弹性力学 第六章 平面问题的直角坐标解.docx

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弹性力学第六章平面问题的直角坐标解

第六章平面问题的直角坐标解

知识点

平面应变问题

应力表示的变形协调方程

应力函数

应力函数与双调和方程

平面问题应力解法

逆解法

简支梁问题

矩形梁的级数解法

平面应力问题

平面应力问题的近似性

应力分量与应力函数

应力函数与面力边界条件

应力函数性质

悬臂梁问题

楔形体问题

一、内容介绍

对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。

这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。

本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：

平面应力和平面应变问题。

弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。

本章学习的困难是应力函数的确定。

虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。

这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。

二、重点

1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。

§6.1平面应变问题

学习思路:

对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。

平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。

这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。

根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。

对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。

学习要点：

1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程

1、平面应变问题

部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示

这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。

如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。

因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。

设纵向轴为z轴，则沿z方向的位移恒等于零，位移只能发生在Oxy面内。

而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的x、y坐标，则有相同的位移。

所以物体的位移为

2、基本物理量

根据几何方程

平面应变问题的应变分量εx，εy，γxy均为坐标x,y的函数，而其余应变分量εz=γxz=γyz=0。

   由于这类问题的位移和应变都是发生在Oxy平面内的，所以称为平面应变问题。

根据物理方程

可得

所以

回代可得平面应变问题的物理方程

其中

因此，平面应变问题只有应力σx，σy，σz=（σx+σy）和τxy不等于零，而且这些应力均为x，y的函数，与坐标z无关。

3、基本方程

据上述的分析，可以将弹性力学的基本方程在平面应变问题中大为简化。

平衡微分方程

将简化为两个

几何方程

简化为三个

变形协调方程

由六个简化为一个

面力边界条件

也简化为两个

4、应力表示的变形协调方程

应用上述平衡、物理、几何方程和变形协调方程，再配以一定的边界条件，例如面力边界条件，则可求解平面应变问题。

弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为平衡微分方程和变形协调方程。

变形协调方程是应变分量表达的，对于应力解法，需要用基本未知量应力分量来描述变形协调方程。

将物理方程代入变形协调方程，可得

在体力为常数的条件下，可以利用平衡微分方程简化上式，既对平衡微分方程的两个公式分别对x，y求偏导数后相加，可得

回代到变形协调方程，并作整理可得

以上方程是平面应变问题中的由应力表示的变形协调方程，它表达了物体内的变形协调关系，称为莱维（Lévy，M.）方程。

§6.2平面应力问题

学习思路:

平面应力问题讨论的弹性体为薄板，厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。

薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。

而且薄板的两个表面不受外力作用。

因此应力沿厚度方向不变。

平面应力问题与平面应变问题在应力解法条件下，有类似的基本方程。

学习要点：

1、平面应力问题；2、基本物理量与本构方程；3、基本方程与边界条件

1、平面应力问题

平面应力问题和平面应变问题的力学模型是完全不同的。

平面应力问题讨论的弹性体为薄板，如图所示

薄壁厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。

薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。

而且薄板的两个表面不受外力作用。

根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则

由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以应力分量不随z改变。

根据边界条件可得

而其余应力分量为坐标x,y的函数，即

由于应力分量均发生在薄板的中面，所以称为平面应力问题。

2、基本物理量与本构方程

根据物理方程的第三式

可得

与平面应变问题相比较，这里εz≠0，这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。

但是由于平板很薄，这种畸变也是很小的。

因此平面应力问题的物理方程为

因此在平面应力问题中，只有应变存在，而且这些应变均为坐标x，y的函数，与z无关。

3、基本方程与边界条件

根据与平面应变问题相同的分析，平面应力问题的基本方程也可以作相应的简化。

平衡、几何、变形协调方程以及面力边界条件均简化为与平面应变问题相同的形式，其简化形式分别为

平衡微分方程

几何方程

变形协调方程

边界条件

§6.3平面问题的应力函数解法

学习思路:

本节讨论平面问题的应力函数解法。

考察平面问题的弹性力学基本方程－平衡微分方程和应力表示的变形协调方程，在常体力条件下，可以通过应力函数表达应力分量。

这样问题的基本未知量由三个应力分量简化为一个应力函数。

将应力函数代入基本方程，可以得到由应力函数表达的基本方程—双调和方程。

因此弹性力学平面问题的求解转化为确定应力函数—双调和函数。

学习要点：

1、平面问题的基本方程；2、应力分量与应力函数；3、应力函数与双调和方程

1、平面问题的基本方程

如果采用应力作为基本未知量求解弹性力学平面问题，在常体力的条件下基本方程归结为在给定的边界条件下求解平衡微分方程

和应力表示的变形协调方程。

对于平衡微分方程的解，可以分解为其齐次方程的通解与任一特解之和。

齐次方程就是体力为零的平衡微分方程

显然，平衡微分方程的特解是容易寻找的，下列应力分量均为齐次方程的特解，或者

2、应力分量与应力函数

根据微分方程理论，必有函数f（x，y），令

则齐次方程

的第一式恒满足。

同理必有函数g（x，y），如果

则齐次方程的第二式恒满足，所以

引入任意函数（x，y），使得

将上式分别回代，可得应力分量表达式

上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。

对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续可导的，总是满足齐次微分方程的。

3、应力函数与双调和方程

将平衡微分方程特解代入应力表达式，则

自然满足平衡微分方程。

应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得

上式说明函数

（x，y）应满足双调和方程。

根据应力函数计算的应力分量满足平衡微分方程，而双调和函数表达的应力函数自然满足变形协调方程。

因此双调和方程就成为平面问题应力解法的基本方程。

综上所述，弹性力学平面问题的应力解法，包括平面应力和平面应变问题，归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。

这里，函数

（x，y）称为艾里（Airy）应力函数，一般简称为应力函数。

§6.4平面应力问题的近似性

学习思路:

对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。

但是问题的z方向应力和位移不同。

应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。

问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。

对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。

学习要点：

1、平面应变与平面应力问题；2、平面应力问题与基本方程；3、平面应力问题的误差

1、平面应变与平面应力问题

对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。

因此，它们的应力分量σx，σy和τxy也相同，应力分量τxz和τyz均等于零，所不同的是z向应力分量σz，应变εz和位移分量w。

下表列出了两种平面问题的主要差别

平面应变问题

平面应力问题

z向应力分量

σz=ν（σx+σy）

σz＝0

z向位移分量

w＝0

w≠0

正应变分量

上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。

2、平面应力问题与基本方程

虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。

但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。

由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。

这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程

除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求

这要求εz为x，y的线性函数，因此εz=ax+by+c，但平面应力问题又要求

，这要求σx+σy满足线性分布。

这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。

这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的

3、平面应力问题的误差

由于平面应力问题εz≠0，这使得问题的求解困难相对。

为了简化分析，对于薄板问题，εz很小，可以认为εz近似为零。

这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。

对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。

假如重新假定应力分量σx，σy，τxy是x，y，z的函数，应力分量σz，τxz和τyz仍然等于零，则可以选取新的应力函数

求解平面应力问题。

如果上式中函数

（x，y）为双调和函数，则应力函数ψ（x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。

显然，新的应力函数ψ（x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。

根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。

由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。

对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。

§6.5应力函数的物理意义及边界条件表示

学习思路:

边界平衡条件要求弹性体趋近于边界的应力分量满足面力边界条件。

应力分量可以通过应力函数表达，因此应力函数也应该满足对应的边界条件。

将应力函数表达的边界条件积分，并且应用应力函数的性质，则可以得到应力函数的偏导数在边界的性质。

考虑应力函数全微分的积分，可以确定应力函数在边界的性质。

分析表明：

边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y轴负向的投影。

这是一个非常有用的结论，它能够帮助我们在半逆解法中确定应力函数的基本形式。

学习要点：

1、应力函数与面力边界条件；2、应力函数的偏导数与边界条件；3、应力函数与边界条件；4、应力函数性质

1、应力函数与面力边界条件

在体力为常量的条件下，弹性力学平面问题应力解法由三个未知函数简化为一个应力函数，从而将问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。

因此，应力函数的确定对于平面问题的求解是极为重要的。

本节将讨论应力函数表达的面力边界条件，并由此进一步分析应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点的的物理意义。

对于平面物体，如果应力分量满足面力边界条件，则边界应力函数满足

设A为边界上任一定点，而B为边界上任一动点,如图所示

边界上由A到B为正方向，也就是说物体在ds的左侧，边界法线方向余弦为

因此边界条件可以表示为

2、应力函数的偏导数与边界条件

对于上述应力函数表达公式从定点A到动点B作积分，可得

由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响的。

所以可以适当的选取a，b，c，使得应力函数（x，y）的一阶偏导数

在定点A的值为零。

因此，上述公式可以简化为

3、应力函数与边界条件

另外，根据应力函数的全微分

对上式从定点A到动点B作分部积分，则

积分并将应力函数边界条件公式

代入上式，则

整理并且将公式代入，可得

4、应力函数性质

由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响的。

所以我们适当的选取a，b，c，使应力函数

（x,y）在定点的值为零。

因此上式可以简化为

另外

显然，上述公式的第一式表示由定点A到动点B边界上的面力对B点的合力矩，而第二和第三式分别表示由A到B边界面力的合力沿x，y轴的投影。

因此可以得出以下结论，边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y轴负向的投影。

这是一个非常有用的结论，将可帮助我们在逆解法中确定应力函数的基本形式。

上述公式也是应力函数表达的面力边界条件，和面力边界条件比较，三个公式中只有两个是独立的

§6.6逆解法与多项式应力函数

学习思路:

弹性力学问题的求解归结为在给定边界条件下求解双调和方程。

由于偏微分方程的求解是相当困难的，因此使用逆解法求解。

逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。

逆解法的基本思想是：

对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。

学习要点：

1、逆解法与线性应力函数；2、二次和三次应力函数与边界条件；3、四次应力函数与边界应力条件

1、逆解法与线性应力函数

平面问题的求解方法，归结为给定边界条件下求解双调和方程。

偏微分方程的求解是相当困难的，对于某些矩形平面物体，可以使用逆解法求解。

逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。

逆解法的基本思想是：

对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。

1、一次多项式

（x,y）=ax+by+c

不论系数取何值，都能满足双调和方程，其应力分量为

因此，一次多项式应力函数对应无应力应力状态。

这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y的线性函数，将不影响应力分量的值。

2、二次多项式

（x,y）=ax2+bxy+cy2

不论系数取何值，都能满足双调和方程，应力分量为

二次多项式应力函数对应于均匀应力状态，如图所示

如仅a，b，c≠0，分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态。

3、三次多项式

（x,y）=ax3+bx2y+cxy2+dy3

不论系数取何值，都能满足双调和方程，对应的应力分量为

三次多项式应力函数的边界应力分布，如图所示

对应于线性边界应力。

如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0，其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态。

4、四次多项式

（x,y）=ax4+bx3y+cx2y2+dxy3+ey4

若使四次多项式满足双调和方程，其系数需满足关系式

3a+c+3e=0

因此四次多项式应力函数只能有四个独立的系数，设应力函数为

即其独立的系数仅为四个，对应的应力分量为

边界面力，如图所示

四次多项式应力函数对应于二次应力分布状态，如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0。

该应力状态由矩形板边界上三部分面力产生

1、在边界上，作用有均匀分布的切应力

2、在x=0的边界上，作用有按抛物线分布的切应力

3、在x=l，作用有按抛物线分布的切应力和线性分布的正应力

。

对四次多项式构成的应力函数，其边界上的应力分量的分布可以是均匀的，线性分布的或者是二次抛物线分布的。

6.7悬臂梁受集中力作用

学习思路:

本节应用平面问题的基本方程讨论悬臂梁的弯曲应力、变形和位移。

通过问题的分析，全面介绍平面问题应力函数求解方法。

作为一个典型的平面应力问题，问题求解的关键是确定应力函数。

首先分析悬臂梁的边界条件，根据悬臂梁弯矩分布建立应力函数的基本表达式。

然后应用变形协调方程确定应力函数。

再通过面力边界条件确定待定常数。

分析所得悬臂梁的弯曲应力解与材料力学解是一致的。

弯曲应力确定后，通过本构方程可以确定应变分量；利用几何方程可以得到位移偏导数公式。

由于应力分量是协调的，积分可得位移基本表达式。

至于表达式中的待定系数，需要通过位移边界条件确定。

由于悬臂梁力学模型给定的位移边界条件太强硬，因此分析中假设端面约束仅为排除刚体位移。

学习要点：

1、悬臂梁作用集中力；2、边界条件与应力函数；3、悬臂梁应力；4、悬臂梁变形；5、悬臂梁位移推导；6、悬臂梁端面位移边界；7、边界条件一；8、边界条件二

1、悬臂梁作用集中力

本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。

设梁的跨度为l，高度为h，厚度为一个单位，自重忽略不计。

首先讨论梁的弯曲应力。

对于悬臂梁，建立坐标系如图所示

则梁的边界条件为

该边界条件要完全满足非常困难。

但深入分析发现，只要梁是细长的，则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次要边界。

根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面稍远处的应力并无实质性的影响。

因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的条件。

此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。

固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。

这样问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。

2、边界条件与应力函数

因为在梁的上下边界上，其弯矩为F（l-x），即力矩与（l-x）成正比，根据应力函数

的性质，设应力函数为

其中f（y）为y的任意函数。

将上述应力函数代入变形协调方程，可得

即，积分可得。

由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。

所以，应力函数为

将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量

3、悬臂梁应力

将上述应力分量代入面力边界条件

可以确定待定系数。

在上下边界，自动满足。

而，则要求

在x=l边界上，自动满足。

而，则要求

联立求解上述三式，可得

注意到对于图示薄板梁，其惯性矩。

所以应力分量为

所得应力分量与材料力学解完全相同。

当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足边界条件，再根据实际情况进行修正。

4、悬臂梁变形

应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。

将应力分量代入几何方程

和物理方程

可得

对于上述公式的前两式分别对x，y积分，可得

其中f（y），g（x）分别为y，x的待定函数。

5、悬臂梁位移推导

将上式代入应变分量表达式的第三式，并作整理可得

由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。

所以

上式的前两式分别作积分，可得

将上式回代位移表达式

则

其中m，n，c，d为待定常数，将由位移边界条件确定。

6、悬臂梁端面位移边界

显然，上述位移不可能满足位移边界条件x=0，u=v=0。

悬臂梁左端完全固定的约束条件太强了，要严格满足非常困难。

对于工程构件，端面完全固定仅仅是一种假设，真实的端面约束条件是非常复杂的。

在弹性力学讨论中，重要的是分析一般条件下，悬臂梁的弯曲变形。

根据圣维南原理，真实约束条件对于悬臂梁位移分析的影响主要是端面附近的位移，对于远离端面处，这个影响主要是刚体位移。

因此首先排除刚体位移，平面问题只要有三个约束条件就足够了。

至于选用的约束条件与实际约束的差别，将在本节最后讨论。

为此首先假定左端截面的形心不能移动，即当x=y=0

u=v=0

代入位移表达式，可得

c=d=0

为了确定m和n，除了利用位移边界条件，还必须补充一个限制刚体转动的条件。

分别考虑两种情况：

一是左端面形心处的水平微分线段被固定；二是左端面形心处的垂直微分线段固定。

7、边界条件一

对于第一种情况，即增加约束条件

由此条件，可得

对应的位移为

悬臂梁变形后的挠曲线方程为

这一结果与材料力学的解答完全相同。

这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示

其表达式为

在左端面的形心，垂直微分线段将产生转动，转角为

8、边界条件二

对于第二种情况，即增加约束条件

由此条件，可得

对应的位移为

梁变形后的挠曲线方程为

这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示

其表达式为

在左端面的形心水平微分线段将产生转动，转角为

比较上述结果可见，假设的两种情况实际上仅相差一个刚体转动。

如果让第一种情况顺时针转动一个角度，即为第二种情况。

§6.8简支梁受均布载荷作用

学习思路:

简支梁作用均匀分布力问题是又一个经典弹性力学平面问题解。

采用应力解法的关键是确定应力函数，首先根据边界条件，确定应力函数的基本形式。

将待定的应力函数代入双调和方程得到多项式表达的函数形式。

对于待定系数的确定，需要再次应用面力边界条件。

应该注意的是简支梁是几何对称结构，对称载荷作用时应力分量也是对称的。

对称条件的应用将简化问题的求解难度。

学习要点：

1、简支梁及其边界条件；2、应力函数分析；3、应力函数；4、待定系数确定；5、端面边界条件简化；6、简支梁应力分析。

1、简支梁及其边界条件

试考察一个承受均匀分布载荷的简支梁q，其跨度为l，横截面高度为h（h＜＜l），单位厚度。

并且设其自重可以忽略不计。

由于简支梁是外力静定的，两端的支座反力是已知的。

因此在求解时，不妨将支座看作外力已知的边界，于是可写出下列边界条件

上述条件中，上下表面的边界条件是主要的，必须精确满足。

至于两