超静定结构的概念和超静定次数的确定.docx

1、超静定结构的概念和超静定次数的确定第5章力 法5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定1.超静定结构的概念前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。关于结构的静 定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不 变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和力的 结构。现在，我们要讨论的是超静定结构。它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成 的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超 静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或力的结构。如图 5.1(a)所示的简支梁是静定

2、的，当跨度增加时，其力和变形都将迅速增加。为减少梁的力和变形，在梁的中部 增加一个支座，如图 5.1(b)所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结构。也正是由于这个多余联系的存在，使我们只用静力平衡方程就不能求出全部 4个约束反力Fax、Fay、Fby、Fey和全部力。具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反 力或力的结构称为超静定结构。图 5.1(b)和图5.2所示的连续梁和刚架都是超静定结构。图5.3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。本章 讨论如何用力法计算这种类型的结构。图5.1 图5.2图5.32.超静定次数的确定力法是解超静定结构

3、最基本的方法。用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。 通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。如果一个超静 定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是 n次超静定。显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构 (以后称原结构)变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。去掉多余联系的方式，通常有以下几种：(1)去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。如图 5.4所示结构就是一次超静定结构。图中原结构的多余联系去掉后用未知力 X1代替。去掉一个单铰，相当于去掉两个联系(a) 把刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个联系 (图5.6)。图5.6

4、（町 7T 图5.4(4)在刚性联结处切断，相当于去掉三个联系 (图5.7)。应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。应该指出，同一个 超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，如图 5.8(a)可以有三种不同的去约束方法，分别如图 5.8(b)、(c)、(d)所示。无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同的。所以说去约束的方式不是惟一的。这里面所说的去掉“多余联系” (或“多余约束”)，是以保证结构是几何不变体系为前提的。如图 5.9(a)所示中的水平约束就不能去掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束” (或“必要联系”)。如果去掉水平链杆(图5.9b)，则原体

5、系就变成几何可变了。丄卜()h 2 Pi(5-6)MnnXnn P11,2,L,n)时,则式（5-6）即变为1nXn1P02n n2 P0(5-7)nn n nPii (i j)称为主式（5-6）或（5-7）就是力法方程的一般形式。通常称为力法典型方程。 在以上的方程组中，位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数系数，主对角线两侧的其他系数 ii(i j)称为副系数，最后一项 ip称为自由项。所有系数和自由项都是基本结构上与某一多余未知力相应的位移，并规定以与所设多余未知力方 向一致为正。由于主系数 ii代表由于单位力Xi 1的作用，在其本身方向所引起的位移，它总是与该单位力的方向一致，故总

6、是正的。而副系数 jj(i j)则可能为正、为负或为零。根据位移互等定理，有 ij ji，它表明，力法方程中位于对角线两侧对称位置的两个副系数是相等的。力法方程在组成上具有一定的规律，其副系数具有互等的关系。无论是哪种 n次超静定结构，也无论其静定的基本结构如何选取，只要超静定次数是一样的，则方程的形式和组成就完全相同。因为基本结构是静定结构，所以力法方程和式 (5-6)及(5-7)中的系数和自由项都可按静定结构求位移的方法求得。对于梁和刚架，可按下列公式或图乘法计算 2iiM idsElijEl(5-8)M iMPETds式中，Mi、Mj和Mp分别代表在Xi=1、Xj=1和荷载单独作用下基本

7、结构中的弯矩。 从力法方程中解出多余力 Xi(i=l,2,n)后，即可按照静定结构的分析方法求原结构的反力和力。或按下述叠加公式求出弯矩M XtMi 2 M 2 L Xn M n M (5-9)再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：(1)去掉结构的多余联系得静定的基本结构，并以多余未知力代替相应的多余联系的 作用。在选取基本结构的形式时，以使计算尽可能简单为原则。(2)根据基本结构在多余力和荷载共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构 相应的位移相同的条件，建立力法方程。(3)作出基本结构的单位力图和荷载力图 (或写出力表达式)，按照求位移的

8、方法计算方程中的系数和自由项。(4)将计算所得的系数和自由项代入力法方程，求解各多余未知力。(5)求出多余未知力后，按分析静定结构的方法，绘出原结构的力图，即最后力图。最后力图也可以利用已作出的基本结构的单位力图和荷载力图按公式 (5-9) 求得。5.5.3用力法计算超静定结构1.梁和刚架【例5-1】试分析如图5.16, (a)所示单跨超静定梁。设 EI为常数。解：此梁具有3个多余联系，为3次超静定。取基本结构及 3个多余力，如图5.16(b) 所示。根据支座 B处位移为零的条件，可以建立以下力法方程其中，Xi和X3分别代表支座 B处的竖向反力和水平反力， X2代表支座B处的反力偶。作 基本结

9、构的单位弯矩图和荷载弯矩图，如图 5.16（c）、（d）、（e）、所示。利用图乘法求得力法方程的各系数和自由项为茶本结构 生 护 lOTnTrrrJ图 5.161 12l311(lll)EI 233EI.211l12211 l1)EI22EI1l22(111)EIEI1331233201Paa、_,Pa2(3l a)1Pa(l-)EI236EI1 1Pa22P一（一 Paa1)EI 22EI3P0关于33的计算分两种情况：不考虑轴力对变形的影响时， 33 0 ；考虑轴力对变形的影响时，将以上各值代入力法方程，而在前两式中消去1后，得6EI2l3X1 3l2X2Pa2(3Ia) 03I2X, 6

10、IX23Pa20解以上方程组求得Pa2 (I 2b)Pa2bX1 l3-X2I2由力法方程的第三式求解X3时，可以看出，按不同的假设有不同的结果。若不考虑轴力对变形的影响(3=0)，则第三式变为2 2小 Pa (I 2b)小 Pa b0 3 0 2 0 X3 0 0I I所以X3为不定值。按此假设，不能利用位移条件求出轴力。如考虑轴力对变形的影 响，则33 0，而3P仍为零，所以X3的值为零。用迭加公式 M Xi Ml 2M2 L XnMn M 计算出两端的最后弯矩，画出最后弯 矩图，如图5.16(g)所示。【例5-2】试作如图5.17(a)所示梁的弯矩图。设B端弹簧支座的刚度为k. El为常

11、数。解：此梁是一次超静定，去掉支座 B的弹簧联系，代以多余力 X1。得图5.17(b)所示的基本结构。由于 B处为弹簧支座，在荷载作用下弹簧被压缩， B处向下移动 !x1k(负号表示移动方向与多余力 X1的方向相反)，据此建立如下力法方程。111X1 1P X1 0k或改写成11 X1 1 p 0k(aEl图 5.17作基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，利用图乘法可求得3 2l Pa (3l a)11 ； 1 p3EL 6ELXi2Pa (31 a)Pa23b2b213 6ELt3 13EI由上式可以看出，由于 而且与梁 AB的弯曲刚度B端为弹簧支座，多余力 Xi的值不仅与弹簧刚度 k值有关,

12、EI有关。当 k= a时，相当于 B端为刚性支承情形，此时Xi2Pa (31 a)321Pa 13b2b3当k=0时，相当B端为完全柔性支承（即自由端）情形，此时Xi 0Xi Mi5.17, c 所示。3 3b Pa b i 3akl3Me 一l3故实际上 B端多余力（即B支座处竖向反力）在Xi和Xi之间。求得 Xi后，根据 M XiM； MP作出最后弯矩图，如图3EL ab .2 Pa bkl 2 Mal2 1卑 kl35.i8(b)所示。力法方程为i2 X 2 i P 022 X 2 2 P 0ii Xi2i Xi【例5-3】用力法计算如图5.18（a）所示刚架。 解：刚架是二次超静定结构

13、，基本结构如图Ift结构 （b）基本結樹 關剛d）码图 2）財脚 （0域麻变範图作Mi、M2和Mp图，用图乘法计算系数和自由项，得K 1 a2 2 3K 1 311 a3 a aEI2 aEI2 33EI2 aK2Ka3K22-a； 12 21 EI233EIEI2K21 2111231P EIaqaqaaa2EI 3 24K2 a1 2K 42P EI2qaqa24EI代入力法方程，解得K 3 a 2EI4K 1 4qa 8EIX13(K 1)2(3K 4)qaX234(3K4)qaM图如图5.18(f)所示，读者按 M图作出Fs图。【例5-4】试作如图5.19(a)所示刚架的弯矩图。设 E

14、I为常数。解：此刚架是三次超静定，去掉支座 B处的三个多余联系代以多余力 X1、X2和X3,得如图5.19(b)所示的基本结构。根据原结构在支座 B处不可能产生位移的条件，建立力法方程如下。11X121X131X112 X222 X 232 X 2分别绘出基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图, 图乘法求得各系数和自由项如下2 1 211 ( 6 6 6)2EI 2 313 X323 X333 X3如图1P2P3P05.19(c)、(d)、(e)和(f)所示。用1446)百6m6tn2C、 112 c、 13222(6 66)-(-6 66)2EI3EI 23 EI21833(1 61)(1 61)

15、2EI3EIEI1111901221(666)( 6 6 6)2EI23EI2EI2 ,1 c C1 ,1301331(6 61)(6 6 1)2EI23EI2EI1 1 ,1亠c八 242332(66 1)-(66 1)2EI3EI2EI111180ip(126 6 -6)2EI34EI117562P-(126 66)2EI 3EI111263P(126 6)2EI 3 El将系数和自由项代入力法方程，化简后得24X,15X25X331.5 015Xi 22X24X3126 05人4X24X3321 0解此方程组得：X1=9 kN ；X2=6.3 kN ; X3=30.6 kN m按迭加公式

16、计算得最后弯矩图如图5.20。从以上例子可以看出，在荷载作用下，多余力和力的大小都只与各杆弯曲刚度的相对值有关，而与其绝对值无关。对于同一材料构成的结构 （即梁、柱的E值相同），材料的弹性模量E对多余力和力的大小也无影响。14.45714.4 30,6图 5.202.超静定桁架和排架用力法计算超静定桁架，在只承受结点荷载时，由于在桁架的杆件中只产生轴力，故 力法方程中的系数和自由项的计算公式为ijijijF2nIEaFn F NjlEAFNi FNP 1EAij2FNilEA(5-10)桁架各杆的最后力可按下式计算Xn F Nn FnEA为常数。Fn X1F N1 + X2 F N2【例5-5】试分析如图5.21(a)所示桁架。设各杆解：此桁架是一次超静定。切断 BC杆代以多余力 X1,得如图5.21(b)所示的基本结构。根据原结构切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移为零的条件，建立力法方程11X1 1 p 0(b)p图 5.21-O.5P分别求出基本结构在单位力X11和荷载单