数学必修五知识点.docx

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数学必修五知识点

i中数学必修5知识点

第一章、数列

一、基本概念

1、数列：

按照一定次序排列的一列数.

2、数列的项：

数列中的每一个数.

3、数列分类：

有穷数列：

项数有限的数列.

无穷数列：

项数无限的数列.

递增数列：

从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.

递减数列：

从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.%V。

常数列：

各项相等的数列.

摆动数列：

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

4、数列的通项公式：

表示数列｛《,｝的第〃项与序号〃之间的关系的公式.

5、数列的递推公式：

表示任一项乌与它的前一项。

z（或前几项）间的关系的公式.

二、等差数列

1、定义：

（1）文字表示：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.

（2）符号表示：

％-4_i=〃（"N2）或％]-％=N1）

2、通项公式：

若等差数列｛%｝的首项是％,公差是d,则％=《+（〃一1）〃.

通项公式的变形：

®an=a,n+（n-m）dx②

n一in

通项公式特点：

々〃=dn+（同一d）

%=k〃+m,（k,m为常数）是数列｛七｝成等差数列的充要条件。

3、等差中项

若三个数"，A,人组成等差数列，则A称为。

与b的等差中项.若b=—,则2

〃+广

称b.d与c的等差中项.即a、b、c成等差数列<=>Z7=—

2

4、等差数列｛%｝的基本性质（其中m,n,p,qeAT）

（1）若〃7+〃=p+g,贝l]^w+an=ap+aq.

（2）an—am=（n一m）d

（3）2an=J+

5、等差数列的前〃项和的公式

公式：

①§,=马知；②§,=叫+业pld.

公式特征：

X=«〃2+（%_«）〃是一个关于n且没有常数项的二次函数形式

22

等差数列的前〃项和的性质：

s

1若项数为2〃（〃eN'）,则S”=〃（％+《+）,且S偶一S^=M,4=必.

S偶%-i

r»

2若项数为2,7-l（〃eN,），则S^t=（2〃一1）%,且S命一S偶=%,—=—^―

S隅〃一1

（其中S奇=na„,S牌=（〃_】）％）•

3S”，S2n-S„,S3fl-S2;t成等差数列.

6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：

1定义法：

C%=d（常数）（心/）=>｛%｝是等差数列

2中项法：

2%.]=%+%2（〃eIT）=>｛%｝是等差数列

3通项公式法：

%=kn+b（k,b为常数）=>｛%｝是等差数列

4前〃项和公式法：

Sn=An2+Bn（A、B为常数）=>｛"”｝是等差数列

三、等比数列

1、定义：

（1）文字表示：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：

外=不常数）

2、通项公式

（1）、若等比数列｛%｝的首项是由,公比是g,则

（2）、通项公式的变形：

①％=%/-"'：

②广”'=%.

a.n

3、等比中项：

在0与人中插入一个数G,使。

，G,成等比数列，则G称为a与人的等比中项.若G2=ab,则称G为“与b的等比中项.注意：

"与人的等比中项可能是±。

O

4、等比数列性质

若｛"〃｝是等比数列，且m+n=p+q（〃？

、n.p、qeN，，则am^an=ap-aqX若｛“”｝是等比数列，且2〃=p+q（〃、p、geN*）,则a｝=ap-a（/.

5、等比数列｛%｝的前〃项和的公式：

〃叫（g=l）

（1）公式：

&=*（1矿）"

（2）公式特点：

—K）=R（1—0”）=A—Ag"

1一0

（3）等比数列的前〃项和的性质：

①若项数为2〃（〃eN'）,则M=q.

S奇

2S,5=S”+0”・&.③s”，%_s”,S3n-S2n成等比数列（S次0）.

6、等比数列判定方法：

1定义法：

=g（常数）》｛%｝为等比数列：

2中项法：

fln+12=an-a„+2（a„=0）=>｛“"｝为等比数列：

3通项公式法：

L=k・q“（k,q为常数）=>｛%｝为等比数列；

4前〃项和法：

S”=k（l-q“）以用为常数）=>｛%｝为等比数列。

四、求通项公式方法

1观察、归纳、猜想法求数列通项

S[（/?

=1）

2应用4=1求数列通项

IA-S〃.]（〃>2）

注意：

一分为二或合二为一

3累加法：

若递推关系式形式为。

心=4+/。

?

）用累加法

4累乘法：

若递推关系式形式为％H=《/（〃）用累乘法

5转化为等差法：

若递推关系式形式为知="l（m.P为常数）

Pf+m

6转化为等比法：

若递推关系式形式为％=+q°

五、求前〃项和公式方法

1公式法：

若数列为等差或等比数列直接应用求和公式

2倒序相加法：

若数列首尾两项和有规律

3乘比错位相加法：

通项公式为匕=（时,（其中■为等差数列，与为等比数列）

kk11

4裂相求和法：

通项公式为如==-——）为等差数列）

""d%%]

5分组求和

第二章、解三角形

一、正弦定理

1、正弦定理：

在MBC中，〃、

b、c分别为角a、B、°的对边，/?

^AABC的外

1

2、正弦定理的变形公式:

②sinA=。

，sinB=&,

”=2RsinA,/?

=2/?

sinB,c=27?

sinC.

sinC=—:

（3）tz:

Z?

:

c=sinA:

sinB:

sinC；

4sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC.

3、定理应用围:

（1）已知两边及一边对角

（2）已知两角及一边

4、已知两边及一边对角解的个数判断

4>90°

A=90°

4<90°

a>b

一解

一解

一解

a=b

无解

无解

一解

a

无解

无解

a>bs\nA

两解

a=bsinA

一解

a

无解

已知通a,b和zA

二、余弦定理

c2=a2+庆一IcibcosC

4i甘影定理"=bcosC+ccosB.b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

三、常用公式及结论

2、大边对大角A>B<=>a>b<=>sinA>sinB

A+8+C=4,，H'=Y

3、三角形角和定理22

Sin（A+8）=Sin（C）Cos（A+3）=-Cos（C）Sinj|=Cos|J|

2tanor

Sin2a=2SinaCosa；tan2a=7—

l-tan%

99?

?

Cos2a=2Cos‘a-\=l-2Sin，a=Ccs，a-Sm，a

4、二倍角公式:

5、两角的和与差公式:

CcsaCcs/3—SincxSin/3

（a+Z?

）

Cs（a"）=CcsaCg"SinaSinQ,C（）

幺）

6、辅助角公式

y=aSina+bCosa=>Ja2^b2Sin（Q+0）,（其中tan（p

第三章、不等式

一、比较大小及不等式性质

1、比较大小依据：

“一=a—h=O<=>a=h.a—ba

2、比较大小方法：

作差法：

步骤①作差②变形（常用方法：

通分、配方、分子、分母有理化、因式分解等）③定号

>0,Z?

>0｛『寸—>1*cx>«>/?

.—=!

«>a=h^—<\a

。

人。

3、不等式的性质：

①a>bobb,b>cna>c；

a>b,c<0=>ac

③da+c>b+c；④">",c>°=s>Z?

c

a>b,c>da+c>b+d⑥ci>b>0,c>d>0=uc>bd

u、\a>b>0=>an>hn（〃eN,〃>1）.,.,a>）>。

=褊>而（ruNji>1）

二、一元二次不等式解法：

1、定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.

解法步骤：

⑴确定对应一元二次方程的判别式及根

⑵作出对应一元二次函数的图像

⑶由函数图象写出相应不等式的解集

2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式△=》2-4如

△>0

A=0

△vO

二次函数

y=ax1+bx+c

（6/>0）的图象

*

X

一元二次方程ax'+i）x

+c=0（">0）的根

有两个相异实数根

凡2-g）

有两个相等实数根b

玉f=F

没有实数根

一元二次

不等式的解集

ax1+bx+c

S>o）

>0

{工XVX］或

<

b

x

la

►

R

ax2+bx+c

（〃>0）

<0

{x\x{

0

0

3、一元二次不等式恒成立问题

«>0

OX2+&X+C>0（“尹。

）恒成立条件A=很_4ac<0

a<0

ax2++cv0（“#0）恒成立条件△=/?

一4"c<0

4、含参一元二次不等式解法

分类讨论：

①二次项系数②相应方程是否有根③两根的大小

5、一元二次方程实根分布

分析思路：

求根公式法：

AI=…韦达定理法：

①判别式②两根之和③两根之积

函数图象法：

①判别式②对称轴位置③区间端点函数值

基本类型与相应方法：

设/（.v）=ar2+bx+c（a^0）.则方程/（x）=0的实根分布的基本类型及相应方法如下表:

根的情况

a>0时图

a<0时图

充要条件

两个根均

小于

两个根都

大于

一个大于

m,另一个

小于m的

根

在区间（m,n）有两个实根

在区间（m,n）之外有两个根

在区间（m,n）有且仅有一个根

A>0

vaf（ni）>0<=>

一——

.2a

A>0

af（n）>0<=><

b

一一>n

Hl

三、基本不等式

1、。

、人是两个正数,

何平均数.

2、均值不等式定理:

A>0

x.一m+一m<0

IX

（蜀一〃?

）（工2—〃7）>0

A>0

X|一n+x2->0

（Xj-/7）（x2一〃）>0

（x：

-m）（x：

-m）<0af（m）<0

f（m）f（n）<0

如〃7）<0

m〃）<°

△20

b

rn<

2a

af（ni）>0

."）>。

则称为正数。

、人的算术平均数，j亦称为正数。

、人的几2

若o>0,b>0,则u+bZ2伺,即土*2卸.

2•2

3、常用的基本不等式：

①cr+tr^lab^b^RY②obVeR）：

2

人.（a+b\,c\（厂+人'、f白+人）/.c、

③ab<（a>0,/?

>0）：

④>（a.be/?

）.

\2J2\2）

4、基本不等式求最值：

设X、），都为正数，则有

2

（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，枳取得最大值十.

（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2处.

注意：

利用基本不等式求最值条件：

①正②定③相等

5、对号函数图像性质

y=cix+-（«,/?

>0）的图像与性质：

x

（1）定义域：

（xlx^O｝；

（2）值域：

｛yI）修2>/^,或y《-2a/^F｝：

（3）奇偶性：

奇函数：

（4）单调性：

在区间（*，一/|1和［』|，+8）上是增函数，

在区间（0,J|］和［_£,0）上为减函数；

（5）渐近线：

以y轴和直线y=ox为渐近线：

（6）图象：

如右图所示

五、简单线性规划

1、基本概念

1、二元一次不等式：

含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.

2、二元一次不等式组：

由几个二元一次不等式组成的不等式组.

3、二元一次不等式（组）的解集：

满足二元一次不等式组的a•和y的取值构成有序数对（x,y）,所有这样的有序数对（x,y）构成的集合.

2、二元一次不等式（组）所表示的平而区域

（D-般,二元一次不等式A.r+Bv+00在平而区域中，表示直线At+B.v+C=0某一侧的所有点组成的平而区域（开半平面），且不含边界线.不等式Ax+By+CN0所表示的平面区域包括边界线（闭半平面）.

（2）由几个不等式组成的不等式组所表示的平而区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分.

3、二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：

1可在直线A.x+By+C=0的某一侧任取一点，一般取特殊点（心，死），从Ar0+By0+C的正（或负）来判断A.r+By+C>0（或Ax+By+C<0）所表示的区域.当CH0时，常把原点（0,0）作为特殊点.

2也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：

（i）y>k.x+b表示直线上方的半平面区域：

yVh+Z,表示直线下方的半平而区域.

（ii）B>0时，A.r4-By+C>0表示直线上方区域；Ax+By+C<0表示直线下方区域:

B<0时，Ax+By+C<0表示直线上方区域；Ar+By+C>0表示直线下方区域.

4、简单线性规划

（1）基本概念：

目标函数：

关于X,），的要求最大值或最小值的函数，如Z=x+），，Z=*+），2等.

约束条件：

目标函数中的变量所满足的不等式组.

线性目标函数：

目标函数是关于变量的一次函数.

线性约束条件：

约束条件是关于变量的一次不等式（或等式）.

线性规划问题：

在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题.

最优解：

使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解.

可行解：

满足线性约束条件的解（X,），）称为可行解.

可行域：

由所有可行解组成的集合称为可行域.

（2）用图解法解决线性规划问题的一般步骤：

1分析并将已知数据列出表格：

2确定线性约束条件：

3确定线性目标函数；

4画出可行域；

5利用线性目标函数，求出最优解；

6实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解.