线性代数向量组的线性相关性知识分享0427122729.docx
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线性代数向量组的线性相关性知识分享0427122729
线性代数向量组的线
性相关性
★例1
★定理2
★例5
★定理4
★例7
★课堂练
第三节向量组的线性相关性
分布图示
★线性相关与线性无关
★例2
★证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★定理1
★例3★例4
★例6
★定理3
★定理5
★内容小结
★习题3-3
内容要点
—、线性相关性概念2,,s,如果存在不全为零的数k「炬,ks,使
定义1给定向量组A：
1,kssO,
（1
则称向量组A线性相关，否贝I枷为线性无关）
注:
①当且仅当k0时，
（1）式成立，向量组1,2S线性无
关；
2包含零向量的任何向量组是线性相关的
3向量组只含有一个向量时，则
（1）0的充分必要条件是是线性无关的；
（2）0的充分必要条件是是线性相关的；
4仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.
5两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线.三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
二、线性相关性的判定
定理1向量组"2,,s（S2）线性相关的充必要条件是向量组中至少有一
个向量可由其余S1个向量线性表示.
aij
定理2设有列向量组用，（j1,2,,s）,则向量组1,2,,s线性相关的
anj
充要条件是：
是矩阵A（1,2,,s）的秩小于向量的个数s・
推论1n个n维列向量组1,2,,n线性无关（线性相关）的充要条件是：
矩阵A
（ij2,,n）的秩等于（小于）向量的个数m
推论2n个n维列向量组i,2,,n线性无关（线性相关）的充要条件是：
矩阵A
（1,2,,n）的行列式不等于（等于）零.
注:
上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
推论3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相
关.
定理3如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关・
推论4线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关・
定理4若向量组1,,s,线性相关，而向量组1,2,,s线性无关,则向量
可由1,2,,s线性表示且表示法唯一•
定理5设有两向量组
A:
1,2,,s；1,2，，t,
向量组B能由向量组A线性表示，若st,则向量组B线性相关.
推论5向量组B能由向量组A线性表示，若向量组B线性无关，则st.
推论6设向量组A与B可以相互线性表示，若A与B都是线性无关的，贝I」
st.
例题选讲
例1设有3个向量（列向量）：
111
10,22,22,
124
不难验证210,因此1,2,3是3个线性相关的3维向量.
例2设有二个2维向量:
®
。
，如果他们线性相关，那么存在不全e21
为零的数1,2,使
1©2e20-
10
也就是10210,
于是O20,这同*不全为零的假定是矛盾的•因此ei,亦是线性无关的
二个向量.
例3（E01）门维向量组
1（1,0,,0）\2（0,1,0）T,,n（0,0,,1）T
称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性
解n维单位坐标向量组构成的矩阵
10
01
是n阶单位矩阵.
由E10,知rEn.即「E等于向量组中向量的个数，故由推论2知此向量是线
性无关的.
性相关性.
解对矩阵A（ai,a2,ag）施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A及
B（“）的秩，利用定理2即可得出结论.
1021025102
（1-23）1240222022,
157055
易见，r（A）2,r（B）2,故向量组1,2,3,线性相关.向量组a「a2线性无关.
例5判断下列向量组是否线性相关
解对矩阵（1,2,3'施以初等行变换化为阶梯形矩阵
证设有一组数孙2也，使
ki（
）k2（
）k3（
）0
（1）
成立，
整理得（kik3）
（M
k2）（勺
2k3）0
由，
，线性无关，
故
ki
k3
0
ki
k2
0
（2）
k2
k3
0
因而向量组，，线性无关.
例7（E03）设向量组
（1）忌线性相关，向量组a2ja3,a4线性无关，证明
（1）ai能由a2,a3线性表示；
1
2
4
1
2
4
12
4
2
1
3
0
5
5
01
1
1
1
1
—►
0
3
3
寸0
0
5
1
11
0
9
9
00
0
秩（1,2,3）2
3,所以向
量组
1,
2:
3线性相关・
不能由a1,a2,%线性表不.
证明⑴因2,3,4线性无关，故2,3线性无关，而I,2,3线性相关，从而I能由2,3线性表示；
⑵用反证法•假设4能由I,2,3线性表示，而由⑴知1能由2,3线性表示，因此4能由2,3表示，这与2,3,4线性无关矛盾•证毕.
课堂练习
仁试证明:
（2）一个向量线性无关的充分条件是0；
同时成立）o
2.判断向量组
d,2,0,1）T,2（130,1）T,（1,1,1,0）T
是否线性相关.
3.
（4,3,1,11）T
判断向量组
（1,2,1,5）丁，2（2,1,1,1）T,3
是否线性相关.
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