超静定结构的概念和超静定次数的确定.docx
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超静定结构的概念和超静定次数的确定
第5章力法
5.1超静定结构的概念和超静定次数的确定
1.超静定结构的概念
前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。
关于结构的静定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和力的结构。
现在，我们要讨论的是超静定结构。
它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或力的结构。
如图5.1（a）所示的简支
梁是静定的，当跨度增加时，其力和变形都将迅速增加。
为减少梁的力和变形，在梁的中部增加一个支座，如图5.1（b）所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结
构。
也正是由于这个多余联系的存在，使我们只用静力平衡方程就不能求出全部4个约束反
力Fax、Fay、Fby、Fey和全部力。
具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力或力的结构称为超静定结构。
图5.1（b）和图5.2所示的连续梁和刚架都是超静定结构。
图5.3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。
本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。
图5.1图5.2
图5.3
2.超静定次数的确定
力法是解超静定结构最基本的方法。
用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。
通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。
如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是n次超静定。
显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构（以后称原结构）变成静定结构的方
法来确定结构的超静定次数。
去掉多余联系的方式，通常有以下几种：
（1）去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
如图5.4所示结
构就是一次超静定结构。
图中原结构的多余联系去掉后用未知力X1代替。
去掉一个单铰，相当于去掉两个联系
（a）•
⑶把刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个联系（图5.6）。
图5.6
（町7T
图5.4
（4）在刚性联结处切断，相当于去掉三个联系（图5.7）。
应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。
应该指出，同一个超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，如图5.8（a）可以有三种不同的去约束方
法，分别如图5.8（b）、（c）、（d）所示。
无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同
的。
所以说去约束的方式不是惟一的。
这里面所说的去掉“多余联系”（或“多余约
束”），是以保证结构是几何不变体系为前提的。
如图5.9（a）所示中的水平约束就不能去
掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束”（或“必要联系”）。
如果去掉水平
链杆（图5.9b），则原体系就变成几何可变了。
丄卜
（»）
h<
图5.9
如图5.10（a）所示的多跨多层刚架，在将每一个封闭框格的横梁切断，共去掉3^4=12
个多余联系后，变成为如图5.10（b）所示的静定结构，所以它是12次超静定的结构。
如图
5.10（c）所示刚架，在将顶部的复铰（相当于两个单铰）去掉后，变成为如图5.10（d）所示的静
定结构，所以它是4次超静定的结构。
5.2力法原理和力法方程
1.力法基本原理
力法是计算超静定结构最基本的方法。
下面通过一个简单的例子来说明力法的基本原理。
如图5.11（a）所示为一单跨超静定梁，它是具有一个多余联系的超静定结构。
如果把支
座B去掉，在去掉多余联系B支座处加上多余未知力Xi，原结构就变成静定结构，说明
它是一次超静定结构。
此时梁上（图5.11b）作用有均布荷载q和集中力Xi,这种在去掉多
余联系后所得到的静定结构，称为原结构的基本结构，代替多余联系的未知力X1称为多
余未知力，如果能设法求出符合实际受力情况的X1，也就是支座B处的真实反力，那
么，基本结构在荷载和多余力X1共同作用下的力和变形就与原结构在荷载作用下的情况
完全一样，从而将超静定结构问题转化为静定结构问题。
如图5.11（b）所示的基本结构上的B点，其位移应与原结构相同，即b=0。
这就是原
结构与基本结构力和位移相同的位移条件。
基本结构上同时作用有荷载和多余未知力
X1,称其为基本体系。
我们可以把基本体系分解成分别由荷载和多余未知力单独作用在基本结构上的这两种情况的叠加（图5.11（c）和（e）的叠加）。
用11表示基本结构在X1单独作用下B点沿X1方向的位移（图5.11（c）），用11表示当X1=1时B点沿X1方向的位移，所以有11=11X1。
这里11时物理意义为：
基本结构上，由于—1=1的作用，在X1的作用点，沿X1方向产生的位移。
用1p表示基本结构在荷载作用下B点沿X1方向的位移。
根据迭加原理，B点的位
移可视为基本结构上，上述两种位移之和，即
111X110
有11X110（5-1）
上式是含有多余未知为X1的位移方程，称为力法方程。
式中，11称作系数；1称
为自由项，它们都表示静定结构在已知荷载作用下的位移。
利用力法方程求出X1后就完
成了把超静定结构转换成静定结构来计算的过程。
上述计算超静定结构的方法称为力法。
它的基本特点就是以多余未知力作为基本未知量，根据所去掉的多余联系处相应的位移条件，建立关于多余未知力的方程或方程组，我们称这样的方程（或方程组）为力法典型方程，简称力法方程。
解此方程或方程组即可求出多余未知力。
F面计算系数11和自由项
1
3EI
丄
EI
ql
EI
ql4
8EI
把11和1代入5-1式得
X1
3qI
计算结果Xi为正值，表示开始时假设的Xi方向是正确的（向上）。
多余未知力Xi求出后，其力可按静定结构的方法进行分析，也可利用迭加法计算。
即将Xi=l单独作用下的弯矩图M1乘以X1后与荷载单独作用下的弯矩图MP迭加。
用公式
可表示为
MMiX,M
通过这个例子，可以看出力法的基本思路是：
去掉多余约束，以多余未知力代替，再
根据原结构的位移条件建立力法方程，并解出多余未知力。
这样就把超静定问题转化为静定问题了。
由于去掉多余联系的方式不同，同一个超静定问题可能选择几个不同的基本结构。
图5.12（a）就是图5.11（a）所示的单跨超静定梁的又一基本结构，其多余未知力X,是原结构
固定端支座的反力偶。
读者可根据位移条件列出力法方程，并按图5.12所示的Mi图和
Mp图，求出系数和自由项，解出Xi并作出M图，如图5.12（f）所示。
应该指出的是：
不论
选用哪种基本结构，力法方程的形式都是不变的，但是力法方程中的系数和自由项的物理意义与数值的大小可能不同。
和UHa
rrrrTnTTTTr^
mmm*w**
图5.11
图5.12
2.力法典型方程
以上我们以一次超静定梁为例，说明了力法原理，下面我们讨论多次超静定的情况。
如图5.13（a）所示的刚架为二次超静定结构。
下面以B点支座的水平和竖直方向反力Xi、
X2为多余未知力，确定基本结构，如图5.13（b）所示。
按上述力法原理，基本结构在给定
荷载和多余未知力Xi、X2共同作用下，其力和变形应等同于原结构的力和变形。
原结构在铰支座B点处沿多余力Xi和X2方向的位移（或称为基本结构上与Xi和X2相应的位移）
都应为零，即
10
（5-2）
20
式（5-2）就是求解多余未知力
X1和X2的位移条件。
（町
******J
.-■f
£
1
1
（b}
N
q
KH+t
EbJ
亍
纠
菇帛站构
图5.13
如图5.14所示，1表示基本结构上多余未知力Xi的作用点沿其作用方向，由于荷载单独作用时所产生的位移；2表示基本结构上多余未知力X2的作用点沿其作用方向，
由于荷载单独作用时所产生的位移；j表示基本结构上Xi的作用点沿其作用方向，由于
Xj=1单独作用时所产生的位移。
根据迭加原理，式（5-2）可写成以下形式
（5-3）
——*
1
2
11X1
22X3
12X3
11X1
0
1
百
Aip
ri
1
式（5-3）就是为求解多余未知力X1和X2所需要建立的力法方程。
其物理意义是：
在基
本结构上，由于全部的多余未知力和已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等。
在本例中等于零。
在计算时，我们首先要求得式（5-3中的系数和自由项，然后代入式（5-3），即可求出X1
和X2，剩下的问题就是静定结构的计算问题了。
如图5.15（a）所示为一3次超静定刚架，我们将原结构的横梁在中间处切开，取这样切为两半的结构作为基本结构，如图5.15（b）所示。
由于原结构的实际变形是处处连续的，
显然，同一截面的两侧不可能有相对转动或移动。
因此，在荷载和各多余力的共同作用
下，基本结构切口两侧的截面，沿各多余力指向的相对位移都应为零，即:
（5-4）
3
0
图5.15
式（5-4）就是求解多余未知力
X1、
X2和X3
的位移条件。
根据迭加原理，式
（5-4）可改
写成
11X1
12X2
13X31P0
21X1
22X2
23X32P0
31X1
32X2
33X33P0
这就是求解多余未知力X1、
X2和
X3所需要建立的力法方程。
因为X1、
X2和X3都是
成对的未知力（或力偶），所以式（5-5）中与它们相应的3及△应理解为相对位移（相对移动或
相对转动）。
3.
n次超静定的结构，用力法
力法一般方程的建立
用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。
对于
n个多余
计算时，可去掉n个多余联系，得到静定的基本结构，在去掉的多余联系处代以
未知力。
相应地也就有n个已知的位移条件
（i1,2丄，n）。
据此可以建立n个关于多余
未知力的方程
21X1
X
222
X
233
M
M
n1X1
.2X2
.3X3
当与多余力相应的位移都等于零，即
i
0（i
11X1
12X2
13X3
211
222
233
M
M
M
n11
n22
n33
11X112X213X3
1nXn
1P
1
2nXn
OT>
2P
i
（5-6）
M
nnXn
nP
1
1,2,L
n）时,
则式（5-6）即变为
1nXn
1P
0
2nn
2P
0
（5-7）
nnnnP
ii（ij）称为主
式（5-6）或（5-7）就是力法方程的一般形式。
通常称为力法典型方程。
在以上的方程组中，位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数
系数，主对角线两侧的其他系数ii（ij）称为副系数，最后一项ip称为自由项。
所有系
数和自由项都是基本结构上与某一多余未知力相应的位移，并规定以与所设多余未知力方向一致为正。
由于主系数ii代表由于单位力Xi1的作用，在其本身方向所引起的位移，
它总是与该单位力的方向一致，故总是正的。
而副系数jj（ij）则可能为正、为负或为
零。
根据位移互等定理，有ijji，它表明，力法方程中位于对角线两侧对称位置的两
个副系数是相等的。
力法方程在组成上具有一定的规律，其副系数具有互等的关系。
无论是哪种n次超静
定结构，也无论其静定的基本结构如何选取，只要超静定次数是一样的，则方程的形式和
组成就完全相同。
因为基本结构是静定结构，所以力法方程和式（5-6）及（5-7）中的系数和自
由项都可按静定结构求位移的方法求得。
对于梁和刚架，可按下列公式或图乘法计算•
—2
ii
Mi
ds
El
ij
El
（5-8）
MiMP
ET
ds
式中，Mi、Mj和Mp分别代表在Xi=1、Xj=1和荷载单独作用下基本结构中的弯矩。
从力法方程中解出多余力Xi（i=l,2,…,n）后，即可按照静定结构的分析方法求原结构的
反力和力。
或按下述叠加公式求出弯矩
MXtMi2M2LXnMnM（5-9）
再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。
根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：
（1）去掉结构的多余联系得静定的基本结构，并以多余未知力代替相应的多余联系的作用。
在选取基本结构的形式时，以使计算尽可能简单为原则。
（2）根据基本结构在多余力和荷载共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程。
（3）作出基本结构的单位力图和荷载力图（或写出力表达式），按照求位移的方法计算
方程中的系数和自由项。
（4）将计算所得的系数和自由项代入力法方程，求解各多余未知力。
（5）求出多余未知力后，按分析静定结构的方法，绘出原结构的力图，即最后力图。
最后力图也可以利用已作出的基本结构的单位力图和荷载力图按公式（5-9）求得。
5.5.3用力法计算超静定结构
1.梁和刚架
【例5-1】试分析如图5.16,（a）所示单跨超静定梁。
设EI为常数。
解：
此梁具有3个多余联系，为3次超静定。
取基本结构及3个多余力，如图5.16（b）所示。
根据支座B处位移为零的条件，可以建立以下力法方程
其中，Xi和X3分别代表支座B处的竖向反力和水平反力，X2代表支座B处的反力偶。
作基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，如图5.16（c）、（d）、（e）、⑴所示。
利用图乘法求得
力法方程的各系数和自由项为
茶本结构
生护lOTnTrrrJ
图5.16
11
2
l3
11
（—
l
l
l）
EI2
3
3EI
.2
1
1
l
12
21
1l
1）
EI
2
2EI
1
l
22
—（1
1
1）
—
EI
EI
13
31
23
32
0
1
Pa
a、_,
Pa2
（3la）
1P
[
a
（l
-）]
EI
2
3
6EI
11
Pa2
2P
一（一Pa
a
1）
EI2
2EI
3P
0
关于33的计算分两种情况：
不考虑轴力对变形的影响时，330；考虑轴力对变形
的影响时，
将以上各值代入力法方程，
而在前两式中消去
1
后，得
6EI
2l3X13l2X2
Pa2（3I
a）0
3I2X,6IX2
3Pa2
0
解以上方程组求得
Pa2（I2b）
Pa2b
X1l3
-X2
I2
由力法方程的第三式求解
X3时，可以看出，
按不同的假设有不同的结果。
若不考虑
轴力对变形的影响（§3=0），则第三式变为
22
小Pa（I2b）小Pab
03020X300
II
所以X3为不定值。
按此假设，不能利用位移条件求出轴力。
如考虑轴力对变形的影响，则330，而3P仍为零，所以X3的值为零。
用迭加公式MXiMl2M2LXnMnM计算出两端的最后弯矩，画出最后弯矩图，如图5.16（g）所示。
【例5-2】试作如图5.17（a）所示梁的弯矩图。
设B端弹簧支座的刚度为k.El为常数。
解：
此梁是一次超静定，去掉支座B的弹簧联系，代以多余力X1。
得图5.17（b）所示
的基本结构。
由于B处为弹簧支座，在荷载作用下弹簧被压缩，B处向下移动!
x1
k
（负号表示移动方向与多余力X1的方向相反），据此建立如下力法方程。
1
11X11P—X10
k
或改写成
11—X11p0
k
（a}
El
图5.17
作基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，利用图乘法可求得
32
lPa（3la）
11；1p
3EL6EL
Xi
2
Pa（31a）
Pa2
3b
2b
2136EL
t31
3EI
由上式可以看出，由于而且与梁AB的弯曲刚度
B端为弹簧支座，多余力Xi的值不仅与弹簧刚度k值有关,
EI有关。
当k=a时，相当于B端为刚性支承情形，此时
Xi
2
Pa（31a）
3
21
Pa1
3b
2b
■3
当k=0时，相当B端为完全柔性支承（即自由端）情形，此时
Xi0
XiMi
5.17,c所示。
33bPabi—3a
kl3
Me一
l3
故实际上B端多余力（即B支座处竖向反力）在Xi和Xi之间。
求得Xi后，根据MXiM；MP作出最后弯矩图，如图
3ELab.2Pab
kl2Ma
l21卑kl3
5.i8（b）所示。
力法方程为
i2X2iP0
22X22P0
iiXi
2iXi
【例5-3】用力法计算如图5.18（a）所示刚架。
解：
刚架是二次超静定结构，基本结构如图
⑻Ift结构（b）基本結樹⑹關剛
{d）码图2）財脚（0域麻变範图
作Mi、M2和Mp图，用图乘法计算系数和自由项，得
K1a223K13
11a3aa
EI
2a
EI
23
3EI
2a
K
2
Ka3
K
22
-—
a
；1221'
—
EI
2
3
3EI
EI
2
K
2
12
1112
3
1P■
EI
a
qa
qa
a
a
2
EI32
4
K
2a
12
K4
2P'
EI
2"
qa
qa
2
4EI
代入力法方程，
解得
K3a2EI
4K14
qa8EI
X1
3（K1）
2（3K4）
qa
X2
3
4（3K
4）
qa
M图如图5.18（f）所示，读者按M图作出Fs图。
【例5-4】试作如图5.19（a）所示刚架的弯矩图。
设EI为常数。
解：
此刚架是三次超静定，去掉支座B处的三个多余联系代以多余力X1、X2和X3,
得如图5.19（b）所示的基本结构。
根据原结构在支座B处不可能产生位移的条件，建立力
法方程如下。
11X1
21X1
31X1
12X2
22X2
32X2
分别绘出基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图,图乘法求得各系数和自由项如下
212
11（666）
2EI23
13X3
23X3
33X3
如图
1P
2P
3P
0
5.19（c）、（d）、（e）和（f）所示。
用
144
6）百
6m
6tn
2
C、1
1
2c、132
22
（66
6）
-（-
66
6）
2EI
3EI2
3EI
2
1
8
33
（16
1）
（16
1）
2EI
3EI
EI
1
1
1
1
90
12
21
（
—66
6）
（
—666）
2EI
2
3EI
2
EI
2,
1cC
1,
1
30
13
31
—（
66
1）
（
661）
2EI
2
3EI
2
EI
1
1,
1亠
c八24
23
32
（6
61）-
（
6
61）
2EI
3EI
2
EI
1
1
1
180
ip
（1266-
6）
2EI
3
4
EI
1
1
756
2P
-（
1266
6）
2EI3
EI
1
1
126
3P
（
1266）
2EI3El
将系数和自由项代入力法方程，化简后得
24X,
15X2
5X3
31.50
15X’
i22X2
4X3
1260
5人
4X2
4
X3
3
210
解此方程组得：
X1=9kN；
X2=6.3kN;X3=30.6kNm
按迭加公式计算得最后弯矩图如图
5.20。
从以上例子可以看出，在荷载作用下，多余力和力的大小都只与各杆弯曲刚度的相对
值有关，而与其绝对值无关。
对于同一材料构成的结构（即梁、柱的E值相同），材料的弹
性模量E对多余力和力的大小也无影响。
14.4
57^
14.4—
30,6
图5.20
2.超静定桁架和排架
用力法计算超静定桁架，在只承受结点荷载时，由于在桁架的杆件中只产生轴力，故力法方程中的系数和自由项的计算公式为
ij
ij
ij
F2nI
"Ea
FnFNjl
EA
FNiFNP1
EA
ij
2
FNil
~EA
（5-10）
桁架各杆的最后力可按下式计算
XnFNnFn
EA为常数。
FnX1FN1+X2FN2
【例5-5】试分析如图5.21（a）所示桁架。
设各杆
解：
此桁架是一次超静定。
切断BC杆代以多余力X1,得如图5.21（b）所示的基本结
构。
根据原结构切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移为零的条件，建立力法方程
11X11p0
（b）p
图5.21
-O.5P
分别求出基本结构在单位力
X1
1和荷载单
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