高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形45简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教师用书理.docx

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高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形45简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教师用书理

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-5简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教师用书理苏教

题型一　三角函数式的化简与求值

例1　

（1）化简：

＝.

（2）计算：

＝.

答案　

（1）cos2x　

（2）－4

解析　

（1）原式＝

＝

＝

＝＝cos2x.

（2）原式＝

＝＝－4.

思维升华　

（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.

（2）三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

（1）计算：

tan70°cos10°（tan20°－1）＝.

（2）若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为.

答案　

（1）－1　

（2）－

解析　

（1）原式＝·cos10°（）

＝

＝＝－＝－1.

（2）cos2α＝sin

＝sin

＝2sincos

代入原式，得

6sincos＝sin，

∵α∈，∴cos＝，

∴sin2α＝cos

＝2cos2－1＝－.

题型二　三角函数的求值

命题点1　给值求值问题

例2　

（1）（2017·盐城、南京联考）已知α，β为锐角，cosα＝，sin（α＋β）＝，则cosβ＝.

答案　

解析　∵α为锐角，

∴sinα＝＝.

∵α，β∈（0，），∴0<α＋β<π.

又∵sin（α＋β），

∴cos（α＋β）＝－.

cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝－×＋×＝＝.

（2）（2015·广东）已知tanα＝2.

①求tan（α＋）的值；

②求的值.

解　①tan（α＋）＝

＝＝－3.

②

＝

＝＝＝1.

命题点2　给值求角问题

例3　

（1）设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为.

（2）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tanβ＝－，则2α－β的值为.

答案　

（1）　

（2）－

解析　

（1）∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，

∴cosα＝－，sinβ＝，

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.

又α＋β∈（π，2π），∴α＋β∈（，2π），

∴α＋β＝.

（2）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]

＝

＝＝>0，

∴0<α<.

又∵tan2α＝＝＝>0，

∴0<2α<，

∴tan（2α－β）＝

＝＝1.

∵tanβ＝－<0，

∴<β<π，－π<2α－β<0，

∴2α－β＝－.

引申探究

本例

（1）中，若α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.

答案　

解析　∵α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝×－×＝.

又0<α＋β<π，∴α＋β＝.

思维升华　

（1）给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；

（2）给值求角问题：

先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.

（1）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则2α－β＝.

（2）（2016·南京检测）若sin2α＝，sin（β－α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是.

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）由tanα＝，得＝，

即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，

所以sin（α－β）＝cosα，又cosα＝sin（－α），

所以sin（α－β）＝sin（－α），

又因为α∈（0，），β∈（0，），

所以－<α－β<，0<－α<，

因此α－β＝－α，所以2α－β＝.

（2）因为α∈[，π]，sin2α＝>0，

所以2α∈[，π]，

所以cos2α＝－且α∈[，]，

又因为sin（β－α）＝>0，β∈[π，]，

所以β－α∈[，π]，

所以cos（β－α）＝－，

因此sin（α＋β）＝sin[（β－α）＋2α]

＝sin（β－α）cos2α＋cos（β－α）sin2α

＝×（－）＋（－）×

＝－，

cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]

＝cos（β－α）cos2α－sin（β－α）sin2α

＝（－）×（－）－×＝，

又α＋β∈[，2π]，所以α＋β＝.

题型三　三角恒等变换的应用

例4　（2016·天津）已知函数f（x）＝4tanxsin·cos－.

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间上的单调性.

解　

（1）f（x）的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.

f（x）＝4tanxcosxcos－

＝4sinxcos－

＝4sinx－

＝2sinxcosx＋2sin2x－

＝sin2x＋（1－cos2x）－

＝sin2x－cos2x＝2sin.

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是

，k∈Z.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.

所以当x∈时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减.

思维升华　三角恒等变换的应用策略

（1）进行三角恒等变换要抓住：

变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.

（2）把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.

　已知函数f（x）＝cosx·sin（x＋）－cos2x＋，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在闭区间[－，]上的最大值和最小值.

解　

（1）由已知，有

f（x）＝cosx·（sinx＋cosx）－cos2x＋

＝sinx·cosx－cos2x＋

＝sin2x－（1＋cos2x）＋

＝sin2x－cos2x

＝sin（2x－）.

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）因为f（x）在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，

f（－）＝－，f（－）＝－，f（）＝，

所以函数f（x）在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.

9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

典例　（14分）（2015·重庆）已知函数f（x）＝sinsinx－cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）讨论f（x）在上的单调性.

思想方法指导　

（1）讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝sin（ωx＋φ）型的函数.

（2）研究y＝Asin（ωx＋φ）型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决.

规范解答

解　

（1）f（x）＝sinsinx－cos2x

＝cosxsinx－（1＋cos2x）＝sin2x－cos2x－＝sin－，[5分]

因此f（x）的最小正周期为π，最大值为.[7分]

（2）当x∈时，0≤2x－≤π，[8分]

从而当0≤2x－≤，

即≤x≤时，f（x）单调递增，[10分]

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f（x）单调递减.[12分]

综上可知，f（x）在上单调递增；在上单调递减.[14分]

1.sin15°＋sin75°的值是.

答案　

解析　sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°

＝sin（15°＋45°）＝sin60°＝.

2.（2016·全国甲卷改编）若cos＝，则sin2α＝.

答案　－

解析　因为sin2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin2α＝2×－1＝－.

3.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝.

答案　－

解析　（sinα＋2cosα）2＝，展开得3cos2α＋4sinαcosα＝，再由二倍角公式得cos2α＋2sin2α＝0，

故tan2α＝＝－＝－.

4.函数f（x）＝cos·（sin－cos）的最小正周期为.

答案　2π

解析　因为f（x）＝cos（sin－cos）

＝sinx－（cosx＋1）

＝sin（x－）－，

所以f（x）的最小正周期为2π.

5.（2016·江苏扬州中学四模）函数y＝sinα（sinα－cosα）（α∈[－，0]）的最大值为.

答案　＋

解析　y＝sinα（sinα－cosα）＝sin2α－sinαcosα

＝－sin2α＝－cos2α－sin2α

＝－sin（2α＋）.

∵α∈[－，0]，∴－≤2α＋≤，

∴当2α＋＝－时，函数取最大值ymax＝＋.

6.函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）的图象关于点对称，则f（x）的单调递增区间为.

答案　，k∈Z

解析　∵f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）

＝2sin，

由题意知2×＋θ＋＝kπ（k∈Z），

∴θ＝kπ－π（k∈Z）.

∵|θ|＜，∴θ＝.

∴f（x）＝2sin.

由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－π≤x≤kπ－（k∈Z）.

7.若f（x）＝2tanx－，则f的值为.

答案　8

解析　∵f（x）＝2tanx＋

＝2tanx＋＝＝，

∴f＝＝8.

8.若锐角α、β满足（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，则α＋β＝.

答案　

解析　由（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，

可得＝，即tan（α＋β）＝.

又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.

9.化简：

＝.

答案　－4

解析　原式＝

＝＝

＝＝＝－4.

10.设α∈（0，），β∈（，），且5sinα＋5cosα＝8，

sinβ＋cosβ＝2，则cos（α＋β）的值为.

答案　－

解析　由5sinα＋5cosα＝8，

得sin（α＋）＝，

∵α∈（0，），∴<α＋<，

∴cos（α＋）＝.

由sinβ＋cosβ＝2，

得sin（β＋）＝，∵β∈（，），

∴<β＋<π，∴cos（β＋）＝－.

∴cos（α＋β）＝sin[＋（α＋β）]

＝sin[（α＋）＋（β＋）]

＝sin（α＋）cos（β＋）＋cos（α＋）sin（β＋）

＝－.

11.已知函数f（x）＝sin（x＋）＋cosx.

（1）求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；

（2）若α∈（0，），f（α＋）＝，求f（2α）的值.

解　

（1）f（x）＝sin（x＋）＋cosx

＝sinx＋cosx＋cosx

＝sinx＋cosx＝sin（x＋）.

当x＋＝2kπ＋（k∈Z），

即x＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取得最大值.

此时x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.

（2）由

（1）知，f（x）＝sin（x＋），

又f（α＋）＝，

所以sin（α＋＋）＝cosα＝，

即cosα＝.因为α∈（0，），所以sinα＝，

所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，

cos2α＝2cos2α－1＝－.

所以f（2α）＝sin（2α＋）＝sin2α＋cos2α

＝×－×＝.

12.已知函数f（x）＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.

（1）求f（）的值；

（2）若sinα＝，且α∈（，π），求f（＋）.

解　

（1）f（）＝cos2＋sincos

＝（）2＋×＝.

（2）因为f（x）＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x

＝＋（sin2x＋cos2x）＝＋sin（2x＋），

所以f（＋）＝＋sin（α＋＋）

＝＋sin（α＋）＝＋（sinα＋cosα）.

又因为sinα＝，且α∈（，π），

所以cosα＝－，

所以f（＋）＝＋（×－×）

＝.

13.（2015·安徽）已知函数f（x）＝（sinx＋cosx）2＋cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值.

解　

（1）因为f（x）＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1，

所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝π.

（2）由

（1）的计算结果知，f（x）＝sin＋1.

当x∈时，2x＋∈，

由正弦函数y＝sinx在上的图象知，

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取最大值＋1；

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取最小值0.

综上，f（x）在上的最大值为＋1，最小值为0.