专题二立体几何线面垂直面面垂直讲解.docx
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专题二立体几何线面垂直面面垂直讲解
专题二：
立体几何---线面垂直、面面垂直
、知识点
1）线面垂直性质定理
2）线面垂直判定定理
3）面面垂直性质定理
2）面面垂直判定定理
线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
1．如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：
A1O
平面MBD．
推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．
3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：
AESB，AGSD．
从而顺利实现证明所需要
证明：
∵SA平面ABCD，
∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．
评注：
本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，的转化．
4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：
AH⊥平面BCD．证明：
取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵ACBC，∴CFAB．
∵ADBD，∴DFAB．
又CFDFF，∴AB平面CDF．
∵CD平面CDF，∴CDAB．
又CDBE，BEABB，
∴CD平面ABE，CDAH．
∵AHCD，AHBE，CDBEE，
∴AH平面BCD．
评注：
本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线
垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，
Ｆ是PB上任意一点，求证：
平面AEF⊥平面PBC．证明：
∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．
∵PA平面ABC，BC平面ABC，
∴PABC．∴BC平面APC．
∵BC平面PBC，
∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
评注：
证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．
10．如图,在空间四边形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。
求证:
①ANBC;②SC平面ANM
分析:
①要证ANBC,转证,BC平面SAB。
②要证SC平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SCAM,SCAN。
要证SCAN,转证AN平面SBC,就可以了。
证明:
①∵SA平面ABC
∴SABC
又∵BCAB,且ABSA=A
∴BC平面SAB
∵AN平面SAB
∴ANBC
②∵ANBC,ANSB,且SBBC=B
∴AN平面SBC
∵SCC平面SBC
∴ANSC
又∵AMSC,且AMAN=A
∴SC平面ANM
例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
（1）求证：
AB⊥BC；
（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
求证：
平面MND⊥平面PCD
1
【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN2CDAM，∴四边形ENMA是
平行四边形，∴EA∥MN．
∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．
【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．
［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．
图9—42
求证：
平面MNF⊥平面ENF．
【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145
∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN平面MNF，
a的正方形，PA⊥底面ABCD，E
∴平面MNF⊥平面ENF．
4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为为AB的中点，且PA=AB．
图9—45
（1）求证：
平面PCE⊥平面PCD；
（2）求点A到平面PCE的距离．
（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，
又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，
∴∠PDA为二面角P—CD—
B的平面角，
∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，
∵AF面PAD∴CD⊥AF，
1
又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF2CD1
又AE2CD，
∴GFAE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG平
面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD．
（2）【解】由
（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC
∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，
FHPF而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC，设AD=2，∴PF=2，
PC=PDCD8423，
2266
∴FH=233∴A到平面PEC的距离为3．
【拓展练习】
一、备选题
1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：
平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径∴BC⊥AC；
又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．
∵BC平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．
，CC′上的一点，
2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB1
BD＝2a，EC＝a．
（1）求证：
平面ADE⊥平面ACC′A′；
（2）求截面△ADE的面积．
二、练习题
A.a±7且23B.a丄？
且加祁C.m//p且/SD.a/7p且a丄？
5.有三个命题：
（M直于同一个平面的两条直线平行；
倉过平面«的一条斜线I有且仅有一个平面与«垂直；
銅面直线a、b不垂直，那么过。
的任一个平面与b都不垂直
耳中正确命题的个数为（）A.OB.lC.2D.3
6•设/、加为直线，q为平面，且/!
«,给出下列命题
①若加丄a,则m//h蜩加丄/,则力〃a；m!
/u.,则ml/；则加丄a,
其中真命题的序号是（）
•••
A.①§③B.d@©C.②§④D.@③5
7•如图所示三棱锥7虫眈中虫丹丄侧面皿CJLH是的垂心，BE是7C边上的高.求证:
比14圧
8•如图所示，期丄矩形ABCD所在平面，M.N分别是月&PC
（1）求证：
MN〃平面MQ.
（2）求证：
MNXJJD.
（3）若ZP£H=45%求证：
MML平面PCD
9•已知直三棱柱XBC-XiBiCi中，Z4C5=90c\Za4C=30\BC=l,AAi=,M是CCi的中点,求证：
丄4】M.
10•如图所示，正方体ABCD—ABCD的梭长为a,M是人2?
的中点川是BD上一点,且=1：
2,MC与交于P.
（1）求证：
NP丄平面ABCD.
（2）求平面PNC与平面CC'DD所成的角.
面面垂直专题练习
一、定理填空
面面垂直的判定定理：
二、精选习题
1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于
2、三棱锥P-.ABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC±的射影是AABC的__心.
3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为
4、在正三梭锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为
5、已知a-1-p是直二面角，B占,设直线AB与G成30°角，AB二2,B
到A在/上的射影N的距离为则AB与0所成角为•
6、在直二面角a-AB-P梭ab上取一点P,过P分别在00平面内作与梭成
45。
角的斜线PC、PD,则ZCPD的大小是
7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为.
二、解答题：
8、如图，在正方体ABCD-A^B丄55中.求证：
平面ACD丄丄平面BB丄DJ）
10、如图，三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,AC丄BC，求证：
平面PAC丄平面PBC.
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