、立方根：
（1――9的立方）
a,那么这个数就叫做a的立方根。
（也称为二次
1、立方根的定义：
如果一个数的立方等于
方根），也就是说如果
x'=a，那么x就叫做a的立方根。
记作"Va”。
2、立方根的性质：
1
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,
任何数都有立方根，并且只有一个立方根,0的立方根是0.
2互为相反数的数的立方根也互为相反数，即=Va
③（需）3Va3a
3、开立方：
求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。
4、立方根是它本身的数是1,0,-1。
5、平方根和立方根的区别：
（1）被开方数的取值范围不同：
在Va中，a0,在7a中，a可以为任意数值。
而它有一个立方根。
（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，6、立方根和平方根：
不同点：
即被开方数的取值范围
（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根;
不同：
±Va中的被开方数a是非负数；Va中的被开方数可以是任何数
（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；
（3）立方根等于本身的数有0、1、一1,平方根等于本身的数只有0.共同点：
0的立方根和平方根都是0.
四、实数：
因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式
1、定义：
有理数和无理数统称为实数无理数：
无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，口）有理数：
有限小数或无限循环小数注意：
分数都是有理数，
2、实数的分类：
正有理数
实数
负有理数
实数*
无理数（无限不循环小数）
实数的性质：
①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。
2实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。
3两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。
4实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。
3、近似数：
由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到
精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。
取近似值的方法一一四舍五入法
4、有效数字：
对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数
都称为这个近似数的有效数字
5、科学记数法：
把一个数记为a10n（其中1a10,n是整数）的形式，就叫做科学记数法。
6、实数和数轴：
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。
实
数与数轴上的点是一一对应的。
勾股定理:
（一
J结合三角形：
2
1.已知ABC的三边a、b、c满足（ab）
2
（bc）0，则ABC为
三角形
2.在
ABC中，若a2=（b+c）（b-c），则
ABC是三角形，且
90
3.在
ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，
则BC的长为
1.已知
x12
xy25与z210z25互为相反数，试判断以x、y、
z为三边的三
角形的形状。
2
c=n1（n>1）
2.已知：
在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n21，b=2n,
试说明:
C=90。
22
3.若ABC的三边a、b、c满足条件ab
2
C33810a24b26c,试判断
ABC
的形状。
4.已知Ja62|b8（c10）20,则以
a、b、c为边的三角形是
（二八实际应用:
1.梯子滑动问题：
（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底梯子的顶端沿墙下滑
（2）如图，一个长为如果梯子的顶端下滑于”,或“小于”）
（3）如图，梯子AB
0.7m（如图）
0.4m，那么梯子底端将向左滑动米
10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为1米，那么，梯子底端的滑动距离
，如果
8米,
1米，（填“大于”，“等
斜靠在墙面上，AC丄BC,AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑）
D.不能确定
1m,
米
x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（
A.xyB.xyC.xy
（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为
当他把绳子
2.直角边与斜边和斜边上的高的关系:
直角三角形两直角边长为
A.abb2
B.a2
a,b,斜边上的高为
1
C.-
a
b22h2
h,
1
b
则下列式子总能成立的是
1
h
变：
如图,
求证:
在Rt△ABC中,
11
（1）——
ab
（2）abc
（3）以ab,
/ACB=90
，CD丄AB于D，设AB=c,AC=b,
丄
h
h,ch为三边的三角形是直角三角形
BC=a,CD=ho
试一试：
（1）
只需证明
h2」
a
1，从左边推到到右边
h2
，注意面积关系abch的应用
3.爬行距离最短冋题:
1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为
10cm，得到Ci处有一只昆虫甲，在盒子的内部有
一只昆虫乙（盒壁的忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a,在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E,
（2）如图b,假设昆虫甲从点C1以
昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。
1厘米/秒的速度在盒子的内部沿CjC向下爬行，同时
昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？
试一试：
对于
（2）,当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同
的路径爬行，禾U用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间
3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离
是O
4.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸,测得BC=50米，/B=60。
，则江面的宽度为
（三）求边长:
（五）方向问题:
1.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得/MAN=30°,当他到B点时，测得/MBN=45°,AB=100米，你能算出AM的长吗？
8km,接着，它又掉头向正东方向航行15千
2.—轮船在大海中航行，它先向正北方向航行
米.
⑴此时轮船离开出发点多少km?
⑵若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升
（六）利用三角形面积相等:
1.如图，小正方形边长为1,连接小正方形的三个得到，可得△ABC,则边AC上的高为（
D.纟75
5
（七）旋转问题:
2.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，将ABH绕点A逆时针旋转到AC
处，若AH=3cm,试求出H、H两点之间的距离。
3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90至UCBE的位置,BP=a,求：
以PE为边长的正方形的面积
上有一点C,将一个三角板的直角顶点与点C
D、E。
当三角板绕点C旋转到CD与0A垂直时，如图①，易证：
0D0EJ20C；当三角板绕点C旋转到CD与0A不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立？
若成立，请给与证明；若不成立，线段0E、0C、0D之间有怎样的等量关系？
请写出你的猜想，不需证明。
试一试：
对于第1问，0D=CE，问题的实质是20E20C2,0E—0C，对于第二
2
4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线
AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
5.如图，/B=90°,AB=BC=4,AD=2,CD=6
（1）△ACD是什么三角形？
为什么？
（2）把^ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E,若重叠部分面积为4,求D'E的长。
、平方根:
（一）文字类题目:
一个数的平方等于它本身，这个数是_
一个数的平方根等于它本身，这个数是一个数的算术平方根等于它本身，这个数是一个数的立方根等于它本身，这个数是一个正数的两个平方根的和是
一个正数的两个平方根的商是
（二）.定义:
D.V81
A.VsT9
妬的平方根是（
（3）
若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是
若3x-6总有平方根，则x的取值范围是_
1
x的值是
若式子X—丄的平方根只有一个，则
3
x-y=
（4）已知丁X1
若（x3）2
（6）
已知a2
已知x、
代数式
若jm
若vx
■
Vb240,那么a+b=
y满足：
Jx2y3（2x
3Jab的最大值是
10,则m=
3，则x=
下列个数中:
2
3y5）0，那么x-8y的立方根为
，这时a、b之间的关系是
4，贝ym的平方根是
JX23，则x=
1002,0,6眺,J2
56没有平方根的有
2.已知△ABC的三边分别是a、b、c,且满足
Ja1b24b40,求c的取值范围。
已知a、b为实数，且72a6b逅
0,解关于x的方程：
（a+2）x+b2=a-1。
2I
已知4a-49=0,求寸3910a的值。
3.列方程求值:
2
（1）X=196;
2
（2）5x-10=0;
2
（3）36（X-3）-25=0
4.
（1）已知一个正数的平方根是2X-1和3-X，求这个数
5.估算：
（1）比较大小:
（2）、下列计算正确的是（
7.平方根的性质:
（0.01
；V52
;7162
二、立方根
1.定义：
（1）如果a是x的立方根，那么下列说法正确的是（）
A.-a也是x的立方根B.方是-X的立方根
（2）下列各式：
①丁9
3；
②迈0010.1；③^"OTi0.1；
④3©80.2，其中错
误的有
2.根据定义求值:
（1）求值：
（2）
（2）方程:
x3
125
216
3.估算:
（1）
A.
估计68的立方根大小在
2与3之间
）
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
通过估算幼420的整数部分为（
A.6
B.7
C.8
D.9
（3）3/100估算到个位=
（1）
若2x+1的平方根是
5,
那么5x+4的立方根是
（2）
已知jx8，求4
1-x
的值。
V
8
（3）
已知m满足2m1
3,
k、n满足k32
3
z三、
实数：
4.平方根与立方根相结合:
J917n0,求Vm23n的值
1.实数的定义：
1.判断下列说法是否正确，为什么?
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
无限小数是无理数；有理数都是是有限小数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数任何实数的偶次幕都是正实数;
（6）
在实数范围内，若
（7）
0是最小的实数;
（8）0是绝对值最小的实数；
（9）数轴上的点与有理数是对应的
（10）数轴上的点与实数是—对应的
2.下列说法正确的是
B.有理数是有限小数
D.带根号的数都是无理数
A.不存在最小的实数
C.无限小数都是无理数
3.下列说法正确的是（
B.不循环小数是无理数
D.两个无理数的和还是无理数
A.无限小数是无理数
C.无理数的相反数还是无理数
4.把下列各数填入相应的集合内：
3.14,1732,
0，0.3「8,聶，HF，
（1）
（2）
（3）
（4）
3'3『
3—、V
2
有理数集合
无理数集合正实数集合负实数集合
8、0、
—、0.5、3.14159、-0.0200200020.12121121112
3
{
{
{
{
}
}
}
}
2.有效数字、科学记数法、近似数：
注意：
2000有4个有效数字，精确到个位
2103有1个有效数字，精确到千位
1.有几个有效数字，保留几个有效数字：
用四舍五入法，按要求取近似值：
.
1地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字）
225.8万（保留2个有效数字）
3小明身高1.595m（保留3个有效数字）
40.0608,0.060800
2.精确到哪一位：
由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？
各有几个有效数字?
1小明身高1.59m;
2地球的半径约为6.4>103;
3组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm;
4某种电子显微镜的分辨率为1.4>0-8;
570万
69.03万
71.8亿
⑧6.40105
⑨0.090080
3.精确到0.1,0.01等：
1
1）是
0.1）是_
0.01）是
精确到个位（或精确到
n精确到十分位（或精确到n精确到百分位（或精确到
n精确到千分位（或精确到0.001）是
小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg,按下列要求取近似数,
①精确到0.01kg;②精确到0.1kg;
2某人一天饮水1890ml（精确到1000ml）
3的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到
4.科学记数法：
（1）用科学记数法表示91800000,
A、918X10B、91.8X10
（2）一个数用科学记数法记为
一个数用科学记数法记为
并指出每个近似数的有效数:
③精确到1kg.
0.00001）
正确的是（）
C、9.18X105
104，这个数原来怎么记？
它是几位整数？
D、9.18X107
6.09X104，这个数原来怎么记？
它是几位整数？
4
6.00009X10，这个数原来怎么记？
它有几位整数?
一个数用科学记数法记为
（3）25.8万（保留2个有效数字）
2347600000（保留3个有效数字）
5.今年全国的消费额为29458.4亿元，小明认为这个数字精确到0.1亿元，而小亮认为这个
数字精确到1000万元，你认为谁的说法对？
为什么？
小亮，数位只存在个、十、百、千、万、十万等，不存在
0.1万之类的
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