完整数值分析matlab实验报告.docx
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完整数值分析matlab实验报告
（完整）数值分析matlab实验报告
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实验2.1多项式差值的振荡现象
一、实验内容
设区间[—1，1］上函数
，考虑区间[—1，1］的一个等距划分,分点为
，i=0，1,2，..。
，n，则拉格朗日插值多项式为
.其中,li（x）,i=0,1，2，。
。
.，n是Lagrange插值基函数.
1）选择不断增大的分点数目n=2，3，。
..，画出原函数f（x）及插值多项式函数Ln（x）在［-1,1］上的图像，比较并分析实验结果.
2）选择其他的函数，例如定义在区间[—5，5]上的函数
，
，重复上述的实验看其结果如何。
二、实验程序
1.主程序
functionchapter2
promps=｛’请选择试验函数，若选f（x），请输入f，若选好h（x），请输入h，若选g（x），请输入g：
'}；
result=inputdlg（promps,’charpt2'，1，{'f’}）；
Nb_f=char（result）;
if（Nb_f～=’f’＆&Nb_f～=’h’＆&Nb_f~=’g'）
errordlg（’试验函数选择错误！
'）;
return;
end
result=inputdlg（{’请输入插值多项式的次数N:
’},'charpt_2'，1，｛’10’｝）;
Nd=str2num（char（result））;
if（Nd〈1）
errordlg（'插值多项式的次数输入错误！
'）；
return；
end
switchNb_f
case'f’
f=inline（’1。
/（1+25＊x。
^2）’）;a=-1;b=1；
case'h’
f=inline（'x。
/（1+x。
^4）'）；a=—5；b=5;
case'g'
f=inline（’atan（x）’）;a=-5；b=5；
end
x0=linspace（a，b，Nd+1）；y0=feval（f,x0）；
x=a：
0。
1：
b;y=Lagrange（x0，y0，x）；
clf;
fplot（f，[ab］,'rx'）；
holdon;
plot（x，y，'b-—’）;
xlabel（'x’）；ylabel（'y=f（x）xandy=Ln（x）--'）；
2。
Lagrange函数
functiony=Lagrange（x0,y0，x）
n=length（x0）；
m=length（x）;
fori=1：
m
z=x（i）；
s=0；
fork=1：
n
p=1.0；
forj=1:
n
if（j～=k）
p=p.＊（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
end
end
s=s+p＊y0（k）；
end
y（i）=s；
end
三、实验结果及分析
1）选择不断增大的分点数目n,原函数f（x）及插值多项式函数Ln（x）在［-1，1]上的图像。
随着提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数的增加，在区间两端点附近与原函数偏离很远，即出现了Runge现象。
2）选择不断增大的分点数目n，原函数h（x）及插值多项式函数Ln（x）在［-1,1]上的图像.
选择不断增大的分点数目n，原函数g（x）及插值多项式函数Ln（x）在[—1,1］上的图像.
同样，随着提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数的增加，在区间两端点附近与原函数偏离很远，即出现了Runge现象。
实验3。
1最小二乘拟合
一、实验内容
编制以函数
为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下表中数据作3次多项式最小二乘拟合.
xi
-1.0
-0.5
0。
0
0.5
1。
0
1.5
2.0
yi
-4.447
—0。
452
0。
551
0。
048
-0.447
0.549
4.552
取权数
，求拟合曲线
中的参数
、平方误差
，并作离散数据
的拟合函数
的图形.
二、实验程序
functionchapter3
x0=-1：
0。
5：
2；
y0=［—4。
447-0.4520。
5510.048—0.4470.5494。
552］；
n=3;
alph=polyfit（x0，y0,n）；
y=polyval（alph，x0）；
r=（y0—y）＊（y0—y）’；
x=-1:
0.01:
2;
y=polyval（alph,x）；
plot（x,y,’k--'）;
xlabel（'x'）;ylabel（'y0＊andpolyfit.y-.'）；
holdon;
plot（x0,y0，'＊'）；
title（’离散数据的多项式拟合'）；
gridon；
disp（[’平方误差：
',sprintf（’%g',r）]）；
disp（［'参数alph:
’,sprintf（’％g\t’,alph）]）
三、实验结果及分析
输出结果：
平方误差：
2.17619e-005
参数alph:
1。
99911-2.99767-3。
96825e—0050.549119
离散数据的拟合函数图形为：
实验3.2正交化多项式最小二乘拟合
一、实验内容
编制正交化多项式最小二乘拟合程序，并用于求解上题中的3次多项式最小二乘拟合问题,作拟合曲线的图形,计算平方误差，并与上题的结果进行比较。
二、实验程序
1。
主程序：
functionchapter3_2
x0=-1：
0.5:
2；
y0=［-4。
447—0。
4520。
5510。
048—0。
4470。
5494.552］；
n=3;
result=inputdlg（｛'请输入权向量w：
'｝，’charpt_3’,1,{’[1111111]’｝）；
w=str2num（char（result））；
［a,b,c,alph，r］=ffun（x0,y0，w,n）;
disp（[’平方误差:
'，sprintf（’%g’,r）]）；
disp（［'参数alph:
’,sprintf（'%g\t’,alph）］）
2。
正交化离散数据最小二乘拟合函数
function[a,b,c,alph，r]=ffun（x，y，w,n）
m=length（x）-1;
s1=0；s2=ones（1,m+1）；v2=sum（w）;
d
（1）=y*w’；c
（1）=d
（1）/v2;
fork=1：
n
xs=x。
*s2.^2＊w'；a（k）=xs/v2；
if（k==1）
b（k）=0；
else
b（k）=v2/v1；
end
s3=（x—a（k））.＊s2-b（k）＊s1;
v3=s3.^2*w’；
d（k+1）=y。
*s3＊w’；c（k+1）=d（k+1）/v3;
s1=s2；s2=s3；v1=v2;v2=v3;
end
r=y.＊y*w'—c*d’；
alph=zeros（1,n+1）;
T=zeros（n+1,n+2）;
T（：
，2）=ones（n+1，1）；T（2,3）=—a
（1）;
if（n〉=2）
fork=3：
n+1
fori=3:
k+1
T（k，i）=T（k-1，i）-a（k-1）＊T（k—1,i—1）—b（k—1）＊T（k-2，i—2）;
end
end
end
fori=1：
n+1
fork=i：
n+1
alph（n+2-i）=alph（n+2-i）+c（k）*T（k,k+2-i）；
end
end
xmin=min（x）;xmax=max（x）;dx=（xmax—xmin）/（25*m）;
t=（xmin—dx）:
dx:
（xmax+dx）；
s=alph
（1）；
fork=2:
n+1
s=s。
＊t+alph（k）；
end
plot（x,y,'＊'，t，s,’-’）；
title（’离散数据的多项式拟合’）；
xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;
gridon；
三、实验结果及分析
输出结果：
平方误差：
2。
17619e-005
参数alph：
1.99911—2。
99767-3。
96825e—0050.549119
离散数据的拟合函数图形为：
与实验3.1的结果完全一致。
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