28 中心对称与中心对称图形课程讲义例题练习含答案.docx

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28中心对称与中心对称图形课程讲义例题练习含答案

中心对称与中心对称图形--知识讲解

【学习目标】

1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；

2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；

3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

【要点梳理】

要点一、中心对称和中心对称图形

1.中心对称：

　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

要点诠释：

（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

（2）位置必须满足一个条件：

将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合（全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的）.

2.中心对称图形：

　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：

（1）中心对称图形指的是一个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称

中心对称图形

区别

①指两个全等图形之间的相互位置关系．

②对称中心不定．

①指一个图形本身成中心对称．

②对称中心是图形自身或内部的点．

联系

如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．

如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．

要点二、关于原点对称的点的坐标特征

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点

关于原点的对称点

坐标为

，反之也成立.

要点三、中心对称、轴对称、旋转对称

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中心对称与中心对称图形的区别与联系】

1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：

2.中心对称图形与轴对称图形比较：

要点诠释：

中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.

【典型例题】

类型一、中心对称和中心对称图形

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例3及练习】

1.（春•鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：

①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；

④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确；

对称点到对称中心的距离相等，故③正确；

故①②③④都正确．

故选D．

【总结升华】中心对称的关键是：

旋转180°之后可以与原来的图形重合.

举一反三　

【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）

　　A．M或O或N　　　B．E或O或C　　　C．E或O或N　　　D．M或O或C

【答案】A

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经典例题2】

2.我们平时见过的几何图形,如:

线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？

哪些是轴对称图形？

中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.

【答案与解析】

【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.

类型二、作图

3.已知：

如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.

【答案与解析】　　　

【总结升华】解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.

举一反三　

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例5及练习】

【变式】如图①，

，

，

，

为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，

，

，

，

，

为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．

【答案】

图①：

或

或AC或BD;图②：

或

类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明

4.（春•青神县校级月考）已知：

如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．

（1）求证：

AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

【解题思路】

（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；

（2）利用

（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．

【答案与解析】

（1）证明：

∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，

∴△ABM≌△ACM，

∴AB=AC，

又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，

∴△ABE≌△DCE，

∴AB=CD，

∴AC=CD；

（2）解：

∠F=∠MCD．

理由：

由

（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，

∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，

∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，

设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，

∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，

∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，

∴∠F=∠MCD．

【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．

举一反三

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例4及练习】

【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．

【答案】

.

中心对称与中心对称图形--巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1.选出下列图形中的中心对称图形（）

　　A.①②　　　B.①③　　　C.②③　　　D.③④

2.（春•高密市期末）下列说法中错误的是（　　）

A．成中心对称的两个图形全等

B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分

C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心

D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合

3.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（　）

　　A.3个　　　B.4个　　　C.5个　　　D.6个

4.下列说法正确的是（　）

　　A.两个会重合的三角形一定成轴对称

　　B.两个会重合的三角形一定成中心对称

　　C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等

　　D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在同一条直线上）且相等

5.如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：

（1）点E和点F；点B和点D是关于中心O的对称点；

（2）直线BD必经过点O；（3）四边形ABCD是中心对称图形；（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；（5）△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为（　）

A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.5个

6．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（）

①中心对称　②旋转　③轴对称　④平移

A．①②B．②③　C．③④　D．①④

二.填空题

7.如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△

，则A点的对应点

点的坐标是________.

8.如图，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，△A2B2C2与△A1B1C1关于x轴对称，则△A2B2C2与△ABC的关系是__________.

9．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：

_____________________.

10.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____.　　

11.如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝__________，∠FBD＝__________．

12.（春•无锡校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2015的坐标为　　．

三．综合题

13.如图，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形.

（1）请指出图中所有相等的线段；

（2）写出图中所有相等的角；

　　（3）图中哪些三角形可以看成是关于点O成中心对称的？

14.（春•宜春期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．

（1）根据图形直接写出点C的坐标：

　　；

（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．

15.如图，

为边的

是等边三角形，

求AP的最大、最小值.

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】B

2．【答案】B

【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选：

B．

3．【答案】B

【解析】既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有线段、矩形、菱形、正方形.

4．【答案】D

5．【答案】D

【解析】已知△ABC与△CDA关于点O对称,所以点A对称点是点C,点B对称点是点D,即四边形ABCD是平行四边形，从而推得

（1）

（2）（3）（4）（5）正确。

6．【答案】D

【解析】旋转180°与原图像不能重合，所以①是错误的；平移应该是整个图形通过平移得到新图形，所以④是错误的.

二、填空题

7.【答案】（3，-2）

8.【答案】关于原点O中心对称.

【解析】通过画图可以发现经过两次轴对称，

在第四象限，与原三角形中心对称.

9.【答案】60°或120°.

【解析】正六边形的中心角是360°÷6=60°，所以旋转角是60°的倍数即可.

10.【答案】

【解析】准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图.

由图可知，P3与P2关于y轴对称，因此只须求得P2坐标，而我们可以发现△OP0P2为含60°角的直角三角形，所以可以知道

，

.

11.【答案】60°；60°.

【解析】因为△AEC绕点A旋转到△AFB的位置，所以△AEC≌△AFB，

即∠FAB=∠EAC,∠ACB=

∠FBA,又因为∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，

所以∠FAD=∠BAD+∠FAB=∠BAD+∠EAC=120°-

60°=60°；所以∠FBD=∠ABC+∠FBA=∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°.

12.【答案】（﹣2，0）；

【解析】点P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，

∵2015÷6=335…5，

∴点P2013的坐标为（﹣2，0）．

三．解答题

13.【解析】

因为△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于

点O成中心对称

（1）图中相等的线段有：

（2）图中相等的角有：

（3）图中关于点O成中心对称的三角形有：

　　　　△ABC与△DEF，△ABO与△DEO，△ACO与△DFO，△BCO与△EFO.

14.【解析】

解：

（1）∵B（6，0）、D（0，4），

∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，

∴点C的坐标为（6，4）；

故答案为：

（6，4）；

（2）直线m如图所示，

对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），

设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），

则

，

解得

，

所以，直线m的解析式为y=﹣

x+6．

15.【解析】已知条件AB=3，AC=2与所求的AP比较分散.考虑到

是等边三角形，

　　　　　若

绕点P逆时针旋转

到

，

则

可得

是等边三角形，

，

　　　　　则

与所求

就集中到

中

　　　　　（特殊情况A，

，B三点在同一直线）.

　　　　　由于

，

　　　　　所以

.

　　　　　即AP的最大值为5，最小值为1.